Андрей Николаевич Колмогоров
- великий ученый России

(Воспроизведено по изданию: "Очерки истории информатики в России", ред.-сост. Д. А. Поспелов и Я. И. Фет, Новосибирск, Научно-изд. центр ОИГГМ СО РАН, 1998.)

В. А. Успенский
д.ф.-м.н., профессор,
зав. каф. математической логики и теории алгоритмов мехмата МГУ

  I

Если в вынесенном в эпиграф высказывании Гоголя о Пушкине заменить "поэт" на "ученый", а "Пушкин" на "Колмогоров", мы получим удивительно точную характеристику Колмогорова. В Колмогорове все чрезвычайно. Чрезвычайна многомерность охвата знаний. Чрезвычайны воплощавшиеся в действия представления о научной этике. Чрезвычайно стремление к самосовершенствованию, к созиданию себя как личности, гармонически развитой как духовно, так и телесно. Последние годы физической неподвижности и телесной немощи были поэтому для него особенно мучительны.

Телесная культура была такой же неотъемлемой частью внутреннего мира Колмогорова, как поэзия и музыка, как архитектура, живопись и другие виды пластических искусств. Мало сказать, что он имел обширные и глубокие знания в каждой из этих художественных сфер. В стихах и музыкальных произведениях, зданиях, картинах и скульптурах он видел необходимые условия нормального человеческого бытия, своего рода синхронизаторы или, может быть, лучше сказать, гармонизаторы эмоционального статута человека. Колмогоров отчетливо ощущал наличие основы "культура" в примелькавшемся словообразовании "физкультура" и с несомненностью считал физическую культуру (именно физическую культуру, а не спорт) необходимым компонентом человеческой культуры вообще.

Состязательным спортом Колмогоров, по его собственным словам, не занимался никогда. Физическим же упражнениям он уделял, пожалуй, не меньше внимания, чем математическим занятиям, и приобщал к ним своих учеников. "За несколько дней до своего шестидесятилетия, 14 апреля, Андрей Николаевич вместе со своими учениками совершил пятичасовое лыжное путешествие по снегу, воде и земле, после чего выкупался в снегу" [3]. А за месяц до своего семидесятилетия, в марте 1973 года, Андрей Николаевич купался в горном озере Севан, разложив одежду на заснеженных камнях (чему свидетель автор этих строк). Ближе к восьмидесяти годам, теряя зрение, Колмогоров мучился не столько тем, что ему становится труднее читать, сколько тем, что перестает видеть лыжню.

II

В применении к познавательной деятельности Колмогорова выше было употреблено слово "многомерность". Действительно, здесь можно выделить как бы три измерения: широту, глубину и высоту.

Широта научных интересов и занятий Колмогорова имеет мало прецедентов в XX веке - если вообще имеет таковые. Их спектр простирается от метеорологии (к примеру, Колмогоров был почетным членом Американского метеорологического общества) до теории стиха (список опубликованных стиховедческих работ Колмогорова насчитывает 11 наименований (см. [28, с. 698] или [38, с. 210-211]), и их высоко ценили такие видные филологи, как В. М. Жирмунский и Р. О. Якобсон; сам же Колмогоров выступал официальным оппонентом по стиховедческой докторской диссертации М. Л. Гаспарова, ныне академика).

К какой бы области знания ни прикоснулся Колмогоров, она, эта область, получала новый импульс развития и уже больше не могла изучаться без учета колмогоровского вклада в нее.

В своих ранних, еще студенческих работах Колмогоров проявил себя как историк (см. об этом [41], [42]). Его увлекла история Новгорода. Работая в семинаре, который вел в Московском университете видный историк С. В. Бахрушин, он занялся анализом землевладения в Новгородской земле в XV веке. Свои исторические исследования Колмогоров начал в возрасте семнадцати с половиной лет и закончил, когда ему было неполных девятнадцать. Полагали, что результаты этих исследований безвозвратно утеряны; однако после кончины Колмогорова среди его многочисленных бумаг были найдены и его рукописи по истории. Выступая 15 декабря 1989 г. в московском Доме ученых на вечере памяти А. Н. Колмогорова, известный историк, ныне академик В. Л. Янин указал, что эти юношеские работы занимают в исторической науке место, до которого развитие этой науки еще не дошло. Сейчас эти колмогоровские рукописи опубликованы (см. [12]).

Известный лингвист, профессор Московского университета П. С. Кузнецов писал в своих воспоминаниях, что Колмогоров, "который еще будучи студентом занимался историей <...> и который вместе с тем <...> путешествовал по Пинеге и в ее верховьях, высказал предположение, что колонизация в верховья Пинеги шла с Северной Двины (от Верхней Тоймы) на восток через водораздел, а не по реке от впадения ее в Двину. Если так, то граница Восточной и Поморской группы северорусских говоров должна была проходить севернее, чем предположительно проведена на карте МДК (Московской диалектологической комиссии. - В. У.), и верховья Пинеги должны входить в Восточную группу. Оказалось, что так и есть" [29, с. 207].

Откроем известную хрестоматию ван Хейеноорта "От Фреге до Геделя" [49]. Хрестоматия входит в серию, каждая из книг которой представляет собой "собрание статей, определивших структуру той или иной науки" [49, с. V]. Данная хрестоматия посвящена математической логике. Мы находим в ней английский перевод [45] статьи двадцатидвухлетнего Колмогорова [13] - статьи, охарактеризованной ван Хейеноортом как "первое систематическое изучение интуиционистской логики" [49, с. VII]. Действительно, в этой статье интуиционистская логика впервые сделана предметом математического исследования. К сказанному можно добавить, что эта статья была также первой отечественной статьей по логике, содержащей собственно математические результаты. (Здесь уместно упомянуть, что с 1 января 1980 г. и до конца своих дней А. Н. Колмогоров состоял заведующим кафедрой математической логики Московского университета; подробнее о роли Колмогорова в развитии математической логики см. [48].)

Возьмем теперь в руки известную монографию Абрахама и Марсдена "Основания механики" [43]. Галерея портретов крупнейших ученых в области классической механики, открывающаяся портретом Архимеда, включает и портрет Колмогорова. А его доклад "Общая теория динамических систем и классическая механика" на Международном математическом конгрессе 1954 г. в Амстердаме [17] охарактеризован как важная историческая веха в развитии науки и потому полностью воспроизведен в монографии в виде специального приложения [46]. И это при том, что классическая механика составляла лишь часть интересов Колмогорова в области механики - он внес также выдающийся вклад в аэрогидродинамику. "Общее число опубликованных А. Н. Колмогоровым статей по механике турбулентных течений жидкостей и газов сравнительно невелико, и ни одна из них не занимает много места. Однако эти несколько небольших статей совершенно преобразили лицо современной теории турбулентности и оказали огромное влияние и на все дальнейшее развитие указанной теории, и на постановку экспериментальных исследований широких классов турбулентных течений" [40].

Необычайную широту (и одновременно практическую направленность!) интересов Колмогорова ярко иллюстрирует его письмо в журнал "Строительство Москвы", посвященное проблеме транспортных развязок [14].

III

Все же основной сферой деятельности А. Н. Колмогорова была, конечно, математика. Колмогоров - один из великих математиков XX века. "Всем нам, общавшимся с кругом ученых всего мира, было хорошо известно, что Колмогорова большинство считало крупнейшим математиком своего времени", - отмечает президент Московского математического общества академик С. П. Новиков [31].

Теория множеств, где он заложил основы теории операций над множествами;

теория функций, где студенческая работа [44] девятнадцатилетнего автора, устанавливающая существование почти всюду расходящегося ряда Фурье, сразу сделала его известным всему математическому миру;

математическая логика, где Колмогоров предложил свободное от идеологических установок интуиционизма понимание интуиционистской семантики;

топология, где он разделяет с Дж. У. Александером (Джеймс Уэдделл Александер (1888-1971) - американский математик) авторство теории когомологий;

теория информации, в которой ему принадлежит не только существенная роль в превращении этой теории (сформулированной ее создателем К. Э. Шенноном (Клод Элвуд Шеннон (род. в 1916 г.) - американский инженер-электротехник и математик) в виде скорее технической дисциплины) в строгую математическую науку, но и построение оснований теории информации на принципиально ином, отличном от шенноновского фундаменте;

теория динамических систем, где он является первым из трех основоположников теории КАМ (КАМ -  Колмогоров-Арнольд-Мозер. Владимир Игоревич Арнольд (род. в 1937 г.) - российский математик, ученик А. Н. Колмогорова. Юрген Мозер (род. в 1928 г.) - американский математик, ныне живущий в Швейцарии)  (открывающие эту теорию работы Колмогорова составили его вклад в классическую механику, о котором говорилось выше);

теория алгоритмов, где ему принадлежит определение общего понятия алгоритма и создание теории сложности конструктивных объектов; и, конечно,

теория вероятностей, где он был признанным главой это и науки во всем мире, "живым воплощением математической теории вероятностей", как писала английская газета "Тайме" 26 октября 1987 г. в связи с его кончиной,

- вот краткий перечень областей математики, в которых Колмогоров оставил глубокий след. Перечень этот не может претендовать на полноту: к примеру, мы даже не назвали математическую статистику (ср. - [23]).

Не являются ни в какой степени исчерпывающими и наши упоминания о достижениях Колмогорова в перечисленных областях.

Детальные комментарии можно найти в избранных трудах А. Н. Колмогорова [22], [23], [24], а также в сочинениях, указанных в разделе Х "Библиографии" из сборника [28] (см. с. 719-724).

Так, в математической логике он внес также выдающийся вклад в теорию доказательств; в теории функций - в решение тринадцатой проблемы Гильберта (об этом ниже) и в развитие теории приближений; в топологии - в учение об отображениях, повышающих размерность пространства; в теории динамических систем - в развитие так называемой эргодической теории, куда он, во-первых, достаточно неожиданно сумел внести и успешно применить идеи теории информации и где он, во-вторых, тоже достаточно неожиданно, по существу открыл новое направление, оказавшееся плодотворным для современной физики.

IV

Здесь мы подходим к следующему измерению творчества Колмогорова - его глубине.

Во всем мне хочется дойти До самой сути, -

сказал в 1956 году старший современник Колмогорова великий русский поэт Борис Пастернак. Можно усмотреть черты сходства между Пастернаком и Колмогоровым. Сходство это не исчерпывается тем, что каждый занимал первенствующее положение в своей области - один в поэзии, другой в науке - и имел право на титул "великий". Были отдельные черты и внешнего сходства (включающие и похожие фонетические особенности, с характерным "мычанием"), и сходства внутреннего. Так, обоим были свойственны демократизм в общении и охотная готовность к физическому труду. Но прежде всего их делало похожими желание "дойти до сути".

Колмогоров всегда стремился проникнуть вглубь предмета, выделить основные понятия. Его главная монография, определившая пути развития теории вероятностей, называется характерно -"Основные понятия (разрядка моя. - В. У.) теории вероятностей". Отображающие эти понятия символы (W, F, Р) составили эмблему I Всемирного конгресса по математической статистике и теории вероятностей, состоявшегося в Ташкенте в 1986 году.

Именно этот метод "дохождения до сути" позволил Колмогорову добиться фундаментальных достижений и занять лидирующее положение во всех сферах, которым он уделял внимание. В поисках сути Колмогорову нередко удавалось достичь очень просто формулируемых представлений, как, например, в случае с принадлежащим ему аксиоматическим построением теории вероятностей. По-видимому, им руководило естественное для большого ученого убеждение, что чем более общий характер носит идея, тем более простой она, в сути своей, является и тем проще она должна быть выражена. И здесь уместно снова вспомнить Пастернака, написавшего в 1931 году:

Есть в опыте больших поэтов Черты естественности той, Что невозможно, их изведав, Не кончить полной немотой. В родстве со всем, что есть, уверясь И знаясь с будущим в быту, Нельзя не впасть к концу, как в ересь, В неслыханную простоту. Но мы пощажены не будем, Когда ее не утаим. Она всего нужнее людям, Но сложное понятней им.

Одним из последних по времени достижений Колмогорова было создание общей теории сложности объектов, сформировавшейся ныне в отдельную главу современной математики (см., например, [5], [47] и [50]). То, что вещи бывают простые и сложные, было и есть ясно всем. Вопрос состоял в том, можно ли измерить сложность вещи числом. Колмогоров предложил называть сложностью объекта длину наикратчайшего его описания. Это колмогоровское определение (которое мы здесь привели, разумеется, в огрубленном виде) обладает отличительной чертой гениальности - оно кажется самоочевидным, но лишь после того, как высказано!

Любопытно отметить, что использование в рассуждениях представления о степени сложности описания встречается, в неявной форме, уже в упоминавшейся студенческой работе Колмогорова о новгородском землевладении. В писцовых книгах сохранились сведения о том, какой налог брался с каждого селения. Возникает вопрос, назначался ли этот налог сразу селению как целому или же он складывался из налоговых обложений, назначенных отдельным дворам. Предшественники Колмогорова, профессиональные историки, склонялись ко второму варианту ответа. Опровергая их, Колмогоров решительно выбирает первый вариант: действительно, анализ писцовых книг, проведенный Колмогоровым, показывает, что при втором варианте само правило налогообложения должно было бы быть чрезвычайно сложным (см. [27, с. 79-82]).

Формализация интуитивного представления о сложности объекта и легла в основу предложенного Колмогоровым алгоритмического построения оснований теории информации. В отличие от шенноновской теории, опирающейся на понятие вероятности, колмогоровская теория информации не использует этого понятия. Напротив, она сама позволяет изложить на новом языке основные законы теории вероятностей и даже дать строгое математическое определение индивидуального случайного объекта (чего не в состоянии сделать традиционная теория вероятностей; замечательно и отчасти парадоксально, что определение случайности индивидуального объекта дается в терминах алгоритмов, то есть сущностей, максимально не случайных). Не откажем себе в удовольствии процитировать самого Колмогорова (см. с. 236 в [24]; на этой и соседних с нею страницах воспроизведена его знаменитая статья 1969 года "К логическим основам теории информации и теории вероятностей"):

"Предшествующее краткое изложение должно оправдать два общих тезиса:

1) основные понятия теории информации должны и могут быть обоснованы без помощи обращения к теории вероятностей и так, что понятия „энтропия" и „количество информации" оказываются применимы к индивидуальным объектам;

2) введенные таким образом понятия теории информации могут лечь в основу концепции случайного, соответствующей естественной мысли о том, что случайность есть отсутствие закономерности".

Глубину исследований Колмогорова иллюстрирует то обстоятельство, что значение предложенных им идей, понятий и методов с течением времени не убывает, а возрастает.

V

Многие понятия, введенные Колмогоровым, опережали свое время. (Сам Колмогоров, кстати, учил, что система понятий не менее важна, чем система результатов, и поэтому может составить предмет диссертации.) Так, в начале 1954 года им была предложена общая идея нумерации, а также понятие сводимости нумераций; сейчас основанная на этих представлениях теория нумераций составляет важную ветвь теории алгоритмов (см., например, [9]). В языкознании заняло прочное место понятие "падежа по Колмогорову". Высказанное в тех же 50-х годах (а придуманное, вероятно, раньше), это было первое научное определение падежа, и последующие научные определения так или иначе от него отправляются (см., например, [10, §2.2]).

Возможно, читателя заинтересует, в чем состоит проблема отыскания подобного определения. Вспомним, что традиционная школьная грамматика утверждает, что в русском языке имеется шесть падежей (более тонкий анализ приводит к большему числу падежей), а, скажем, стандартные учебники языка эстонского называют в этом языке четырнадцать падежей. Встает вопрос: чего именно, каких единиц - шесть в русском или четырнадцать в эстонском? В требовании дать математически строгий ответ на этот нелегкий вопрос и состоит, в первом приближении, проблема определения понятия "падеж".

Стоит отметить, что и определения нумерации и сводимости нумераций, и определение падежа - как и многие другие замечательные его идеи - были изложены Колмогоровым лишь в устной форме, и притом в узком кругу. Сформулировав эти фундаментальные определения ("дойдя до сути"!), он более к этим темам не возвращался. Это стремление идти дальше, к новым идеям и областям знания, оставляя другим обживать уже завоеванное пространство, вообще чрезвычайно характерно для Колмогорова.

Понятия, положившие начало теории нумераций, были сформулированы Колмогоровым 9 февраля 1954 г. на семинаре по рекурсивной арифметике, который Колмогоров вел на механико-математическом факультете Московского университета вместе с автором этих строк, в то время колмогоровским аспирантом второго года обучения.

Определение падежа было сообщено автору в 1956 г. в связи с предстоявшим в сентябре открытием на филологическом факультете Московского университета семинара "Некоторые применения математических методов исследования в языкознании" (автор был одним из руководителей этого семинара совместно с лингвистами Вяч.Вс. Ивановым и П. С. Кузнецовым). Некоторые детали, связанные с ролью Колмогорова в развитии языкознания в России, можно найти в [36, с. 122-123, 151-152, 155] и в [37, с. 296-298, 353-355].

Формулировки Колмогорова были впервые опубликованы в [34] и [35] (первый параграф статьи [35] воспроизведён в [38], примечание 30).

Новаторскими были и многие предложенные Колмогоровым идеи и методы. Так, при исследовании знаменитой тринадцатой проблемы Гильберта о суперпозициях он не только установил в 1956 году возможность представления любой непрерывной функции (от сколь угодно большого числа переменных) в виде суперпозиции непрерывных же функций трех переменных, но и выдвинул идеи, позволившие его ученику В. И. Арнольду, тогда студенту-третьекурснику, понизить в этом результате количество переменных с трех до двух и тем самым окончательно решить указанную проблему (причем ответ оказался противоположен тому, который ожидался самим Гильбертом). Уже в следующем, 1957 году Колмогоров усилил результат Арнольда, показав, что любую непрерывную функцию от произвольного числа переменных можно представить в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного и единственной функции двух переменных - функции сложения s(x,у) = х + у.

А в работах Колмогорова 1954 года по теории динамических систем (более точно - по теории возмущений условно-периодических движений) было положено начало методу КАМ (Колмогорова - Арнольда - Мозера), легшему в основу одноименной теории, - "методу, считающемуся одним из крупнейших достижений математики двадцатого века". [Эта оценка принадлежит редакционной коллегии журнала "Успехи математических наук" (1989, т. 44, вып. 1, с. 243).]

VI

Попытаемся, насколько это позволяют рамки данного очерка, сказать и о тринадцатой проблеме Гильберта, и о методе КАМ чуть подробнее.

"Проблема Гильберта" - принятый в математике термин, означающий одну из двадцати трех проблем, сформулированных в опубликованном тексте доклада, сделанного 8 августа 1900 г. великим немецким математиком Давидом Гильбертом на проходившем в Париже Втором международном конгрессе математиков (см. [8]). "Ни до доклада Гильберта, ни после этого доклада математики, насколько я знаю, не выступали с научными сообщениями, охватывавшими проблемы математики в целом. Таким образом, доклад Гильберта оказывается вполне уникальным явлением в истории математики и в математической литературе. И сейчас, почти через 70 лет после того, как Гильберт сделал свой доклад, он сохраняет свой интерес и значение". Так в 1968 году охарактеризовал доклад Гильберта почетный президент Московского математического общества академик П. С. Александров [4]. Эта характеристика сохраняет свою силу и сегодня. Решение каждой из двадцати трех проблем Гильберта до сих пор воспринимается как событие в математике.

Формулируя свою тринадцатую проблему, Гильберт указал некоторую конкретную непрерывную (даже алгебраическую) функцию трех переменных и предложил доказать, что она не представима в виде суперпозиции непрерывных же функций двух переменных. Как мы теперь знаем, это не так.

В опубликованном тексте своего доклада Гильберт цитирует не названного им по имени "старого французского математика", сказавшего: "Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному" [8, с. 14], Руководствуясь этим принципом в качестве недосягаемого идеала и не пытаясь изложить колмогоровскую конструкцию, попробуем пояснить, в чем состоит суть тринадцатой проблемы.

Функции действительного переменного можно наглядно представлять себе в виде таблиц. Разумеется, в реальности встречаются только конечные таблицы, в которых аргументы принимают конечное число значений. Однако мысленно можно вообразить и бесконечные таблицы, в которых аргументы принимают все действительные значения из какого-либо отрезка.

Воображаемая таблица для функции одного переменного выглядит так: в каждой точке отрезка помещено значение функции в этой точке. Таблица для функции двух переменных, определенной на квадрате, двумерна: в каждой точке квадрата записано значение функции в этой точке. Таблица для функции трех переменных, определенной на кубе, трехмерна, она сама имеет форму куба. Таблица для функции n переменных, определенной на n-мерном кубе, располагается в n-мерном пространстве и имеет вид n-мерного куба. В некоторых случаях n-мерную таблицу удается свести к двумерным, а тем самым - соответствующую функцию представить в виде суперпозиции функций двух переменных. "Свести" значит в данном случае следующее: заменить вычисление функции при помощи n-мерной таблицы вычислениями, использующими только двумерные таблицы. Например, четырехмерную таблицу для функции четырех переменных

w = j(x, y,z,t) = xy+z^t

можно свести к двумерным таблицам для функции u = f(х,у) = ху, v = g(z,t) =z^t, w = h(u,v) = u +v. Действительно, чтобы для значений аргументов х = а, у = h, z = с, t = d найти значение w = аb + с^d, можно, вместо того чтобы обращаться к четырехмерной таблице для функции j, поступить так: сначала по двумерной таблице для функции f найти f(a,b), затем по двумерной таблице для функции g найти g(c,d) и, наконец, по двумерной таблице для h найти h(f(a,b), g(c,d)). Иными словами, j(x, y,z,t) = h(f(x,у), g(z,t)), так что функция j получается из функций f, g, h посредством подстановки этих функций друг в друга. Такая подстановка функций друг в друга и называется суперпозицией.

Проблема состоит в том, всякую ли n-мерную таблицу для непрерывной функции можно свести к двумерным таблицам для непрерывных же функций, или, другими словами, для всякой ли непрерывной функции j от n переменных можно подобрать такие непрерывные функции f, g, h и т. д. от двух переменных, что j получается из этих f, g, h и т. д. путем суперпозиции. Если не требовать от рассматриваемых функций непрерывности, то легко обнаруживается, что любую n-мерную таблицу можно свести к двумерным. Для непрерывных функций это не очевидно. Гильберт даже полагал, что указанная им алгебраическая, а тем самым заведомо непрерывная функция трех переменных (связанная с решением уравнений седьмой степени) не допускает представления в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных (см. [8], п. 13, "Невозможность решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих от двух аргументов"). Однако, как показал Арнольд, любая (а потому и та, которую указал Гильберт) непрерывная функция трех переменных, определенная на кубе, получается суперпозицией из подходящим образом подобранных функций двух переменных. А поскольку, как ранее доказал Колмогоров, любая непрерывная функция многих переменных может быть получена суперпозицией непрерывных функций трех переменных, то оказывается, что любая непрерывная функция многих переменных может быть получена суперпозицией непрерывных функций двух переменных.

Что касается метода КАМ, то он состоит в использовании в новой обстановке восходящего к Ньютону метода построения обратной функции путем последовательных приближений. "Новая обстановка" заключается в присутствии так называемых малых знаменателей (эти малые знаменатели появляются здесь в разложении в различные ряды той функции, обратная к которой ищется). Метод КАМ играет важную роль в так называемой нелинейной механике.

Вот что писал об этом методе в 1965 году выдающийся математик И. М. Гельфанд:

"Уже давно, во всяком случае около семидесяти лет назад, после работ А. Пуанкаре, стало понятно, что лишь небольшое число задач в механике поддается точному решению. Скажем, движение одной планеты вокруг Солнца можно описать точно (в той воображаемой ситуации, когда других планет не существует вовсе. - В. У.). Однако уже совместное движение трех тел не допускает точного, или, как говорят математики, аналитического решения. В некоторых случаях на помощь приходят приближенные методы и современные вычислительные машины. Однако с той же задачей трех тел не может справиться самая быстродействующая счетная машина. Дело в том, что точность численного счета сильно падает, если нам необходимо следить за движением систем в течение длительного времени. А ведь, скажем, Земля совершила за время своего существования около пяти миллиардов оборотов вокруг Солнца, поэтому приближенные методы бессильны описать ее движение. Таким образом, и точные (аналитические) решения, и численные способы в ряде случаев не могут нам помочь, необходимы какие-то общие методы качественного исследования. В трудах В. И. Арнольда и А. H. Колмогорова разработан совершенно новый математический метод. Применение его позволило им решить ряд проблем, которые „не поддавались", несмотря на усилия многих выдающихся математиков, механиков и астрономов. В качестве примера можно опять-таки указать на задачу трех тел. В. И. Арнольд, применяя разработанные его учителем А. H. Колмогоровым методы, сумел доказать существование достаточно большого „массива" устойчивых решений в этой задаче. Это исследование имеет, например, прямое отношение к вопросу об устойчивости Солнечной системы. Новые методы оказались настолько плодотворными, что их удалось применить не только для исследования классических проблем, но и целого ряда задач, значение которых осознано только сейчас, - таких, как задача движения заряженных частиц в „магнитных ловушках"" [7].

VII

Если в применении к научным исследованиям термины "широта" и "глубина" достаточно привычны, то слово "высота" требует пояснений. Вот что можно разуметь здесь под высотой: расстояние между теоретическими построениями (расположенными как бы вверху) и практическими приложениями (расположенными как бы внизу). Несколько веков назад Ньютон и сам отливал и шлифовал зеркало для изобретенного им отражательного телескопа, и сам же формулировал гравитационные уравнения, описывающие движение наблюдаемых в этот телескоп небесных тел. Теперь, как правило, теорией занимаются одни, а практическими приложениями - другие, между теорией и приложениями - так сказать, по вертикали - несколько промежуточных этажей, и на каждом этаже своя группа исследователей, общающаяся только с соседями непосредственно сверху и непосредственно снизу (как выразился Ф. Дюрренматт, "обер-бухгалтеры общаются только с вице-обер-бухгалтерами").

Колмогоров проходит эту лестницу сам, без помощи промежуточных лиц, а точнее - объединяя всех промежуточных лиц в себе. Теоретические работы по аксиоматическому построению теории вероятностей естественно перетекают в занятия теорией стрельбы и статистическим контролем качества продукции. Исследования по теоретической гидромеханике непосредственно связаны с участием в многомесячных морских экспедициях для изучения океанических течений. Здесь Колмогорову принадлежит открытие слоистой структуры океана (так называемых "блинов").

Эти экспедиции были организованы Институтом океанологии им. П. П. Ширшова АН СССР и проводились на научно-исследовательском судне "Дмитрий Менделеев". А. Н. Колмогоров дважды участвовал в плаваниях этого судна, а именно в его втором рейсе в 1969 г. и в пятом рейсе в 1971 г.

Второй рейс проходил по маршруту: Калининград, 23 июня 1969 г., - Рейкьявик, 3-5 июля, - Конакри, 20-21 июля, - Рио-де-Жанейро, 4-7 августа, - Дакар, 16-18 августа, - Гибралтар. 1-3 сентября, - Калининград, 18 сентября 1969 г.

Пятый рейс проходил по маршруту: Калининград, 20 января 1971 г., - Кингстон (Ямайка), 15-19 февраля, - Панамский канал, 21-22 февраля, - о-ва Галапагос, 25-27 февраля, - Гонолулу, 16-19 марта, - атолл Фаннинг, 23 марта, - о. Раротонга (о-ва Кука), 31 марта, - Сува (Фиджи), 9-11 апреля. - Порт-Вила (о-ва Новые Гебриды), 13 апреля, - о. Малекула (о-ва Новые Гебриды), 14 апреля, - Иокогама, 5-8 мая, - Владивосток, 12 мая 1971 г.

В обоих рейсах А. Н. Колмогоров был заместителем начальника экспедиции по научной работе (фактически - научным руководителем экспедиции), а в пятом рейсе - еще и руководителем гидрофизического раздела экспедиции.

Или вот такой штрих: в монографии П. С. Александрова "Комбинаторная топология" [2] имя Колмогорова встречается дважды: на с. 483 он указан в качестве автора одной из формулировок закона двойственности, а на с. 22 - в качестве исполнителя многих чертежей.

А. Н. Колмогоров являл собою редкое соединение математика и естествоиспытателя, теоретика и практика. И одновременно - философа науки и ее популяризатора. Колмогоров внес неоценимый вклад в методологию и историю математики, в теорию и практику ее преподавания; он - автор ряда блестящих статей на эти темы (см., в частности, сборники [25] и [26]).

Неослабевающий интерес к проблемам оснований математики, к поискам оптимальных способов ее логического построения и изложения сочетался у Колмогорова со свободным и радостным владением численными методами, с умением в нужных случаях довести решение "до числа". При обращении с числовыми массивами - таблицами, графиками и т. п. - он обладал "абсолютным зрением" и, в частности, мог углядеть в них ошибку с такой же неоспоримостью, с какой человек с абсолютным музыкальным слухом слышит фальшивую ноту.

Культуру вычислений, способность увидеть за числовыми данными общую, качественную картину, умение выразить эту картину в конкретных чертежах и таблицах - все эти навыки Колмогоров старался привить своим сотрудникам и студентам. И не только своим. В первой половине 50-х годов - в частности, в тот период, когда он был деканом механико-математического факультета МГУ (а это продолжалось с 1 ноября 1954 г. по 31 января 1958 г.), - Колмогоров потратил много творческой энергии и времени на то, чтобы упорядочить математический практикум для студентов факультета и придать ему, еще до появления в университете компьютеров, подлинно вычислительный характер.

VIII

Вклад Колмогорова в дело распространения математических знаний совершенно уникален. Относительно его роли в школьном математическом образовании отошлем читателя к обстоятельной статье А. М. Абрамова [1], Здесь мы ограничимся лишь двумя аспектами просветительского служения Колмогорова - издательским и ораторским.

Изданию математической литературы для самых разнообразных слоев читателей - от обычных школьников до рафинированных специалистов - Колмогоров придавал исключительное значение и сам уделял этому много сил и времени. Нет возможности перечислить все те начинания, в которых он был инициатором или принимал решающее участие. Не будем говорить сейчас о специальных математических журналах. Вспомним, что он был основателем и - с 1946 по 1952 год - первым главой редакции математики и механики Издательства иностранной литературы (ныне издательство "Мир"), что вместе с физиком академиком И.К. Кикоиным он создал физико-математический журнал для юношества "Квант", в котором с момента его возникновения в 1970 году и до конца своих дней руководил математическим разделом.

Свидетельствует многолетний главный редактор журнала "Математика в школе" Р.С. Черкасов: "В составе редакционной коллегии журнала „Математика в школе" А. Н. Колмогоров находился официально с 1967 года. Как он пояснял позднее, он убедился, что именно журналы позволяли быстро и эффективно формировать необходимое для учителя новое общественное мнение и оказывать ему быструю и столь необходимую практическую помощь. Трудно переоценить значение Андрея Николаевича для всей творческой жизни журнала и как члена редколлегии, относившегося к этой своей деятельности с большой ответственностью, и как автора фундаментальной значимости статей, инициатора постановки на обсуждение волнующих многих читателей вопросов" [39, с. 596].

А. Н. Колмогоров сыграл также решающую роль в формировании математического раздела Большой Советской Энциклопедии. Он возглавлял этот раздел в первом (начиная с 1936 г.) и во втором (с самого начала) изданиях БСЭ, а также лично написал большое число статей, в том числе широко известную (и неоднократно потом перепечатывавшуюся) статью "Математика" для второго издания [16]. Надо полагать, он написал ряд статей и для Малой Советской Энциклопедии, но атрибуция этих статей представляет немалые трудности.

IX

Устные выступления Колмогорова были весьма многочисленны, и многие важные идеи были высказаны именно в них - и, к сожалению, только в них. Его лекции и доклады можно разделить на два вида: для профессионалов и для широкой публики. Слово "профессионалы" понимается здесь в весьма широком смысле, включающем как уже сложившихся математиков (например, членов Московского математического общества и участников различных конференций и семинаров), так и еще только собирающихся стать таковыми (увлеченных математикой школьников - например, участников математических олимпиад).

Список выступлений Колмогорова на заседаниях ММО (начиная с 8 октября 1922 г. и кончая 18 января 1978 г.), приведенный на с. 705-709 в [28], насчитывает 97 наименований.

В выступлениях для профессионалов Колмогоров мог рассчитывать на определенный уровень подготовленности своих слушателей. Этот уровень, однако, в подавляющем большинстве случаев сильно им завышался. Его выступления поэтому были всегда очень содержательны, но, как правило, мало понятны. Бытовало мнение, что выступления Колмогорова для школьников с интересом и пониманием слушают аспиранты, для аспирантов - доктора наук, доклады же для докторов наук вообще не понимает никто, кроме докладчика. В этом мнении много верного. Но этот недостаток устных выступлений Колмогорова, как это часто бывает, являлся продолжением его же достоинств - в данном случае неизменно уважительного отношения к собеседнику и слушателю. В этом состояла важная этическая черта Колмогорова. Он всегда видел в собеседнике и слушателе равного себе по интеллекту (что, понятно, редко соответствовало реальности). Кто-то заметил, что "Колмогоров считал, что мир населен Колмогоровыми". Это, конечно, было заблуждением, но заблуждением благородным: Колмогорову было в высокой степени присуще то "дворянское чувство равенства со всем живущим", о котором писал Пастернак.

Более понятными были - и пользовались небывалой популярностью - публичные лекции Колмогорова для широкой аудитории. Эти лекции читались в больших залах и собирали огромное число слушателей. Особенно велик был интерес к первым лекциям Колмогорова, посвященным кибернетической проблематике, свободное обсуждение которой было разрешено в СССР в 1955 году. Присутствовавшие на тех лекциях помнят толпу спрашивающих лишний билет на лекцию Колмогорова в Политехническом музее и другую толпу, не могущую вместиться в полуторатысячный Актовый зал высотного здания Московского университета, так что организаторам пришлось устроить наружную трансляцию.

Первым из этой серии "больших" колмогоровских выступлений был его знаменитый доклад "Автоматы и жизнь", сделанный 6 апреля 1961 г. (Именно шестого, а не пятого, как ошибочно указано в некоторых изданиях) на методологическом семинаре механико-математического факультета МГУ. Первоначально объявленный в аудитории 02, одной из двух самых больших учебных аудиторий высотного здания университета, он был перенесен (надо думать, из-за наплыва публики) в расположенный в том же здании Дворец культуры МГУ (a не в Актовый зал, как ошибочно указывается в некоторых изданиях).

В распространенных к докладу тезисах (они были потом опубликованы, хотя и малым тиражом, см. [18]) Колмогоров задавал следующий вопрос: "Возможно ли создание искусственных живых существ, способных к размножению, прогрессивной эволюции, в высших формах обладающих эмоциями, волей и мышлением вплоть до самых тонких его разновидностей?"

И сам же отвечал: "...важно отчетливо понимать, что в рамках материалистического мировоззрения не существует никаких состоятельных принципиальных аргументов против положительного ответа на наш вопрос".

Доклад вызвал огромный резонанс и стал событием в интеллектуальной жизни Москвы. Его популярное изложение было составлено сотрудницей Колмогорова Н. Г. Рычковой на основе ее собственных записей. Предваренное небольшим предисловием Колмогорова, это изложение было опубликовано в том же 1961 году журналом "Техника - молодежи" (см. [19]).

Опубликованный в журнале текст, с несущественными редакционными изменениями, трижды перепечатывался: сперва в сборнике [6], затем в сборнике [11] и, наконец, - с учетом исправлений, внесенных в предисловие самим Колмогоровым в принадлежавшем ему экземпляре журнала, - в сборнике [25].

В начале следующего 1962 года обсуждение доклада было организовано Центральным домом литераторов; оно состоялось, с участием Колмогорова, 5 января. Засим последовала лекция "Жизнь и мышление как особые формы существования материи" в московском Политехническом музее 11 января 1962 г. (это здесь спрашивали лишний билет). И далее - лекция "Кибернетика в изучении жизни и мышления", состоявшаяся в Актовом зале высотного здания Московского университета 22 апреля 1964 г. (это тогда зал не мог вместить всех желающих). Содержание этих лекций отчасти отражено в [20] и [21].

Названной темой открылась серия из десяти лекций, прочитанных Колмогоровым в Актовом зале. Вот темы и даты остальных девяти лекций:

• "Теория информации", 6 января 1965 г.; 
• "Бесконечность в математике", 17 ноября 1965 г.; 
• "Современная математика в школе и на практике", 12 октября 1966 г.; 
• "50 лет Великого Октября и развитие математики", 4 октября 1967 г.; 
• "Математические структуры и реальный мир", 2 октября 1968 г.; 
• "Теория вероятностей (общий очерк ее истории и ее значение)", 29 октября 1969 г.; 
• "Математика бесконечного и финитная математика с точки зрения их применений", 27 октября 1971 г.; 
• "Математика в изучении произведений искусства", 25 октября 1972 г.; 
• "Закономерность, случайность, вероятность и информация (логические основы теории вероятностей и теории информации)", 23 февраля 1977 г. 

К этому списку примыкает яркая лекция "Что ожидает выбравшего математику?", прочитанная 1 марта 1975 г. в Конференц-зале гуманитарных факультетов МГУ (некоторые подробности о ней приведены в [37, с. 306-308]).

Многочисленные выступления Колмогорова с публичными лекциями иллюстрируют существенную черту его личности - его энергию, его активность. И не просто активность. Всем, чем занимался Колмогоров, он занимался увлеченно.

Х

Колмогоров ни в малейшей степени не соответствовал традиционному образу кабинетного ученого. Его активность была многогранна. О физической, творческой, просветительской гранях мы уже говорили. Скажем еще о грани литературной. Колмогоров был чрезвычайно плодовит как автор - и это при том, что строк, не наполненных мыслью (как правило, весьма глубокой), у него не было. Список его публикаций, приведенный на с. 632-687 сборника "Колмогоров в воспоминаниях" [28], насчитывает несколько сот наименований. Его жена Анна Дмитриевна Колмогорова рассказывала Р. С. Черкасову, что в более молодые годы Андрей Николаевич "печатал [на пишущей машинке] такое множество различных текстов, что напечатанными листками были заполнены не только столы, диван и стулья, но полностью выстлан весь пол комнаты" (см. [39, с. 596]).

Обширная педагогическая деятельность Колмогорова в качестве профессора Московского университета общеизвестна и не требует специальных разъяснений. Здесь он не только читал курсы лекций и вел семинары, но и учреждал новые дисциплины учебного плана, которые сам же наполнял содержанием. Он же был и первым лектором новых курсов. Так, в сентябре 1946 г. он впервые стал читать "Анализ III", а в феврале 1972 г. - "Введение в математическую логику"; именно Колмогорову оба эти предмета обязаны своим становлением как обязательных дисциплин на механико-математическом факультете. Существенная переработка учебных планов факультета, произведенная в 1963/64 учебном году, была основана на проекте, составленном Колмогоровым.

Прибавим работу в качестве преподавателя физико-математической школы-интерната при МГУ, носящей с 1989 года его имя. (Например, в первом полугодии 1964 года его недельная нагрузка в ФМШ была такова: одна лекция, один кружок и восемь уроков!) Вспомним его участие в летних математических школах для школьников, в проведении школьных математических олимпиад. Не упустим из виду и организаторскую деятельность Колмогорова. Упомянутая только что школа-интернат была основана им в 1963 году. О его роли в создании журнала "Квант" и редакции издательства "Мир" мы уже говорили.

Колмогоров являлся также создателем (1956 г.) и первым главным редактором журнала "Теория вероятностей и ее применения". На механико-математическом факультете Московского университета он создал и первым возглавил кафедру теории вероятностей (декабрь 1935 г.), лабораторию статистических методов (апрель 1963 г.) (впоследствии Колмогоров добился придания этой лаборатории статуса межфакультетской. Колмогоров - научный руководитель лаборатории. В январе 1966 г. он был назначен заведующим лабораторией, сменив на этой должности Ю. К. Беляева. Одновременно он уступил заведование кафедрой теории вероятностей Б. В. Гнеденко, оставаясь, вплоть до 1976 года, профессором кафедры) и кафедру математической статистики (февраль 1976 г.). А Институт физики атмосферы РАН вырос из небольшой лаборатории турбулентности, созданной в 1946 году по инициативе Колмогорова (и возглавлявшейся им по 1949 год) в недрах существовавшего тогда Института теоретической геофизики АН СССР, руководимого О. Ю. Шмидтом.

Как уже отмечалось, понимать Колмогорова часто бывало трудно. Сам же Колмогоров понимал всех.

Колмогоров понимал всех аспирантов всех математических специальностей (являвшихся к тому же учениками самых различных научных руководителей), с которыми он считал своим долгом встречаться, когда руководил математической аспирантурой в Московском университете.

А. Н. Колмогоров руководил этой аспирантурой, по должности, в течение трех периодов своей жизни. Первый период продолжался с 22 декабря 1933 г. по 15 апреля 1939 г., когда Колмогоров был директором НИИ математики и механики при МГУ, а затем НИИ математики МГУ. Второй период - с 23 июня 1951 г. по 15 апреля 1956 г., когда он был сначала директором НИИ механики и математики МГУ, а затем (с 20 ноября 1953 г.) заведующим отделением математики механико-математического факультета МГУ. Наконец, со 2 июня 1978 г. до последних дней своей жизни он снова являлся заведующим отделением математики. После образования и 1953 году на механико-математическом факультете двух отделений (математики и механики) аспиранты-математики стали числиться при отделении математики, а до того числились при университетском Научно-исследовательском институте (математики и механики; математики; механики и математики).

К этой своей обязанности (как, впрочем, и ко всем другим) Колмогоров относился очень серьезно и ощущал свою личную ответственность за ход научных занятий аспирантов, подведомственных ему, казалось бы, лишь административно. Будучи директором университетского Научно-исследовательского института, он встречался с каждым аспирантом ежемесячно для содержательных бесед по теме диссертации.  Вряд ли кто-либо, кроме Колмогорова, мог решиться поставить перед собой такую задачу. Нечего и говорить, какое впечатление на аспирантов производили эти встречи и как полезны им были колмогоровские советы.

Колмогоров понимал всех диссертантов и всех оппонентов на заседаниях диссертационных советов. Когда в 1976 году на механико-математическом факультете были созданы диссертационные советы по двум группам математических специальностей, Колмогоров - единственный - стал членом обоих советов.

Колмогоров понимал всех докладчиков, которых ему доводилось слушать на всевозможных семинарах и конференциях, в которых он участвовал. Последняя большая конференция с участием Колмогорова - это двухдневные научные чтения в Московском университете в апреле 1983 г., посвященные его 80-летнему юбилею. Колмогоров прослушал все двенадцать сделанных по его приглашению его учениками пятидесятиминутных докладов на темы теории динамических систем, механики, теории функций и теории вероятностей.

С уходом Колмогорова из жизни многие научные собрания как бы поблекли: они потеряли единственного участника, активно и мгновенно понимавшего все, что на них говорилось.

Слушал и читал Колмогоров всегда заинтересованно и проницательно. Он не только быстро схватывал суть и обнаруживал погрешности, но иногда видел в докладе или статье такие глубины, которые были неизвестны, а подчас и недоступны, самому автору. "Колмогоров обладал исключительной работоспособностью и навыками чтения рукописей и книг не „построчно", а схватывая содержание текста страницы „в целом", замечая при этом все допущенные автором ошибки и неточности. На вопрос о том, как он добился таких возможностей, Андрей Николаевич отвечал кратко: „Нужна большая тренировка"" [39, с. 596].

XI

Колмогоров имел высокие понятия об этике ученого и претворял их в жизнь. Ему были свойственны предельная научная честность и объективность, скромность, отзывчивость и щедрость.

Объективность Колмогорова была особенно заметна на фоне его необычайной эмоциональности, даже страстности, в своих собственных ученых занятиях. При этом Колмогоров готов был содействовать исследованиям, не только ему не близким, но даже иногда прямо не симпатичным.

Его скромность проявлялась прежде всего в вопросах собственного приоритета. У него была всегда на минимуме оценка своего вклада и на максимуме - вклада конкурента. Впрочем, сам термин "конкурент" здесь мало уместен. Правильнее было бы сказать "коллега по профессии". Дело в том, что Колмогоров никогда не стремился кого-либо опередить. Напротив, он щедро делился своими мыслями.

Мы уже отмечали, что, сформулировав те или иные идеи, Колмогоров, как правило, не занимался их развитием, а переходил к новым областям. То же относится и к математическим результатам. Колмогоров не стремился к рекордам - или если и стремился, то на свой, колмогоровский лад, без чувства соперничества. Совершив решающий прорыв, создав новые методы, преодолев принципиальные трудности, он нередко оставлял продвижение за несколько метров до финишной ленты - ему как бы переставало быть интересно.

Слова "как бы" означают нашу неуверенность в истинных мотивах Колмогорова; очевидно лишь, что они заключались не в том, что ему не под силу было пройти то сравнительно небольшое расстояние, которое отделяло его от "рекордной" формулировки. Колмогоров рассматривал математику прежде всего как инструмент познания, как источник радостей и мук творчества - хотя и не отказывался признавать в занятиях математикой спортивный элемент. Однако правильно будет сказать, что если он и видел в этих занятиях черты спорта, то такого благородного спорта, как альпинизм, где соперником выступает природа. Повторим то, о чем говорилось в начале нашего очерка: состязательным спортом Колмогоров не занимался никогда.

Самые разные люди обращались к Колмогорову с самыми разными просьбами, и он, как правило, старался помочь. Он также старался, хотя это было и затруднительно, отвечать на многочисленные письма. Р. С. Черкасов вспоминает о письмах, которые поступали на адрес журнала "Математика в школе": "Обычно они были адресованы непосредственно Андрею Николаевичу, и долгое время он отвечал на них сам, минуя редакционное оформление. <...> Позднее, когда у А. Н. Колмогорова ослабло зрение <...>, эти письма ему прочитывали, и он тут же диктовал ответ, который мы затем направляли адресату уже обычным для редакционной переписки путем" [39, с. 595]. А ведь по каким только адресам не писали Колмогорову! И на адрес Московского университета, и на адрес Академии наук, и на адрес школы-интерната; немалая доля писем шла к нему непосредственно по его домашнему адресу.

Молодых своих сотрудников Колмогоров, случалось, за свой счет возил на научные конференции, проходившие в других городах. Валютные средства, полученные в связи с присуждением ему в 1963 году международной премии Бальцана, он в значительной степени потратил на организацию в Московском университете специализированной библиотеки по теории вероятностей и математической статистике и на последующее систематическое снабжение этой библиотеки иностранной литературой. (Надобно принять во внимание, что Колмогоров так и не получил от властей права свободно распоряжаться этими средствами, так что каждое их использование - будь то приобретение литературы или покупка лекарств - требовало преодоления бюрократических барьеров, вплоть до получения разрешения у заместителя министра финансов СССР.)

Бальцановские премии были учреждены с целью отметить достижения и тех областях, которые не покрываются Нобелевскими премиями, В 1963 году состоялось первое присуждение премии по математике, и она была присуждена Колмогорову. Дальнейшие подробности о премиях Бальцана и о вручении премии Колмогорову см. в [28, с. 139, 345-348, 412].

Библиотека, существующая и сегодня, когда пишутся эти строки, начала функционировать с начала 1966 года. Еще до ее открытия, в 1964 году, на деньги Колмогорова было закуплено много иностранных книг, а оплаченное им поступление иностранных журналов продолжалось с 1967 по 1993 год. До конца своих дней Андрей Николаевич живо интересовался делами библиотеки. Сейчас она представляет собою уникальное собрание специальной литературы по теории вероятностей и математической статистике, доступное для пользования всем заинтересованным читателям, начиная со студентов.

Со своими учениками Колмогоров не только делился идеями, не только подсказывал результаты, которые он провидел, - нередко он брал на себя значительную часть труда по редактированию и даже написанию текста статей. Фактически Колмогоров был соавтором многих статей своих учеников; однако он, как правило, воздерживался от включения себя в число формальных авторов. Высокое искусство Колмогорова как учителя состояло в умении создать у ученика впечатление, что именно он, ученик, и есть полноценный автор как результата, так и соответствующей публикации.

Традицию индивидуальной работы университетского профессора с учениками ввел в московскую (а возможно, и во всероссийскую) математику учитель Колмогорова Николай Николаевич Лузин. Колмогоров унаследовал и развил эту традицию. Как и для Лузина, для Колмогорова было естественно встречаться со своими студентами и аспирантами не только в университетских аудиториях и кабинетах, но и у себя дома (к Лузину ученики приходили имеющими постоянный состав небольшими группами в закрепленный за каждой группой день недели; к Колмогорову - без фиксированного расписания). Как и Лузин, Колмогоров общался со своими учениками и на прогулках (в случае Лузина это были короткие прогулки по московским улицам, когда Лузин, окруженный учениками, возвращался из университетского здания на Моховой в свою арбатскую квартиру; прогулки Колмогорова со своими учениками были более продолжительны, иногда многодневны, и всегда на природе - зимою на лыжах, а летом нередко пешком в горах или на лодке по воде).

Ввиду обычно завышенного мнения Колмогорова о собеседнике общение ученика с Колмогоровым - студента с профессором, аспиранта с научным руководителем - иногда бывало затруднительным. Эта затруднительность усугублялась чувством неловкости аспиранта по поводу того, что его великий учитель решаемую им, аспирантом, частную задачу понимал не только глубже аспиранта, что естественно, но и много детальнее, а зачастую даже лучше помнил, на чем прервалась предыдущая беседа. При этом случалось, что со своим аспирантом по математической логике и со своим аспирантом по гидромеханике Колмогоров разговаривал практически одновременно. Сам Колмогоров шутливо говорил в 1983 году, что один из его учеников управляет атмосферой, а другой - океанами (он имел в виду директора Института физики атмосферы АН СССР академика А. М. Обухова и директора Института океанологии АН СССР члена-корреспондента А. С. Монина).

XII

Андрей Николаевич Колмогоров не только внес личный уникальный вклад в науку и в распространение знаний. Он также создал одну из крупнейших в нашей стране научных школ. Среди его учеников мы видим математиков первой величины, получивших всемирное признание. (Сам Колмогоров был избран членом практически всех авторитетных научных сообществ мира.)

Колмогоров дарил окружавшим его людям ни с чем не сравнимое, почти физическое ощущение непосредственного соприкосновения с гением.

Имя Колмогорова стоит в российской науке рядом с именами Ломоносова, Менделеева, Павлова. Он один из тех, кто подвигом своей жизни прославил Россию. С полным правом Колмогорова можно назвать российским национальным достоянием.

Список литературы

1. А. М. Абрамов. О педагогическом наследии А. Н. Колмогорова // Успехи математических наук, 1988, т. 43, вып. 6, с. 39-74.

2. П. С. Александров. Комбинаторная топология. М.; Л.: ОГИЗ, 1947, 660 с.

3. П. С. Александров. Андрей Николаевич Колмогоров (к шестидесятилетию со дня рождения // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика, 1963, №3, с. 3-6.

4. П. С. Александров. Несколько слов о проблемах Гильберта // см. [33], с. 7-10.

5. П. Витаньи, М. Ли. Колмогоровская сложность: двадцать лет спустя // Успехи математических наук, 1988, т. 43, вып. 6, с. 129-166.

6. Возможное и невозможное в кибернетике / Под ред. акад. А. Берга, акад. Э. Кольмана; Сост. В. Д. Пекелис. М.: Издательство АН СССР, 1963, 222 с.

7. И. М. Гельфанд. Учитель и ученик // Известия, 1965, № 95.

8. Д. Гильберт. Математические проблемы // [33], с. 11-64.

9. Ю. Л. Ершов. Теория нумераций. М.: Наука. Физматлит, 1977, 416 с.

10. А. А. Зализняк. Русское именное словоизменение. М.: Наука, 1967, 370 с.

11. Кибернетика ожидаемая и кибернетика неожиданная / Отв. ред. акад. А. Берг, акад. Э. Кольман; Сост. В. Д. Пекелис. М.: Наука, 1968, 311 с.

12. А. Н. Колмогоров. Землевладение в новгородских пятинах XV века; О сборе налогов и порядке землепользования; Новгородское землевладение XV в. Первая часть; [Новгородское землевладение XV в. Вторая часть] // [27], с. 15-84.

13. А.Н. Колмогоров. О принципе tertium non datur// Математический сборник, 1925, т. 32, № 4, с. 646-667. (Перепечатано в [22], с. 45-69.)

14. А. Н. Колмогоров. [Письмо в редакцию] // Строительство Москвы, 1936, № 19, с. 27.

15. А. Н. Колмогоров. Об одном новом подтверждении законов Менделя // Доклады АН СССР, 1940, т. 27, № 1, с. 38-42. (Перепечатано в [23], с. 209-214.)

16. А. Н. Колмогоров. Математика // Большая Советская Энциклопедия, 2-е изд. М.: БСЭ, 1954, т. 24, с. 464-483. (Перепечатано почти без изменений в [26], с. 24-85, и, в отредактированном Л. П. Юшкевичем виде, в [30], с. 7-38) .

17. А. Н. Колмогоров. Общая теория динамических систем и классическая механика// Prос. Internal. Congress Math. 1954, v. I, p. 315-333; также в кн.: Труды Международного математического конгресса, Амстердам, 1954 г.: Обзорные доклады. М.: Издательство АН СССР, 1961, с. 187-208. (Перепечатано в [22], с. 316-332.)

18. A. H. Колмогоров. Автоматы и жизнь: Тезисы доклада // Машинный перевод и прикладная лингвистика, 1961, вып. 6, с. 3-8.

19. A.H. Колмогоров. Автоматы и жизнь // Техника - молодежи, 1961, № 10, с. 16-19; № II, с. 30-33. (Перепечатано в [6], с. 10-29, в [11], с. 12-31, и, с учетом исправлений А. H. Колмогорова в его предисловии, в [25], с. 43-62.)

20. А. H. Колмогоров. Жизнь и мышление с точки зрения кибернетики: Тезисы доклада на объединенной теоретической конференции философских (методологических) семинаров по философским вопросам кибернетики. М., 1962, 11 с. (Академия наук СССР. Научный совет по философским вопросам естествознания.)

21. А. H. Колмогоров. Жизнь и мышление как особые формы существования материи // [32], с. 48-57.

22. А. H. Колмогоров.. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985, 470 с.

23. А. H. Колмогоров. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986,534 с.

24. А. H. Колмогоров. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987, 304 с.

25. А. H. Колмогоров. Математика - наука и профессия / Сост. Г. А. Гальперин. М.: Наука. Физматлит, 1988, 288 с. (Библиотечка "Квант", вып. 64.)

26. Математика в ее историческом развитии / Под ред. В. А. Успенского; Сост. Г. А. Гальперин. М.: Наука. Физматлит, 1991, 223 с.

27. А. H. Колмогоров. Новгородское землевладение XV века; Л. А. Бассалыго. Комментарий к писцовым книгам Шелонской пятины / Предисл. В. Л. Янина. М.: Наука. Физматлит, 1994,128 с.

28. Колмогоров в воспоминаниях / Ред. - сост. А. H. Ширяев. М.: Наука. Физматлит, 1993, 734 с.

29. П. С. Кузнецов. Из автобиографических записок // Успехи математических наук, 1988, т. 43, вып. 6, с. 197-208.

30. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1988,848 с.

31. С. П. Новиков. Воспоминания об А. H. Колмогорове // Успехи математических наук, 1988, т. 43, вып. 6, с. 35-36.

32. О сущности жизни. М.: Наука, 1964, 351 с.

33. Проблемы Гильберта / Под общ. ред. П. С. Александрова. М.: Наука. Физматлит, 1969, 239 с.

34. В. А. Успенский. Системы перечислимых множеств и их нумерации // Доклады АН СССР, 1955, т. 105, №6, с. 1155-1158.

35. В. А. Успенский. К определению падежа по Колмогорову //  Бюллетень Объединения по проблемам машинного перевода. М., 1957, № 5, с. 1 1-18. (Первый московский гос. педагогич. ин-т иностр, языков.)

36. В. А. Успенский. Серебряный век структурной, прикладной и математической лингвистики в СССР и В. Ю. Розенцвейг: Как это начиналось (заметки очевидца) // Wiener slawistischer Almanach, 1992. Sonderband 33, S. 119-162.

37. В. А. Успенский. Колмогоров, каким я его помню //  [28], с. 280-384.

38. В. А. Успенский. Предварение для читателей "Нового литературного обозрения" к Семиотическим посланиям Андрея Николаевича Колмогорова // Новое литературное обозрение, 1997, №24, с. 122-215.

39. P. С. Черкасов. Колмогоров и школьное математическое образование // [28], с. 583-604.

40. А. М. Яглом. Турбулентность // [22], с. 421-433.

41. В. Л. Янин. Колмогоров как историк // Успехи математических наук, 1988, т. 43, вып. 6, с. 189-195.

42. В. Л. Янин. Предисловие к кн. [27], с. 3-14.

43. R. Abraham, J. E. Marsden. Foundations of Mechanics, 2nd ed. Reading, Mass.: The Benjamin/Cummings Publ. Co., 1978, XII + m. XVI + 806 p.

44. A. Kolmogoroff. Une serie de Fourier - Lebesgue divergente presque partout // Fundamenta mathematicae, 1923, t. 4, p. 324-328. (Рус. перевод: Ряд Фурье - Лебега, расходящийся почти всюду // [22], с. 8-11.)

45. A. N. Kolmogorov. On the principle of excluded middle // [49], p. 416-437. (Перевод с рус. на англ. статьи [13].)

46. A. N. Kolmogorov. The general theory of dynamical systems and classical mechanics // [43], p. 741-757. (Перевод с рус. на англ. статьи [17].)

47. М. Li, P. Vitanyi. An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications. Berlin; New York; Heidelberg: Springer Verlag, 1993, XIII + 546 p.

48. V. A. Vspensky. Kolmogorov and mathematical logic// Journal of Symbolic Logic, 1992, v. 57, No. 2, p. 385-412.

49. J. van Heijenoort. From Frege to Godel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, XII + 660 p.

50. O. Watanabe (ed.). Kolmogorov Complexity and Computational Complexity// Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1992, 105 p.