Предварение для читателей
«Нового литературного обозрения»
к семиотическим посланиям
Андрея Николаевича Колмогорова

(Новое литературное обозрение. № 24, 1997.)

В. А. Успенский
д.ф.-м.н., профессор,
зав. каф. математической логики и теории алгоритмов мехмата МГУ

§ 1. Кто есть Колмогоров 1.1. Общие сведения. 1.2. Что есть великий учёный. 1.3. Чрезвычайность Колмогорова. § 2. Колмогоров и литература 2.1. Взгляды и вкусы. 2.2. Колмогоров и поэзия. 2.3. Генетические связи. § 3. Колмогоров и литературоведение 3.1. Колмогоров и Гаспаров. 3.2. Колмогоров и теория стиха. 3.3. Задача о ямбе. 3.4. Лекции о ритме русского стиха. 3.5. Доклады о теории стиха на математических форумах. 3.6. Совещание в Горьком. 3.7. Симпозиум Мейлаха. 3.8. Конференция в Варшаве. 3.9. Так называемый «стиховедческий семинар Колмогорова». 3.10. Гаспаров о Колмогорове.

§ 4. Кое-что о математике в литературе 4.1. Математические термины. 4.2. Математические идеи. 4.3. Математический анализ сцены из Достоевского. § 5. Кое-что о математике в литературоведении 5.1. Вводные соображения. 5.2. Сколько может быть текстов? 5.3. Количество информации. 5.4. Частота и вероятность. 5.5. Что происходит, если учитывать частоты букв и их сочетаний. 5.6. При чём тут литературоведение? 5.7. Что происходит, если учитывать частоты слов и их сочетаний. 5.8. Энтропия языка. 5.9. Колмогоровская сложность. § 6. Колмогоров и кибернетика 6.1. Кибернетика и филология. 6.2. Роль Колмогорова. 6.3. М. К. Поливанов и Вяч.В. Ивaнов. 6.4. «Тезисы о кибернетике».

  § 1. Кто есть Колмогоров.

1.1. Общие сведения. Андрей Николаевич Колмогоров (родился в Тамбове 25, а по старому стилю 12, апреля 1903 г. - умер в Москве 20 октября 1987 г.) есть один из крупнейших математиков XX века. Краткие биографические сведения о нём (увы, с опечатками в датах океанических плаваний) можно найти на с. 216–221 посмертного сборника [Колм 91]. Общее представление о Колмогорове как о личности можно почерпнуть в двух вступительных статьях к названному сборнику; см. также [Шир 93].

Жизнь Колмогорова была неразрывно связана с Московским университетом и, прежде всего, с его Механико-математическим факультетом (так называемым «Мехматом»). В 1920–1925 гг. он студент, а в 1925–1929 гг. - аспирант Университета, затем научный сотрудник и - с 1931 г. - профессор. В 1935 г. он становится заведующим созданной им кафедрой теории вероятностей Механико-математического факультета. На момент смерти Колмогоров заведовал на Мехмате кафедрой математической логики.

Математика более, чем литературоведение, пригодна для гамбургского счёта; по этому счёту Колмогоров в какой-то период был, по-видимому, первым математиком мира. Не склонный к завышенным оценкам президент (с 15.10.1985 по 3.09.1996) Московского математического общества* лауреат Филдсовской премии** С. П. Новиков свидетельствует:

“Всем нам, общавшимся с кругом ученых всего мира, было хорошо известно, что Колмогорова большинство считало крупнейшим математиком своего времени” ([Нов], с. 36). И: “Без сомнения, он является великим ученым” (там же, с. 35).

* Московское математическое общество (ММО), формально учреждённое в 1867 г. (с 1864 г. существовало в виде математического кружка) считается одним из старейших математических обществ Европы. С русской литературой ММО связано прежде всего через Андрея Белого: 1) отец Белого Николай Васильевич Бугаев был президентом ММО с 1891 г. по 1903 г.; 2) в 1922–1931 гг. президентом ММО был Николай Дмитриевич Егоров, упоминаемый в конце 3-й главы поэмы Белого «Первое свидание» (“Cтыдливо низится Егоров”). Колмогоров был президентом ММО с 1.12.1964 по 13.12.1966 и с 13.11.1973 по 15.10.1985. А вот вопрос на засыпку: где на улицах Москвы воздвигнут памятник одному из президентов ММО?

 Этим связи ММО с литературой не исчерпываются. Вот цитата из воспоминаний Павла Сергеевича Александрова (25.4(7.5) 1896–16.11.1982), близкого друга Колмогорова, бывшего президентом ММО с 1932 г. по 1964 г. (почётный президент с 1964 г.): “Возвращаюсь к черниговскому лету. Кроме моих занятий, связанных с театром, я летом 1919 г. был, как и в предшествующую зиму, занят чтением публичных лекций на литературные темы. Это были лекции о Гёте (мой гимназический опыт не пропал даром), Гоголе, Ибсене, Гамсуне и Достоевском. Мои лекции имели большой успех, и не только в Чернигове, но и в некоторых других городах, в частности, в Киеве” ([Ал], с. 239). И ещё две цитаты (они показывают, что косвенная связь ММО с литературой осуществлялась не только через Белого, но и через Есенина): “...2-го апреля [1921 г.] я вступил в брак с Екатериной Романовной Эйгес. Брак этот не был удачным и заключение его было ошибкой” ([Ал], с. 243); “...За 1918–1919 гг. в жизнь Екатерины Романовны вошло новое лицо, и им был Сергей Есенин. <...> В начале или середине марта 1921 г. Екатерина Романовна познакомила меня с Есениным <...> ...Я почувствовал его мягкость, нежность и какую-то незащищенность” ([Ал], с. 242). Воспоминания Е. Р. Эйгес [Эйг] были недавно опубликованы (к чему толчком послужило обнаружение копии этих воспоминаний в архиве Александрова - в процессе разборки этого архива, происходившего весною 1983 г. по инициативе Колмогорова). Именно к Е. Р. Эйгес обращено, по утверждению П. С. Александрова, знаменитое есенинское «Письмо к женщине» (“Вы помните, Вы всё, конечно, помните...”), а упоминаемый в «Письме» “серьезный, умный муж” - это и есть П. С. Александров.

** С 1950 г. каждые 4 года (а до того - в 1936 г.) от двух до четырёх Филдсовских премий присуждается молодым (до 40 лет) математикам; по престижу (но не по деньгам) Филдсовская премия отчасти заменяет для математиков Нобелевскую, которая, как известно, по разряду математики не присуждается. Существует забавная литература (см., напр., [Mor]), посвящённая попыткам выяснить причину того, почему математика не была включена в завещание Нобеля; наиболее популярное, хотя и не слишком достоверное, объяснение сводится к Сherchez la femme! Как бы в противовес Нобелевским премиям были учреждены Бальцановские премии, а точнее премии Фонда Бальцана (Fondation Internationale Balzan). Помимо премии «За мир и гуманизм», Бальцановские премии покрывали те области, которые не были охвачены Нобелевскими премиями: музыку вместо литературы, математику вместо физики и химии, биологию вместо медицины (включающей и физиологию), историю. Бальцановские премии хотели быть не ниже Нобелевских; в денежном выражении они были выше; вручал премии Президент Итальянской республики. "Впервые эта премия была присуждена в 1961 г. Нобелевскому фонду” ([Шир 89], c. 83, или [Шир 93а], с. 139). Следующее присуждение состоялось в 1963 г. (премии за 1962 г.). Премию мира получил папа Иоанн XXIII, премию в области музыки - Хиндемит, премию в области математики - Колмогоров. О связанных с этим перипетиях см. [Усп 93], с. 345–348, и [Бул], с. 412–413. Советская власть разрешала Колмогорову тратить незначительную часть премиальной суммы на покупку необходимых ему лекарств и значительную часть - на создание в Московском университете специализированной библиотеки по теории вероятностей и математической статистике и на последующее регулярное снабжение этой библиотеки иностранной литературой.

1.2. Что есть великий учёный. В сознании автора этих строк термины “великий математик”, “великий физиолог” и т. п. ещё не означают "великий учёный". Величие личности как учёного предполагает широту с оттенком космичности. Таковым качеством обладал, например, учёный хранитель Палаты мер и весов (с 1893 г.), действительный член Императорской Академии художеств (с 1894 г.) Дмитрий Иванович Менделеев, в одиночку поднимавшийся на аэростате, разрабатывавший экономику добычи полезных ископаемых, создававший бездымный порох и проводивший критический анализ спиритических опытов. (О последнем из перечисленных занятий Менделеева см. изданную им книгу [Мат]. Читатель получит удовольствие, подержав эту книгу в руках и раскрыв её в любом месте. Перефразируя Коровьева: достаточно взять любых пять страниц из напечатанных в указанной книге текстов Менделеева [Мен 875] и [Мен 876], чтобы убедиться, что имеешь дело с великим учёным*.)

* И не только с великим учёным, но и с писателем: менделеевские тексты на спиритические темы (как названные тексты его трёх публичных чтений, так и разбросанные по книге [Мат] и, к сожалению, не вошедшие в советское 25-томное издание его сочинений многочисленные подписанные Менделеевым подстрочные примечания) оставляют впечатление литературы. Впрочем, что есть литература? Проблема эта достаточно обсосана; мы не претендуем что-либо добавить к её обсуждению и признаём приводимые ниже в этом примечании соображения достаточно банальными.

«Энциклопедический словарь» Брокгауза и Ефрона на с. 785 своего 17-го тома (34-го полутома) делает отсылку от термина “Литература” к термину “Словесность”. Вот что пишет в статье «Словесность» названного словаря Аркадий Георгиевич Горнфельд:

Словесность - обиходный термин, в общем соответствующий более принятому в науке термину литература и столь же мало определённый, как и последний. По одним, понятие С. шире понятия литературы, так как “литература <...> есть словесность письменная”, а С. есть “совокупность всех произведений какого-либо языка”. Другие, наоборот, понимая под С. только так назыв. «изящную С.» <...>, понимают С. как «литературу в узком смысле слова» (см. ниже). Третьи видят в С. совокупность произведений исключительно устного творчества, принимая, что С. возвышается до литературы лишь с того момента, как является письменность. <...> Определением понятия литературы занимаются больше всего её историки, так как оно есть в то же время определение границ их науки. Литературой в широком смысле называют совокупность всяких произведений человеческой мысли, закреплённых в слове, устном или письменном. В этом смысле говорят о литературе научной, художественной, технической и т. п. Из этого широкого понятия выделяется та группа словесных произведений, которая носит название литературы в узком смысле или С. и которая собственено и составляет предмет научного исследования литературы, исторического и теоретического. Основания этого деления формулируются весьма разнообразно <...>
[Гор, с. 397–398].

Далее Горнфельд приводит, в виде цитат из современных ему авторов, раличные формулировки указанных оснований; читатель, без сомнения, сам преуспеет в создании подобных формулировок; дело, конечно же, не в формулировках. Суть в том, что независимо от терминологии всеми, по-видимому, признаётся наличие двух понятий - более широкого, условно называемого литературой в широком смысле, и более узкого, условно называемого литературой в узком смысле или изящной словесностью. Границы последнего в большой степени размыты.

В самом деле, принадлежат ли изящной словесности отчёты путешественников (например, «Фрегат „Паллада“») и исторические сочинения (например, «Жизнь двенадцати Цезарей» или биографии Наполеона, не так давно составлявшие излюбленный предмет чтения российской публики)? Вспомним, что в 1953 г. Черчилль получил за свою шеститомную историю второй мировой войны Нобелевскую премию по литературе. Почему математический или шахматный текст нельзя считать литературой в узком смысле? Нам ответят, что такой текст слишком специален, то есть не общепонятен, и не даёт эстетического переживания. Что касается переживания, здесь можно поспорить: и математики, и шахматисты могут получать от соответствующих текстов эстетическое наслаждение. (Ср. в «Первом свидании» Андрея Белого, хотя это и не о математике: “Мне Менделеев говорит периодической системой”.) Что же до общепонятности, то вряд ли авангардные для своего времени произведения изящной словесности были так уж общепонятны в момент их появления. Общепонятен ли Кафка даже и сейчас? Или загадочные «Cтихи о неизвестном солдате» Мандельштама, составившие, по наблюдению М. Л. Гаспарова (см. [Гасп 95], с. 108, и [Гасп 96], с. 10), предмет отдельной отрасли мандельштамоведения - «солдатоведения»? (Не говоря уже о литературе, печатаемой в НЛО.)

Менделеевские тексты о спиритизме общепонятны, увлекательны и вызывают эстетическое переживание, а потому - как и некоторые другие его тексты - принадлежат к литературе в узком смысле, т. е. к изящной словесности. Не займётся ли подобными текстами кто-либо из литературоведов? Не уделит ли НЛО ("Новое литературное обозрение" - V.V.) свои страницы проблеме расширения представления о том, что есть литература?

При обсуждении вопроса о границах между художественной литературой и учёными сочинениями полезно принять во внимание цитату из американского физика и биолога Макса Дельбрюка: “Художественное произведение навсегда связано с той формой, в которой оно создано первоначально, тогда как труд учёного подвергается изменениям, дополнениям, сливается с мыслями и результатами других учёных и растворяется в потоке знаний и идей, образующих нашу культуру” (нобелевская лекция, прочитанная в Стокгольме 10.12.1969 по случаю получения Нобелевской премии по физиологии и медицине; см. [Дель, с. 397]).

Добавка “но и с писателем” (см. первый абзац данного примечания - B>V.V.), как бы претендующая сегодня на некоторую парадоксальность, в начале века показалась бы менее парадоксальной. Поучительно сравнить современное содержание термина ‘писатель’ с употреблением этого же термина в то время. Вот иллюстрация. В моих детских воспоминаниях сохраняется образ брата моей бабки Николая Дмитриевича Виноградова (1868–1936), почтенного господина в серой тройке, доктора философии, профессора 2-го МГУ. Я слышал о нём как о профессоре педагогики. Однако в десятом томе «Нового энциклопедического словаря» Брокгауза и Ефрона, выходившего с 1911 по 1916 г. , в столбце 687, Н. Д. Виноградову даётся такая дефиниция: “писатель”. Далее перечисляются следующие сочинения Виноградова: «Философия Д. Юма, ч. I. Теоретическая философия Д. Юма»; «Философия Д. Юма, ч. II. Этика Д. Юма в связи с важнейшими направлениями британской морали XVII–XVIII вв.»; «Психофизиологические исследования над микроорганизмами»; «Биологический механизм и матерьялизм»; «Теория эмоций Джемса–Ланге»; «Лесли Стивен»; «Ближайшие задачи экспериментальной педагогики»; «К характеристике современного педагогического движения». В наши дни подобный список вряд ли мог бы служить подтверждением писательского звания.

1.3. Чрезвычайность Колмогорова. Колмогоров был именно великий учёный, а не только великий математик. В 1835 г. Гоголь опубликовал свои «Несколько слов о Пушкине»; в числе этих слов были такие: “никто из поэтов наших не выше его” и “Пушкин есть явление чрезвычайное”. Если заменить здесь слова “поэт” и “Пушкин” на “учёный” и “Колмогоров”, получится довольно точная характеристика Колмогорова.

Широта интересов и занятий Колмогорова имеет мало аналогов в XX веке. Первые свои исследования он выполнил, ещё будучи студентом. Они велись с ноября 1920 по январь 1922 года и были посвящены истории Новгорода. Результаты этих изысканий считались утраченными; однако после смерти Колмогорова четыре рукописи его исторических исследований были обнаружены среди его бумаг; теперь они опубликованы, см. [Колм 94]. По авторитетному свидетельству В. Л. Янина, эти исследования Колмогорова опередили не только историческую науку двадцатых годов, но и современную нам историческую науку.

Колмогоров был почётный член Американского метеорологического общества. Его портрет мы находим в начинающейся с Архимеда галерее портретов создателей классической механики (см. [AbrMars]). В известной хрестоматии ван Хейеноорта «От Фреге до Гёделя» [Heij] собраны статьи с 1879 по 1931 г., определившие структуру математической логики; из отечественных авторов в хрестоматии представлен лишь Колмогоров: мы находим здесь английский перевод его статьи, завершённой им 30 сентября 1925 г., т.е. в 22-летнем возрасте. Дважды, в 1969 и 1971 гг., Колмогоров принимал участие (и осуществлял функции научного руководителя) в многомесячных океанографических плаваниях на научно-исследовательском судне «Дмитрий Менделеев»; плавание 1971 г. было даже кругосветным. А понятие падежа по Колмогорову хорошо известно грамматистам.

От общения с Колмогоровым возникало ни с чем не сопоставимое ощущение непосредственного соприкосновения с гением.

§ 2. Колмогоров и литература.

2.1. Взгляды и вкусы. Колмогоров был гений. Этим и интересен, как сказал бы Маяковский. Взгляды гениев на литературу и искусство, их вкусы - не должно ли это быть одним из предметов литературного обозрения, в том числе нового?

Поэзия и музыка, архитектура, живопись и другие виды пластических искусств были неотъемлемой и важной частью внутреннего мира Колмогорова. Мало сказать, что он имел обширные и глубокие знания в каждой из этих художественных сфер. Стихи и музыкальные произведения, здания, картины и скульптуры он воспринимал как необходимую среду существования, как своего рода синхронизаторы, регуляторы, гармонизаторы эмоционального статуса человека - как нечто, задающее ритм внутренней жизни. В этой роли он отказывал кино, считая его не искусством, а развлечением. Высказанная мне аргументация была такова: после прослушания музыкального произведения или прочтения стихов возникает желание немедленного повторения (разумеется, если музыка или стихи понравились); после просмотра фильма такого желания не возникает. Я тогда ещё не видел «8 1/2» и потому не нашёлся, что возразить.

Весной 1965 г. (а именно, в тот день в начале мая, когда Колмогоров встретился у меня с Лотманом), я сделал попытку увлечь Колмогорова записью Галича, достигшего, как мне казалось (да и сейчас кажется) высочайших вершин в своём жанре. Я выбрал одну песню - о том, как гады физики на пари раскрутили шарик наоборот. Эта песня была выбрана потому, что в ней, через мироощущение её лирического героя, выражена глубокая философская идея; идея состоит в вере в безграничное могущество науки и в убеждении, что ничего хорошего из реализации этого могущества произойти не может. Колмогорову, однако, Галич оказался противопоказан (это при том, что Колмогоров признавал возможным переживание катарсиса под воздействием песни: см. [Колм СП.2], раздел II). Впрочем, песни, даже авторские, принадлежат всё же не литературе, а особому синкретическому виду искусства; мы же здесь хотим говорить о литературе.

Сведения о вкусах и литературных взглядах Колмогорова можно почерпнуть в воспоминаниях [Тих 93] его любимого ученика Вл. М. Тихомирова*. Там, в частности, сообщается, что Колмогоров считал роман высшей формой прозы (с. 240), и приводится следующее его суждение: “Крупнейшими писателями XX века являются Томас Манн ** и Анатоль Франс ***” (с. 267). А мне запомнились непочтительные высказывания Колмогорова о Диккенсе, сочинения которого он называл “керосинкой для подогревания чувств старых дев”.

* Ныне Владимир Михайлович Тихомиров (род. 22.11.1934) заведует на Мехмате МГУ кафедрой общих проблем управления.

** Среди сочинений которого Колмогоров особо выделял «Тонио Крёгер». Отношение Колмогорова к Манну анализируется в [Тих 93] на с. 267–271.

*** Колмогоров “просил читать ему вслух в Комаровке «Souvenir d'enfance»” ([Бул], с. 429). Комаровка - упоминаемая ещё в Писцовой книге за 1584 г. (см. [Шир 93], с. 69) подмосковная деревня (а ныне всего лишь улица в посёлке) близ станции Болшево. Там находится дом, в котором Колмогоров и его друг и коллега известный математик Павел Сергеевич Александров (25.4(7.5)1896–16.11.1982) жили и работали, приезжая в середине недели в свои московские квартиры лишь в силу необходимости - для проведения занятий, деловых встреч и прочего. В этом доме они держали и свою обширную библиотеку. Сейчас дом поддерживается в мемориальном состоянии А.Н. Ширяевым.

Колмогоров хорошо знал французский и немецкий и посредственно английский. Он справедливо считал, что процедура общения будет обеспечена, если каждый человек будет знать произвольные два языка из названных трёх, и очень удивлялся, что надменные англоязычные никак не хотели признать это простое правило.

Что касается русской прозы, то “из современных писателей он хвалил Солоухина. А.Н. очень любил природу и очень любил «Весну» Пришвина *, любил выражение „весна света и воды“” ([Бул], с. 427).

* В Пришвине Колмогорову нравилось ещё и то, что тот, по словам Колмогорова, считал себя учреждением. По-видимому, это было созвучно самоощущению Колмогорова.

По поводу А. И. Солженицына он отзывался примерно так: “Я полностью прослушал по западному радио «Архипелаг ГУЛАГ», знаю, что всё там описанное - правда, но я категорически не согласен с жёсткой позицией автора: он пишет о том, что коммунисты, борцы за революцию, расстрелянные или попавшие в лагеря, заслужили такую участь, что „ так им и надо“”. То есть Андрей Николаевич критиковал Солженицына не «справа», а «слева» * - за недостаточность гуманизма, чего он не мог простить никому. При этом он очень любил многие вещи Солженицына **, особенно «В круге первом», где прообразом художника «шарашки» был ещё гимназический друг Андрея Николаевича, художник С. Н. Ивашев-Мусатов ***.

* Не знаю (и буду благодарен за разъяснение), согласится ли просвещённый читатель «Нового литературного обозрения» с семантикой использованного здесь противопоставления “справа / слева” [Кат с. 466–467]. Когда Г. И. Катаев писал цитируемые строки, в нашем наоборотном советском обществе коммунистов ещё именовали в «прогрессивных кругах» правыми, а диссидентов и демократов - левыми; мы все были наследниками той черноногой, о которой гоголевский Селифан выразился исторически: “Не знает, где право, где лево!”. Сейчас, кажется, политическая терминология приблизилась к международным стандартам.

** Вот выдержка из опубликованного газетой «Известия» (1992 г., № 71, московский выпуск от 24 марта) донесения Председателя КГБ Андропова в ЦК КПСС от 10 декабря 1970 г.:

В кругах советской интеллигенции решение Нобелевского комитета воспринято в основном неодобрительно.
Отдельные представители интеллигенции выразили положительное отношение к факту присуждения Солженицыну Нобелевской премии.
Академик Колмогоров: “Солженицыну присудили Нобелевскую премию за 1970 г. Хорошо, что дали, он этого заслуживает. Интересно, пустят ли Солженицына за границу получить эту премию?”

*** Сергей Николаевич (по документам - Михайлович [*]) Ивашев-Мусатов (2.05.1900, н. ст., - 17.06.1992) был первым мужем (с середины 1926 г. по середину 1934 г.) Анны Дмитриевны Колмогоровой. Осенью 1947 г. арестован, весной 1948 г. осуждён по 58-й статье на 25 лет исправительно-трудовых лагерей, в 1955 г. выпущен из заключения и сослан на поселение в Караганду, в 1957 г. реабилитирован. Заключение отбывал сперва в шарашке, затем на медных рудниках в Джезказгане. В шарашке находился вместе с Солженицыным и Копелевым. В романе Солженицына «В круге первом» выведен под именем художника-зэка Кондрашева-Иванова (см. главу 46 «Замок Святого Грааля»). В книге Льва Копелева «Утоли моя печали» (М.: Слово/Slovo, 1991) на с. 7 помещён портрет Солженицына, рисованный Ивашевым-Мусатовым.

[*] Он родился до оформления брака своего отца Николая Александровича Мусатова со своей матерью Полиной Александровной Ивашевой и потому был записан Михайловичем по имени крёстного отца и Ивашевым по фамилии матери. В гимназии и университете был Мусатовым, свои рисунки всегда подписывал “С. Мусатов”.

Недостаточность гуманизма не прощалась даже Пушкину. Колмогоров “упрекал его в том, что он стрелялся с Дантесом, желал его смерти, стрелял в него, крикнул „Браво“, когда тот рухнул после выстрела... „Ведь он хотел его смерти“, - взволнованно говорил Андрей Николаевич” ([Тих 93], с. 265). Но “к Пушкину - Поэту Андрей Николаевич испытывал чувства великого восхищения” ([Тих 93], с. 266).

2.2. Колмогоров и поэзия. Он знал и любил не только Пушкина. Обширные цитаты из русской поэзии (в частности, из Сологуба и Ахматовой) встречаются в письмах Колмогорова к его ближайшим друзьям. Вл.М. Тихомиров пишет ([Тих 93], с. 264):

Андрей Николаевич очень глубоко и интимно любил Тютчева, чувствовал огромный духовный контакт с Блоком, очень трогательно и светло воспринимал Есенина (здесь мы с ним особенно сходились). А.Н. много исследовал Маяковского и часто о его поэзии говорил с восхищением, хотя эти две личности - Колмогоров и Маяковский, - всё-таки не имели особых точек соприкосновения.<...>

...Как-то речь зашла о поэзии, и Андрей Николаевич спросил, кто мне нравится из современных поэтов (Ахматова, Пастернак были живы, но я их считал как бы из прошлого века). Я назвал Слуцкого, Мартынова. Андрей Николаевич помрачнел. “Это странно, Володя, я думал о Вас другое. Оказывается, Вы сторонник рациональной поэзии. А ведь суть поэзии - выразить невыразимое!”

Дополним воспоминания Тихомирова цитатами из других воспоминаний, опубликованных в том же сборнике [Шир 93]:

Он очень любил Тютчева и Есенина. <...> О поэзии Есенина он сказал так: “Есенина я ставлю по поэтическому дарованию выше Пастернака, что злит любителей Пастернака” [Бул, с. 427].

Огромное место в мышлении Колмогорова занимали, конечно, стихи. Он, например, был великолепным знатоком Пушкина. Больше всего любил Пушкина и Тютчева - я чуть не написал “Тютчева и Пушкина”, но А.Н. так не говорил. По-моему, очень любил Блока. Ему, несомненно, была интересна стихотворность Маяковского. Впрочем, сам он чтением стихов вслух, наизусть или по книге, не увлекался * [Мон, с. 480].

* Зато когда читал стихи, то делал это замечательно. Помню, как в один из осенних вечеров 1955 г. на втором этаже комаровского дома он чрезвычайно эмоционально читал мне (по книге):

Я соблюдаю обещанье И замыкаю в чёткий стих Моё далёкое посланье. Пусть будет он, как вечер, тих,

и т. д.

Это - «Отрывки из посланий» Максимилиана Волошина.

И ещё о стихах. Как-то я выразил удивление, что ему может нравиться Маяковский. С раздражением он возразил: “Вы, конечно, имеете точку зрения, какие поэты мне должны нравиться, а какие нет. А я просто люблю хорошие стихи и не люблю плохие”. Впрочем, если считать Маяковского оптимистом (что, как говорится, не “однозначно”), то для моего удивления были основания: как-то Колмогоров сказал мне, что, будучи оптимистом в жизни, к оптимизму в литературе испытывает неприязнь.

Колмогоров всегда несколько недоверчиво относился к тому, что его собеседник любит поэзию, и всегда просил прочесть наизусть несколько строчек из поэта, объявленного любимым. Не все выдерживали это суровое испытание *. Сам же он знал наизусть много, причём даже из поэтов им не любимых. Вспоминает step-daughter-in-law Колмогорова Т. А. Доронина:

Не знаю, когда А.Н. успевал читать, но он хорошо знал литературу. Как-то на дне рождения А. Д. ** с В. В. Литвиновым (литератором и автором многих учебников) зашёл разговор о творчестве Хлебникова. А.Н. сказал, что не любит Хлебникова, но когда В. В. стал цитировать какое-то стихотворение, А.Н. продолжил цитату. [Дор, с. 439].

* В том числе и я. В 1984 г., когда уже значительно утяжелилась его предсмертная болезнь (паркинсонизм), я приехал к нему в академический санаторий «Узкое» на дежурство. В тот период главная обязанность дежурного заключалась в помощи при прогулке. Гуляя по парку, мы заговорили о поэзии, и я сказал, что люблю Гумилёва. Колмогоров сразу же процитировал: “Из-за свежих волн океана красный бык приподнял рога. И бежали лани тумана под скалистые берега”. Я признался, что не знаю, что это такое. “Гумилёв. Поэма «Дракон»”, - сказал Колмогоров и потерял интерес к продолжению беседы. Каким-то образом эта поэма (а если быть точным, то первая часть задуманной Гумилёвым 12-частной «Поэмы начала») не отложилась в моей памяти, и именно в неё Колмогоров и сунул меня носом с первого же попадания.

** Анна Дмитриевна Колмогорова (1.10.1903, н. ст., - 16.09.1988), урождённая Егорова (дочь известного историка Дмитрия Николаевича Егорова), одноклассница и с осени 1942 г. жена А.Н. Колмогорова.

2.3. Генетические связи. Колмогоров был связан с литературой отчасти и генетически. Его отец Николай Матвеевич Катаев* хотя и служил по ведомству земледелия (был, по словам Колмогорова, “учёный агроном”**), но писал рассказы и время от времени печатал их в журналах; при личной встрече в Ялте Чехов предрекал ему литературную судьбу, каковая, впрочем, не состоялась. С большей определённостью литературный ген проявился в боковой линии, проходящей через Ивана Матвеевича, родного брата Николая Матвеевича (они были двумя из трёх сыновей благочинного с Урала): его сыном был известный писатель Иван Катаев***, который, таким образом, приходился Колмогорову двоюродным братом. Вспоминает двоюродный племянник Колмогорова, сын И. И. Катаева Георгий Иванович Катаев:

...Андрей Николаевич, в частности, приводил некоторые результаты проведённой работы: “Э. Багрицкий продвинулся в развитии ямба дальше всех. Анализ пауз в его стихах, например, даёт материал для психологии познания...”. В других случаях он говорил, что из всех русских поэтов Пушкин - наиболее информативен. Сравнение Е. Евтушенко с А. Вознесенским показало бOльшую информативность первого****. Это не понравилось Вознесенскому, он хотел встретиться с Колмогоровым, но тот отказался... [Кат, с. 460–461].

* Колмогоров был внебрачным сыном своего отца и носил фамилию по матери Марии Яковлевне (умершей через полтора часа после его рождения) - младшей дочери видного помещика Ярославской губернии, предводителя дворянства Угличского уезда Якова Степановича Колмогорова.

** Колмогоров разъяснял, что так в то время именовались лица, имеющие высшее агрономическое образование. Как-то Колмогоров сказал мне, что ему наиболее близка нравственная позиция сельского агронома, готового работать при любых обстоятельствах.

*** И. И. Катаев, родившийся без малого на год раньше Колмогорова (14(27).05.1902), был расстрелян 19.08.1937; дата рождения взята из БСЭ, дата смерти получена от семьи.

**** Думается, что Евтушенко весьма информативен не только в текстах, но и в поведении. В проницательном «философском комментарии» Борис Парамонов указывает: “...он создал стиль и жанр эстрадной поэзии, поэзии как шоу. Акцент здесь не на качестве стихов, а на моменте исполнения, на перформансе. Евтушенко немыслим без и вне эстрады. Он требует не читателя, а зрителя. Ближайшая параллель к Евтушенко - <...> Алла Пугачева. <...> В сущности, главный подразумеваемый здесь жанр - стриптиз” [Пар, с. 232–233]. Действительно, как информативно сказал сам Евтушенко, “поэт в России - больше, чем поэт”. А Наум Коржавин, по слухам, сказал: “Если бы не было Евтушенко, было бы хуже”.

Слова “результаты проведённой работы” побуждают нас перейти от темы «Колмогоров и литература» к теме «Колмогоров и литературоведение».

§ 3. Колмогоров и литературоведение.

3.1. Колмогоров и Гаспаров. Разумеется, иметь те или иные вкусы в области литературы и, вообще, искусства ещё не значит быть прикосновенным к литературоведению и искусствоведению*. К литературоведению Колмогоров был прикосновен.

* Если только не стать на ту точку зрения, что литература, искусство, музеи суть не более чем поприще (так сказать, сырьё) для деятельности литературоведов, искусствоведов, музейных работников.(Ср. мнение, сообщённое автору неким юристом: “Истина есть продукт судоговорения”)

Начнём с того, что он был оппонентом по докторской диссертации Михаила Леоновича Гаспарова, защита которой состоялась в 1977 г. в Институте мировой литературы АН СССР. В качестве диссертации защищалась монография [Гасп 74].

Мы начали с этого эпизода по трём причинам:

1) из уважения к Михаилу Леоновичу: автор этих строк свидетельствует здесь не только своё уважение, но и своё восхищение М. Л. Гаспаровым как человеком, как исследователем и как писателем - автором учёных статей и монографий, античных переводов, занимательных книг для широкого круга читателей и не менее занимательных «Записей и выписок», регулярно публикуемых НЛО для более узкого круга;

2) из уважения к НЛО, специально для которого пишется этот текст и членом редколлегии которого состоит М. Л. Гаспаров;

3) исходя из понимания, что уже этого было бы достаточно для признания вклада Колмогорова в развитие литературоведения. Но его вклад этим не исчерпывается. Помимо сказанного, Колмогоров - автор ряда стиховедческих выступлений, как устных, так и печатных, а также руководитель исследовательских работ в области стиховедения.

Завершим этот пункт 3.1 цитатой, связывающей имена Гаспарова и Колмогорова.

Михаил Леонович Гаспаров - живой классик науки о стихе. Эта дисциплина сложилась два с половиной века тому назад вместе со становлением новой русской поэзии и особый облик обрела в нашем столетии. М. Л. Гаспаров и продолжает дело (если говорить только о самых крупных стиховедах XX века) А. Белого, Б. В. Томашевского, К. Ф. Тарановского, А.Н. Колмогорова. Эти исследователи сформировали научное направление, основнное на статистическом и теоретико-вероятностном изучении стихотворной речи. [ Бае, с. 3].

3.2. Колмогоров и теория стиха. Истоки интереса Колмогорова к теории стиха, можно думать, таковы.

1. Прежде всего, это его широкие общегуманитарные и, в частности, литературные интересы. Отсюда - интерес к стихам.

2. Далее, его стремление к научному анализу явления, к систематизации понятий. Отсюда - интерес к стиховедению, возникший с молодости, в каковой он, по его собственному признанию, читал работы сперва Андрея Белого, а затем и Шенгели, и Томашевского. “Стиховедение считается трудной частью теории словесности” [Гасп 93, с. 3].

3. Высший уровень научного анализа и систематизации - это математизация. Математизация отнюдь не сводится к выражению явлений в числах, таблицах и графиках. Числа, таблицы и графики могут вообще отсутствовать. Главное в математизации - это создание такого описания явления, которое было бы безупречным с логической точки зрения, а математика выступает здесь в роли оценщика (и одновременно идеала) степени логической безупречности. Математизации легче всего поддается метрический аспект стихосложения. Отсюда - интерес Колмогорова к тому разделу стиховедения, который называется метрика и ритмика*. Ввиду того, что из всех разделов стиховедения именно метрика и ритмика была наиболее продвинута в направлении формализации, отсутствие должного порядка в её основных понятиях могло быть обнаружено достаточно быстро**. Оно и было обнаружено Колмогоровым, хотя он, по скромности, вряд ли бы согласился с такой формулировкой; скорее он сказал бы, что лишь выразил в явной форме общеизвестные представления.

* Согласно БСЭ (изд. 3-е, т. 16, стлб. 492) двучленным термином метрика и ритмика обозначается единый раздел стиховедения.

** Положение метрики и ритмики внутри стиховедения можно сравнить с положением фонологии внутри языкознания. Фонология также является наиболее формализованной частью объемлющей её науки. И именно поэтому пробелы в её формализации наиболее выпуклы для математика.

4. Числам, таблицам и графикам Колмогоров также не был чужд. Он только полагал, что им непременно должно предшествовать чёткое описание подсчитываемых явлений. Колмогоров был одним из классиков статистики. Приложение методов математической статистики к явлениям речи - в частности, к явлениям стихотворной речи - не могло его не интересовать.

5. В конце пятидесятых стиховедческие интересы Колмогорова сплелись с его занятиями кибернетикой. И сложение стихов (как процесс), и стихосложение (как способ организации текста, возникающего в результате такого процесса) стало возможным рассматривать под углом зрения кибернетики и даже в качестве объекта изучения последней.

6. В начале шестидесятых Колмогоров приступил к созданию последнего из своих математических шедевров - к созданию колмогоровской теории сложности, называемой сейчас теорией колмогоровской сложности (the theory of Kolmogorov complexity). Эта теория позволяет оценивать уровень сложности тех или иных объектов, прежде всего текстов (т. е. конечных цепочек букв): см. n° 5.9. Колмогорова интересовал, в частности, вопрос о сложности литературных текстов, в том числе о том, какая доля сложности приходится на содержание текста, а какая - на те или иные литературные приёмы; литературные же приёмы - такие как рифма, метр и т. п. - легче всего формализуются и вычленяются в поэзии.

7. Кажется, ритм вообще занимал особое место во внутреннем мире Колмогорова. Он любил и знал музыку. Некоторые его высказывания о поэзии можно было понимать в том смысле, что стихи, подобно метроному, задают такт эмоциональной сфере. В разделе II своего Второго семиотического послания [Колм СП.2] Колмогоров, в связи с блоковским «Возмездием», по существу, хотя и в иных выражениях, говорит о ритме эпохи (а ведь Блок, в предисловии к поэме, говорил даже о “музыкальном смысле” исторических событий). В 13-м пункте Четвёртого послания [Колм СП.4] Колмогоров говорит о “гуле-ритме”; не исключено, что нечто подобное гулу-ритму охватывало его в моменты высших математических усилий и достижений.

Публикации Колмогорова по теории стиха, согласно списку, помещённому на с. 107 статьи [Шир 89] и на с. 698 сборника [Шир 93], - это 10 статей [Колм 62; 63к; 63о; 64; 65з; 66; 68к; 68п; 84; 85] и одна аннотация доклада [Колм 63с]. (Последняя полностью воспроизводится ниже, в n° 3.7. Его соавтор по первой из перечисленных статей - тот самый Александр Михайлович Кондратов (1937–1993), материалы которого и о котором составляют целый раздел (с. 89–149) в НЛО № 18 (1996 г.)*.)

* Я познакомился с Сашей Кондратовым, когда тому было лет двадцать, в доме у моего друга и однокурсника Р. Л. Добрушина. Сюрреалистические рассказы Кондратова, которые он давал читать в машинописи, были ни на что не похожи и производили впечатление весьма сильное. Мне они казались замечательной литературой; мой восторг не разделялся Вяч.В. Ивановым, который, не отрицая силу воздействия этих рассказов, считал эту силу внелитературной: “Как если бы бумага меня насиловала” (слова Иванова). Когда я через непродолжительное время захотел перечитать и даже списать один из этих рассказов, оказалось, что это невозможно: автор его отредактировал, значительно, на мой взгляд, ухудшив, а первоначальный вариант уничтожил.

Не могу вспомнить, каким образом Кондратов, ведший довольно-таки богемный образ жизни, попал в поле зрения Колмогорова, но помню пару эпизодов, связывающих эти два имени. На одной из своих публичных лекций в Актовом зале МГУ на Ленинских горах (скорее всего, на лекции «Кибернетика в изучении жизни и мышления» 22 апреля 1964 г.) Колмогоров, недовольный чрезмерной, на его взгляд, расторопностью Кондратова, неодобрительно промычал [*]: “Ну вот Кондратов, он как-то уж печатается сразу во всех журналах [**]”, - и полагал, что этим он Кондратова сразил. Эффект был обратный: в перерыве к Кондратову выстроилась очередь из редакторов тех журналов, в которых он ещё не напечатался.

[*] Мычание было не единственной чертой, делающей Колмогорова похожим на его старшего современника Пастернака. У них было сходство и в чертах лица, и в чертах поведения; к последним можно отнести охотную готовность к физическому труду и демократизм в общении. Им обоим было свойственно “дворянское чувство равенства со всем живущим” («Доктор Живаго», ч. 1, гл. 4).)

[**] Не знаю, сколько у Кондратова имелось статей в журналах, но пачка библиотечных карточек, описывающих его популярные книги по истории, географии, семиотике, филологии занимает в каталожном ящике Ленинской библиотеки ощутимое пространство.)

И второй эпизод. В Москву приехал Роман Якобсон. Стоя в группе людей в фойе на первом этаже высотного университеского здания, он сказал, что вечером приглашён к Колмогорову. “Я рад за тебя, Роман”, - заявил Якобсону Кондратов, только что не хлопая Якобсона по плечу. (Увы, не могу вспомнить в каком году. Мне хочется сказать: в начале шестидесятых, в связи с 4-м Международным съездом славистов - но этот съезд был не в начале шестидесятых, а в 1958 г.; описываемое же событие не могло произойти ранее начала шестидесятых.)

В списке литературы к настоящему очерку Кондратову принадлежит помимо [Колм 62] авторство ещё семи сочинений: [Кон 61], [Кон 62мим], [Кон 62мип], [Кон 62э], [Кон 63с], [Кон 63т], [Кон 66]. (Отметим, что [Кон 61] представляет собой библиографическую загадку: в заголовке статьи, на с. 18, указан один автор, а именно А. Кондратов; в то же время на с. 56, в «Содержании», указаны два автора: А. Кондратов и Р. Добрушин.) Первые три и последнее из них относятся к популярному жанру. В рецензии [См] на книгу [Кон 66] говорится: “А. М. Кондратов известен советскому читателю как талантливый популяризатор - автор многочисленных статей и нескольких книг, в которых он увлекательно рассказывает о современном языкознании, кибернетике и смежных науках”.

Присоединяясь к мнению автора рецензии об увлекательности и талантливости, не могу не отметить, что Колмогоров критически отзывается об уровне точности, с каким его бывший соавтор излагает факты:

“В № 5 «Вопросов языкознания» за 1962 г. опубликована статья А. М. Кондратова «Эволюция ритмики В. В. Маяковского», являющаяся отражением интересной работы, проведённой автором частично независимо от меня, частично в развитие программы, которая была намечена при моём участии весной 1961 г. <...> К сожалению, в своей статье А. М. Кондратов: 1) публикует без проверки свою первоначальную статистику, иногда весьма неточную; <...> 3) не считаясь с итогами своих же собственных разысканий, сохраняет в качестве будто бы содержательных характеристик поэм <...> статистические данные <...>; 4) в ряде специальных вопросов (определение дольника, характеристики отдельных произведений) дает неточные формулировки, в частности, на с. 102 весьма невразумительно описывает употребляемые мною и Н. Г. Рычковой приёмы «разбивки» текста на слова. <...> Насколько мне известно, предлагаемая здесь [т. е. в [Колм 63к] классификация [типичных для Маяковского метров] разделяется и А. М. Кондратовым, хотя в своей брошюре «Математика и поэзия» (М., 1962) он вновь излагает ее не вполне отчетливо” ([Колм 63к], с. 64).

Ср. также мнение Вл. Е. Холшевникова: “Работы А. Кондратова изобилуют недопустимыми небрежностями и ошибками” [Хол, с. 396]. По поводу сформулированной выше загадки [Кон 61] рискну предположить, что Добрушин в последний момент снял свою фамилию, будучи недоволен кондратовскими неточностями. По моему собственному ощущению, основанному на знакомстве с Кондратовым, точность и аккуратность не вписывались в его исследовательский метод.

[*] Роланд Львович Добрушин (20.07.1929–12.11.1995) - ученик Колмогорова, известный математик и классик отечественной математической лингвистики: помимо статьи с соавторами [Ягл 60], он автор хотя всего только двух, но классических публикаций в этой области: [Добр 57] и [Добр 61]. Во вступлении к своей первой лекции (19.11.1960) из цикла «Некоторые вопросы математической лингвистики» (см. n° 3.4) Колмогоров сказал: “Я буду заниматься абстрактно-логическими методами. В духе Роланда Львовича Добрушина. Но в применении к силлабо-тоническому стихосложению”.

Остаётся выразить сожаление, что стиховедческие исследования Колмогорова остались опубликованными лишь в журналах и сборниках и всё ещё не изданы отдельной книгой. А.Н. Ширяев* так подытоживает эти исследования Колмогорова на с. 68 статьи [Шир 89]**:

По инициативе А.Н. Колмогорова была проведена большая работа по пересмотру и уточнению результатов, полученных известными иследователями стиха А. Белым, Б. Томашевским, Г. Шенгели, К. Тарановским, Р. Якобсоном и другими. Основные результаты, полученные в этом направлении А.Н. Колмогоровыми его учениками и сотрудниками, можно сформулировать следующим образом.

I. Выявление метрических законов. Даны: общее и частные определения метра; представление об образе метра и звуковом образе метра; строгое формально-логическое определение классических метров ([Колм 63о; 68к; 68п; 84]); описание и разграничение неклассических русских метров (в первую очередь, дольников, логаэдов***, вольных размеров, чисто акцентного стиха [Колм 62; 63о; 63к; 64; 65з; 66]).

II. Классификация и статистика ритмических вариаций метра. Здесь сформулировано и проверено общее принципиальное положение о том, что звуковое строение речи подчинено простым статистическим закономерностям, которые могут быть рассчитаны с помощью теории вероятностей. (Эти закономерности реализуются под давлением потребности передачи смысловой информации, если только этому давлению не противоречит систематически проводимая художественная тенденция.) Указан общий метод построения теоретических моделей различных метров; сформулирована гипотеза «имитации случайности»; (см. [Колм 63с], [Про], [Pro], [Колм 85]).

III. Анализ «остаточной» энтропии**** и ее оценка. Получена оценка «остаточной» энтропии и дан расчет «затрат энтропии» на отдельные приемы звуковой выразительности стиха <...>.

* Альберт Николаевич Ширяев (род. 12.10.1934) - один из ближайших учеников Колмогорова, ныне (1996 г.) унаследовавший его кафедру теории вероятностей на Мехмате МГУ.

** Названная статья [Шир 89] была впоследствии расширена и опубликована в качестве вступительной статьи [Шир 93а] к сборнику [Шир 93]; к сожалению, в том месте статьи [Шир 93а], где говорится о стиховедческих работах Колмогорова (а именно, на с. 117–118), ссылки на эти работы оказались перевраны.

*** Соотношение понятий ‘дольник’ и ‘логаэд’ (и, в частности, употребление термина “логаэд” Колмогоровым в [Колм 68п]) комментируется М. Л. Гаспаровым в § 102 его монографии [Гасп 74].

**** Об энтропии см. n° 5.8; об остаточной энтропии см. ниже

Понятию энтропии будет посвящён целый раздел 5.8 настоящего очерка. А здесь уместно сказать лишь, что стиховедческие исследования Колмогорова переплетаются с его исследованиями в области статистики и энтропийных характеристик речи. Приведём ещё одну цитату из статей А.Н. Ширяева (со с. 67 из [Шир 89] и со с. 115–116 из [Шир 93а]):

Глобальная идея, высказанная Андреем Николаевичем и объединяющая направление этих исследований, заключается в том, что «энтропия речи» (т.е. мера количества информации, передаваемой речью) может быть разложена на две компоненты:

1) внеречевую (смысловую, семантическую) информацию и

2) собственно речевую (лингвистическую) информацию.

Первая из этих компонент характеризует разнообразие, позволяющее передавать различную смысловую информацию.

Вторая компонента, названная Колмогоровым «остаточной энтропией», характеризует разнообразие возможных способов выражения одной и той же или равносильной смысловой информации. Иначе можно сказать, что эта компонента призвана характеризовать «гибкость» речи, «гибкость» выражения. Наличие «остаточной энтропии» обеспечивает возможность придания речи особой художественной, в частности, звуковой выразительности при передаче задуманной смысловой информации.

В свете этой общей идеи были поставлены и решены конкретные задачи по вычислению полной «энтропии речи» и «остаточной» энтропии. Участниками этих работ вместе с А.Н. Колмогоровым были А. В. Прохоров, Н. Г. Рычкова-Химченко, Н. Д. Светлова *, А. П. Савчук и другие.

* Ныне Наталья Дмитриевна Солженицына.

3.3. Задача о ямбе.

3.3.1. Вступление в проблему. Первые сигналы об интересе Колмогорова к теории стиха донеслись до меня в 1956 г. В тот год, 24 сентября, на Филологическом факультете МГУ начал работать семинар «Некоторые применения математических методов исследования в языкознании» - первый семинар по математической лингвистике в СССР*. При открытии семинара, его участникам были предложены мною два учебных задания, авторство которых принадлежало Колмогорову: дать строгое определение понятия падежа и дать строгое определение понятия ямба. Оба эти задания явились следствием моих бесед с Колмогоровым, сочувственно отнёсшимся как к созданию подобного семинара, так и к математизации филологических исследований вообще. Хотя я назвал здесь эти задания учебными, и на семинаре они были предложены (для маскировки их трудности**) именно в качестве таковых, на самом деле они представляли собою серьёзные научные проблемы. Советуя сформулировать на семинаре названные проблемы, Колмогоров указал мне и их решения.

* Руководителями семинара были профессор Филологического факультета Пётр Саввич Кузнецов (замечательный лингвист, с молодости не чуждый математики, друг детства Колмогорова, оставивший интересные автобиографические записки, см. [Кузн]), ассистент того же факультета Вячеслав Всеволодович Ивaнов и ассистент Механико-математического факультета Владимир Андреевич Успенский, то есть я; идея семинара и фактическое управление его работой принадлежали двум последним. Многословие в названии семинара было вызвано опасением, что слова “математическая лингвистика” могут вызвать гнев испуганного начальства. Подробнее о семинаре см. [Усп 92], § 1.

** Исходя из известной точки зрения, что задачу легче решать, если думаешь, что она лёгкая. Вспомним высказывание Эйнштейна о том, как делаются открытия (цитирую приблизительно, по памяти): “Все знают, что это невозможно. Есть невежда, который этого не знает. Он делает”.

Заметим, что обе проблемы состояли в нахождении строгих определений для понятий вполне традиционных, хорошо известных, привычно ощущавшихся на уровне интуиции и более чем достаточно представленных в научной литературе, но, тем не менее, таких понятий, которые не имели чётких определений, могущих удовлетворить взыскательного исследователя. Любого взыскательного исследователя, а не только математика. Математик здесь выступает лишь в качестве лакмусовой бумажки: уж если определение удовлетворит математика, оно должно удовлетворить любого. Однако само стремление непременно сформулировать недвусмысленное определение того или иного понятия и чувство дискомфорта при отсутствии такого определения образуют специфическую черту именно математического стиля мышления. Имея в виду круг читателей НЛО, проблему определения понятия ‘падеж’ мы затронем более кратко, а проблему определения понятия ‘ямб’ - более подробно. Но начнём всё же с падежа.

Как известно, традиционная школьная грамматика утверждает, что в русском языке 6 падежей (более тонкий анализ приводит к большему числу падежей), а, скажем, стандартные учебники языка эстонского называют в этом языке 14 падежей. Встаёт вопрос, чего именно, каких сущностей шесть в русском и четырнадцать в эстонском. В требовании дать ясный ответ на этот вопрос и состоит, в первом приближении, проблема определения понятия падежа. Колмогоров мимоходом, как это вообще было для него характерно, высказал идею такого определения и более к этому вопросу не возвращался. Мне посчастливилось быть слушателем (возможно, единственным) беглого изложения колмогоровских мыслей о падеже, и 5 ноября 1956 г. я рассказал их на 6-м занятии семинара «Некоторые применения...», а затем опубликовал в № 5 знаменитого «Бюллетеня объединения по проблемам машинного перевода» [Бюлл] * в виде заметки [Усп 57] **.

* «Бюллетень объединения по проблемам машинного перевода» был едва ли не первым продолжающимся изданием семиотического направления в нашей стране. Начиная с 8-го номера у него был увеличен тираж (аж до 800 экземпляров), улучшилась полиграфическая база и появилось параллельное название «Машинный перевод и прикладная лингвистика». А первые семь номеров вышли в 1957–58 гг. на стеклографе тиражом, возросшим от 150 экземпляров у № 1 до 350 у № 7. Выходил Бюллетень под шапкой Первого Московского государственного педагогического института иностранных языков; душой и ответственным редактором издания был Виктор Юльевич Розенцвейг. № 5 был целиком посвящён работе университетского семинара “Некоторые применения математических методов исследования в языкознании”.

** Моя публикация [Усп 57] носила предварительный характер, и колмогоровское определение было затем уточнено и развито А.А. Зализняком в §§ 2.2–2.4 его монографии [Зал]. Для полноты картины приведу здесь начало моей заметки - тем более, что само опубликовавшее её издание давно стало труднодоступным, да к тому же в процессе публикации заметки редакционной машинисткой был пропущен кусок, взятый в нижеследующей цитате в квадратные скобки (проницательный читатель легко догадается о причине допущенного машинисткой промаха). Итак, вот первый параграф из [Усп 57] (обе сноски - оттуда же):

§ 1.

А.Н. Колмогоров предложил следующее определение падежа.

Предметы могут находиться в различных состояниях. Так, предмет, носящий в русском языке название “молоко” может находиться в следующих состояниях: он может кипеть, его может не быть, его может пить кошка, его может пить собака и т. д. Состояния предмета выражаются в языке посредством предложений, в которых участвует существительное, являющееся названием этого предмета. Перечисленные выше состояния молока выражаются в русском языке посредством предложений: “молоко кипит”, “молока нет”, “кошка пьёт молоко”, “собака пьёт молоко”. При выражении посредством предложений состояний, в которых находится данный предмет, его название употребляется в той или иной форме (в приведённых выше примерах - “молоко”, “молока”).

Два состояния назовём эквивалентными относительно данного предмета, если при выражении указанных состояний в языке название предмета в обоих случаях употребляется в одной и той же форме. Например, два состояния, первое из которых состоит в том, что данный предмет кипит, а второе в том, что кошка пьёт данный предмет, эквивалентны относительно предмета молоко. Эти же состояния не эквивалентны относительно предмета вода: “вода кипит”, но “кошка пьёт воду”. Назовём два состояния абсолютно эквивалентными, если они эквивалентны относительно любого предмета, могущего находиться в [этих состояниях. Так, например, два состояния, первое из которых состоит в том, что кошка любит данный предмет, а второе в том, что собака пьёт данный предмет, являются эквивалентными относительно любого предмета, могущего находиться в] этих состояниях, и, следовательно, абсолютно эквивалентными. Совокупность всех состояний разбивается на непересекающиеся классы таким образом, что любые два состояния из одного и того же класса абсолютно эквивалентны, а любые два состояния из разных классов не абсолютно эквивалентны. Эти классы А.Н. Колмогоров и предложил называть падежами.

К сожалению, это определение не является вполне корректным. Дело в том, что одно и то же состояние для одного и того же предмета может выражаться посредством различных предложений, причём названия этого предмета могут стоять в разных формах. Например, “мальчик идёт берегом” и “мальчик идёт по берегу”; “рабочий строит дом” и “дом строится рабочим”. Вследствие этого само определение эквивалентности относительно данного слова перестаёт быть ясным. (Один из возможных способов устранения этой неясности состоит в том, чтобы считать два состояния, имеющие различные языковые выражения, разными состояниями, ведь различные предложения всегда - хотя бы чуть-чуть - различаются по смыслу.)

Тут надо подчеркнуть, что Колмогоров и не претендовал на окончательность формулировки, но лишь на общую идею - впрочем, идею достаточно конкретизированную.

Теперь о ямбе. Разумеется, и поэты*, и стиховеды понимали, что такое ямб, - в том смысле, что, не в пример Е. Онегину, могли отличить ямб от не-ямба.

* Но не все поэты, о чём с прискорбием сообщает Колмогоров на с. 399 в [Колм 68к]: “...Было бы печально, если бы читатели поверили Щипачеву, что в стихах

Довольно ямбов и хореев, Ломайте их, черт побери!

ямбический метр и в самом деле сломался”.

Однако речь идёт о точной словесной формуле, которая могла бы исчерпывающе отразить это понятие в качестве дефиниции. Неужели, возмутится читатель, автор хочет нас убедить, что таких дефиниций не было? В качестве ответа на это законное возмущение приведу полностью статью «Ямб» из 3-го тома изданного в 1955 г. издательством «Большая Советская Энциклопедия» трёхтомного «Энциклопедического словаря». Читаем на с. 721:

Приглашаю читателя ответить на два вопроса: 1) откуда взялось ударение на 1-м слоге слова “занемог”? 2) если не расставлять подобных ложных ударений, то как усмотреть из этого определения, что «Евгений Онегин» написан ямбом. Столь же невозможно понять, что такое ямб (если не знать этого заранее!), и из известного словаря [Квя].

Посмотрим теперь, что писал по поводу тех же двух начальных строк «Онегина » Андрей Белый на с. 259 своей статьи «Лирика и эксперимент» из сборника [Бел 10с] (неточная перепечатка: [Бел 94кэтс1], с. 202); мы с огорчением увидим много сходства с только что приведённой статьёй из «Энциклопедического словаря». Итак, цитата из Белого.

Так строка „Мой дЯ|дя сА|мых чЕстных прА|вил“ приближается к ямбической (Только приближается! А что же тогда является ямбической строкой? - Вл. У.) благодаря совпадению ударений в словах с долгими слогами; строка же „КогдА не в шУт|ку зА|немОг“ отступает от правильной потому, что слово „занемог“ насильственно принимает на слоге „за“ второе ударение (зАнемОг); но мы читаем приведенный стих так, что долгий слог „за“ принимаем за краткий, отчего ямбическая строка принимает следующий вид:

т.е. формально она есть комбинация ямба с пэаном четвертым или с пиррихием <...>.

Автор настоящего очерка чрезвычайно уважает Белого и привёл эту цитату, чтобы продемонстрировать, сколь много неясностей таится в текстах наиболее уважаемых стиховедов (что уж говорить о неуважаемых!). Вот только один из многих вопросов, остающихся без ответа: так принимает “занемог” ударение на первом слоге (что сомнительно) или мы читаем это слово так, что долгий (надо думать, ударный) слог принимаем за краткий (надо думать, за безударный), и тогда ударения на первом слоге нет? А главное, почему же обсуждаемая строка, хотя и отступает, по словам Белого, от правильной, всё же признаётся им ямбической?

Завершим этот вводный подпункт 3.3.1 цитатой из М. Л. Гаспарова ([Гасп 93], с. 3), как нельзя лучше схватывающей суть проблемы:

Когда школьнику или студенту предлагается определение: “Ямб - это стихи, в которых на четных слогах стоят ударения, а на нечетных отсутствуют”, - а потом перед такими строками, как “Бой барабанный, клики, скрежет”, делается оговорка, что на четных слогах ударения иной раз пропускаются, а на нечетных иной раз появляются, то после этого трудно не почувствовать себя перед лицом хаоса.

3.3.2. Что же такое ямб? В своей лекции 19 октября 1960 г. (см. n° 3.4 ниже) Колмогоров сказал: “Томашевский считал, что всякий стих есть стих четырёхстопного ямба, если он, будучи вставлен в ямбическую строфу, ей не противоречит. Но вот задача исследователя как раз и заключается в том, чтобы понять, в чём эта интуиция состоит”.

Приступим непредвзято к этой обозначенной Колмогоровым задаче исследователя. Прежде всего мы обнаруживаем, что само понятие ямба расщепляется на два: можно говорить о ямбе как о признаке стопы (о ямбе-стопе, о ямбической стопе) и о ямбе как о признаке стиха, или строки (о ямбе-строке, о ямбической строке). Что такое ямбическая стопа, казалось бы, известно всем и каждому. Это стопа та-тA, состоящая из двух слогов, из коих первый - безударный, а второй - ударный. Именно с таким чередованием ударных и безударных слогов написана знаменитая строка “Мой дядя...” - с ударением на каждом чётном слоге и с отсутствием ударения на каждом слоге нечётном. Но уже следующая строка написана не так. Совершенно очевидно, что «Евгений Онегин» не написан стопой та-тА. Почти три четверти строк поэмы не являются «правильными» в смысле Белого, а более одной пятой чётных слогов являются безударными (см. [Про], с. 95, табл. 8). И уже третья строка содержит ударное “он” на нечётном, а именно первом, месте. Вместе с тем не хочется отказываться от мнения, что «Онегин» написан ямбом, т. е. что каждая его строка ямбическая.

Это означает, что ямбическая строка не состоит из ямбических стоп. А тогда что значит, что строка является ямбической? Или же мы должны менять представление о ямбической стопе? В конечном счёте оказывается, что именно это и следует делать. Говоря более точно, следует различать речевую стопу как реальное сочетание ударных и безударных слогов в речи и метрическую стопу как сочетание условных единиц, называемых сильными слогами, или иктами, и слабыми слогами, или слабыми временами. А далее надлежит формулировать правила, или законы, соответствия между, с одной стороны, сильными и слабыми слогами метрической стопы и, с другой стороны, ударными и безударными слогами речевой стопы. Это соответствие и обеспечивает ощущение стихотворного метра. Но всё это было осознано сравнительно поздно. А ясно изложено ещё позднее: мне неизвестно более раннего (по крайней мере, в отечественной литературе) отчётливого изложения приведённых только что представлений о законах соответствия, ныне общепризнанных, чем в [Колм 68к] *. Наилучшим образом указанные представления изложены в нормативном тексте М. Л. Гаспарова «Основные понятия русской метрики», помещённом на с. 11–17 его упомянутой в начале этого параграфа монографии [Гасп 74].

* В [Колм 68к], на с. 404–405, формулируются законы соответствия реального ритма стиха и его метрической схемы. Реальный ритм состоит в чередовании в речи реальных (акустических, фонетических) явлений: ударных слогов, безударных слогов, словоразделов. Метрическая схема состоит в чередовании абстрактных единиц, называемых “сильный слог”, “слабый слог”, “ударный метрически, или по схеме, слог”, “безударный метрически, или по схеме, слог”, “метрический, или обязательный, словораздел”. Для этих единиц Колмогоров принимает следующие обозначения: Њ для сильного слога, » для слабого слога, ЊЂ для ударного по схеме слога, « для безударного по схеме слога, | для обязательного словораздела. Можно считать, что метрическая схема есть просто строка, на каждом месте которой стоит один из только что перечисленных пяти символов.

Например, схема стихов с женским окончанием из пушкинского «Бориса Годунова» имеет вид

Знак обязательного словораздела в конце стиха часто опускается.[Колм 68к], с. 401.

Вот колмогоровские законы соответствия из [Колм 68к]:

Первые четыре закона <...> звучат тривиально:

1) Стих должен содержать предусмотренное схемой число слогов. Таким образом, каждый слог реального стиха попадает на определённое место метрической схемы и в соответствии с этой схемой называется метрически слабым или сильным.

2) Ударный по схеме слог должен быть реально ударным.

3) Безударный по схеме слог должен быть реально безударным [*]

4) Обязательный по схеме словораздел должен проходить между слогами, принадлежащим к двум различным ритмическим словам.

Последний, пятый закон соответствия, кажется, был отчётливо сформулирован впервые Романом Якобсоном в 1922 г. (см. [Як] [**]), как закон недопустимости переакцентуации стиха. Во всяком случае, незадолго до того Валерий Брюсов вместо этого закона указывал длинный ряд требований «правильности» ипостас. Закон этот может быть сформулирован так:

5) ударение на слабом слоге метрической системы законно лишь в том случае, если подчинённое этому ударению «ритмическое слово» не содержит сильных слогов.

В [Колм 85], на с. 114, предлагается такая, эквивалентная формулировка этого последнего закона: “если ритмическое слово содержит хотя бы один сильный слог, то ударение в слове должно падать на один из этих сильных слогов”.

[*] В более поздней публикации Колмогорова этот закон опущен, так что количество законов соответствия оказывается сниженным до четырёх: см. [Колм 85], с. 114. Это пренебрежение правилами поведения безударных слогов не совсем понятно. Действительно, тут же, на с. 113, говорится: “Классическое русское стихосложение основано на правильном чередовании ударных, безударных <выделено мной - Вл. У.>, сильных, слабых слогов и соблюдения требуемых метром словоразделов”. Представляется несомненным, что под ударными и безударными слогами надлежит понимать здесь не реально (фонетически) ударные и безударные слоги, а слоги, ударные и безударные метрически, т. е. по схеме (см. о них в начале примечания). Таким образом, в [Колм 85] подтверждается то представление о метрической схеме, включающей в свой состав и метрически безударные слоги, которое было сформулировано ранее в [Колм 68к]. Я склонен считать, что исчезновение безударных по схеме слогов из формулировки законов соответствия реального ритма метрической схеме является недоразумением, чем-то вроде опечатки. Тем более, что на такую точку зрения я получил разрешение у М. Л. Гаспарова, к которому обратился за консультацией.

[**] Сочинение Якобсона [Як] помещено в разделе «Новые книги», занимающего с. 222–276 опубликовавшего это сочинение сборника «Научные известия», и действительно является рецензией. Достойно внимания, однако, что рецензент не считает нужным недвусмысленно объявить, что именно рецензируется (это к вопросу об отчётливости Якобсоновых формулировок). Анализ приводимых в рецензии цитат позволяет утверждать, что речь идёт о книге [Брю]. Читатель может сам сравнить пятый закон Колмогорова с формулировкой Якобсона из его рецензии [Як] и иметь собственное суждение - возможно, отличное от колмогоровского - о степени её отчётливости.  Вот соответствующая цитата из [Як], с. 229:

Относительно ипостасы ямба хореем в русской поэзии XX века действует следующий закон: ударяемое слово может быть, при известных фонетических условиях (после паузы), ритмически атонировано, но не может быть ритмически переакцентуировано, т. е. возможны случаи в роде: “Дух отрицания”, но не “Мальчик пошёл”, “Мальчики шли”.

3.3.3. Дефиниция ямба. Но вернёмся к колмогоровской задаче о ямбе. Уточним: речь идёт о ямбе-строке, т. е. об определении понятия ‘ямбическая строка’. Решение должно полностью оправдать расхожее мнение, что «Евгений Онегин» написан именно ямбом, т. е. что каждая его строка - ямбическая. Исчерпывающая формулировка решения содержится и в монографии [Гасп 74] (см. с. 13–14), и в энциклопедической статье того же автора [Гасп 78я], но не надо забывать, что моя беседа с Колмогоровым о ямбе состоялась значительно раньше, а именно в 1956 г.

Определение ямба, которое сообщил мне тогда Колмогоров, полностью укладывается в рамки тех общих представлений о законах соответствия между реальным ритмом и метрической структурой, о которых мы говорили несколькими строками выше и которые позже были сформулированы Колмогоровым в [Колм 68к]. Для случая 4 стоп колмогоровское определение можно найти, например, на с. 286 статьи [Рев СТИ]:

Пусть дана следующая схема чередования сильных (-) и слабых (И) слогов:

Мы будем говорить, что стихотворение написано четырехстопным ямбом, если в каждом слове стихотворной строки, состоящем не менее чем из двух слогов, ударение не попадает на слабый слог, причем чередование сильных и слабых слогов соответствует приведенной выше схеме, например:

Если игнорировать количество стоп (каковое количество определяется простым подсчётом числа слогов), то колмогоровское определение можно перефразировать, предварительно введя понятие нарушения ямбической структуры. Скажем, что слово нарушает структуру ямба, если оно удовлетворяет сразу двум условиям:

(1) оно расположено в строке так, что его ударение приходится на нечётный слог строки;

(2) оно содержит более одного слога.

А теперь скажем, что строка является ямбической (принадлежит ямбу и т. п.), если в ней нет слова, нарушающего структуру ямба.

Эквивалентная по содержанию формулировка (правда, без ясного заявления, что это есть именно определение ямба, а не только его характерная черта) впервые была опубликована К. Ф. Тарановским в его вышедшей в 1953 г. (увы, на сербском!) монографии [Тар 53]: см. с. 375, где даётся (на русском!) краткое содержание 1-ой части, называющейся «Теоретические основы русских двудольных размеров». Колмогоров пришёл к своей формулировке не только независимо, но и раньше; когда он в молодости читал стиховедческие работы Белого, Томашевского и Шенгели, он просто не мог не задуматься над вопросом, что же такое ямб по определению. Надлежит, однако, признать, что в первоначальном колмогоровском определении отсутствует требование обязательности ударения на последнем сильном слоге (каковым, в случае ямба, служит последний или предпоследний слог строки), так что, скажем, двустишие “В тот год я жил в Германии, / Поскольку был в изгнании”, согласно первоначальному колмогоровскому определению (но не согласно определению из [Гасп 74] и [Гасп 78я]!), является ямбическим. Само представление об обязательно-ударных слогах появилось в высказываниях Колмогорова позже.

3.3.4. Тредиаковский, Якобсон, Тарановский. Тарановский, как только что было отмечено, по существу сформулировал в [Тар 53] определение ямба, но облёк найденную им формулировку не в форму определения, а лишь в форму указания свойств ямба. В [Тар 71] он предложил более явную и весьма изящную (поскольку была изложена исключительно в запретительных терминах) формулировку *.

* Вот эта формулировка:

1.1. Если понимать ритмизацию словесного материала как наложение определенных запретов на материал, русские классические двусложные размеры характеризуются двумя запретами: 1) последний икт строки не может быть заполнен безударным слогом; 2) на слабое время стиха не может падать фонологическое (словоразличительное, пермутативное) ударение самостоятельных словесных (акцентных) единиц. Таким образом, односложные акц. единицы, не наделенные фонологическим ударением, разрешаются и в анакрузе, и на всех слогах основы стиха.

Предшественниками Тарановского в понимании характерных для ямба запретов и разрешений были и Р. О. Якобсон, и В. К. Тредиаковский. Колмогоров уважительно ссылается на них на с. 405 в [Колм 68к] (на Якобсона) и на с. 145 в [Колм 68п] (на Тредиаковского). Разумеется, ни Тредиаковский, ни Якобсон ни мыслили в категориях определений. По существу же, в том колмогоровском определении ямба в терминах нарушения ямбической структуры, которое было приведено выше, Якобсону принадлежит условие (1), а Тредиаковскому - условие (2).

Условие (1) состоит в запрете на переакцентуацию; мы будем называть этот запрет запретом Якобсона. Условие (2) состоит в исключении из каких бы то ни было запретов односложных слов, т. е. в разрешении ставить такие слова куда угодно; мы будем называть это разрешение разрешением Тредиаковского. Именно в силу разрешения Тредиаковского не нарушает структуру ямба ни слово “бой” в пушкинской строке “Бой барабанный...” из n° 3.3.1, ни слово “шли” в строке “Шли годы...” из n° 3.3.3, ни слово “чёрт” в двустишии "Довольно ямбов...". Можно поэтому следующим образом изложить колмогоровскую дефиницию ямба: стих называется ямбическим, если в нём нет слова, нарушающего запрет Якобсона, разве что это слово подпадает под разрешение Тредиаковского. Впрочем, в той формулировке «закона недопустимости переакцентуации стиха», которую предлагает Колмогоров в [Колм 68к], приписывая её Якобсону, уже содержится разрешение Тредиаковского. Колмогоровская формулировка запрета Якобсона приводится в [Колм 68к] в качестве пятого закона соответствия между реальным ритмом и метрической схемой . Колмогоровская формулировка разрешения Тредиаковского приводится в [Колм 68п] *.

* На с. 145 в [Колм 68п] читаем: “Различие между сильными и слабыми слогами в частном случае разбираемого сейчас метра сводится к соблюдению правила, сформулированного еще Тредиаковским и удовлетворительно объясняющим это явление для классических ямба и хорея (но не для классических трехсложных размеров): ударение на слабом слоге может стоять лишь в случае, если этот слог образует самостоятельное отдельное односложное слово. Сильные слоги могут быть ударными или безударными без ограничений”. [*]

Следует объяснить, почему правило Тредиаковского не даёт исчерпывающего объяснения для возможного присутствия ударения на слабом слоге в трёхсложных размерах. Обратимся к колмогоровским законам соответствия, приведённым в примечании выше. Мы обнаруживаем, что эти законы допускают наличие в стихе такого двусложного слова, оба слога которого (в том числе и ударный!) попадают на слабые позиции (т. е. на позиции слабых слогов).

[*] Колмогоров не указывает точного адреса правила Тредиаковского. Приведём три относящиеся к предмету цитаты. Первая - из «Предуведомления» 1751 г. [Тред 751]:

Способ к сочинению наших стихов во всяком роде <...> есть весьма нетруден. Вопервых, надобно почитать все односложныя слова общими, тоесть, и долгими и короткими, как того случай потребует. <...> ...Все наши односложные слова, по природе своей, долгие, а полагаются обшими в стихах токмо по законной вольности. [Тред 751], стр. LXIX–LXX.

Вторая цитата - из Главы первой вышедшего в 1752 г. и замечательного по своей ясности сочинения Тредиаковского «Способ к сложению российских стихов...» [Тред 752]:

§ 12 Во всяком слове ударенный, или возвышенный слог силою, то есть Тоном, называется Долей; но прочии все в нем, сколькоб их ни было, Короткии.

§ 13 Нет ни одного слова, которое можно б было выговорить, не ударив его по какому нибудь слогу однажды: то есть, нет ни одного слова, которое не имело б в себе долгаго слога.

§ 14 И как премножество есть слов Односложных; то следует, что и они без Тонна <Двойное эн в источнике. -  Вл. У.> выговорены быть не могут.

§ 15 Того ради, все односложные слова по естеству своему суть долгия. Однако, хотя сие есть и бесспорно, толкож употребление наших Стихотворцев почитает их все в составлении Стопы и Общими, то есть и долгими и короткими, смотря по потребности: сие невольность толь есть нужная, что без нее едваль бы можно было составить один токмо Стих без превеликия трудности. [Тред 849], стр. 127–128.

Наконец, третья цитата из вышедшего в 1755 г. сочинения Тредиаковского «О древнем, среднем и новом стихотворении российском» [755]:

Односложные речения, кои с природы все долгие, для того что нет речения, кое можно б было выговорить, не ударив его где-нибудь у нас однажды, полагаются в нем <т. е. в “тоническом количестве” - Вл. У.>, по вольности, общими, то есть и долгими и короткими, как того нужда требует: без вольности сея претрудно, или и невозможно, стих сочинять. [Тред 963], стр. 444.

Читателю не составит труда найти формулировку в стиле Колмогорова, дающую определения хорея *; и тогда он обнаружит, что определение хорея в статье [Гасп 78х] неполно, поскольку не учитывает разрешение Тредиаковского (и потому, по буквальному смыслу этого определения, пушкинская строка “Cбились мы. Что делать нам!” оказывается не принадлежащей хорею из-за ударного “что” на чётном месте).

* “Было бы, например, жаль, - указывает Колмогоров в [Колм 68к] на с. 399, - если бы в кругах поэтов и любителей поэзии было утрачено понимание того, что стих

Как пошли наши ребята...

не соответствует строгим требованиям классического четырехстопного хорея...;”.

3.4. Лекции о ритме русского стиха. Осенью 1960 года Колмогоров объявил на Механико-математическом факультете Московского университета цикл своих выступлений под общим наименованием «Некоторые вопросы математической лингвистики». Сам он называл эти свои выступления докладами, тем самым как бы учреждая некий семинар как место проведения этих докладов *. По существу это были лекции.

* Что и дало потом повод говорить о «стиховедческом семинаре Колмогорова», см. n° 3.9 и примечание ниже.

По-видимому, Колмогоровым намечался достаточно обширный цикл, фактически же из него состоялись всего три лекции, объединённые названием «Теория вероятностей и анализ ритма русского стиха», - 19 октября, 10 и 24 ноября. Колмогоровские лекции предназначались для сотрудников, студентов и аспирантов факультета - для всех желающих. Посещались лекции и рядом филологов; их присутствие там лежит отчасти на моей совести. А именно, мною на лекции были приглашены мой младший брат Борис Андреевич Успенский и мои друзья Николай Борисович Томашевский (1.03.1924–9.08.1992), Наталья Леонидовна Трауберг, Вячеслав Всеволодович Иванов, Михаил Константинович Поливанов (19.09.1930– 23.01.1992), Андрей Анатольевич Зализняк, Мария Георгиевна Марецкая; все, кроме Поливанова, - филологи. Узнав о лекциях, попросили меня пригласить их филологи Татьяна Владимировна Вентцель, Виктор Юльевич Розенцвейг и Виргилиус-Юозас Чепайтис. В свою очередь, Вяч.В. Иванов пригласил следующих филологов: А. К. Жолковского, Л. И. Иорданскую, Н. Н. Леонтьеву, Ю. С. Мартемьянова, И. А. Мельчука, Е. В. Падучеву, И. И. Ревзина, Вл. Н. Топорова, Р. М. Фрумкину, Ю. К. Щеглова.

В промежутке между 2-й и 3-й лекциями, 17 ноября, Колмогоров и его молодая сотрудница Наталья Григорьевна Рычкова (в 1960 г. окончившая Мехмат и оставленная Колмогоровым на его кафедре теории вероятностей для занятий математическим стиховедением) провели беседу на темы математической теории стиха с Н. Б. Томашевским, Вяч.В. Ивaновым, Вл. А. Успенским (т. е. мною), А. А. Зализняком, Марией Владимировной Ломковской (за год то того окончившей Мехмат и по моей инициативе оставленной на кафедре математической логики для занятий математической лингвистикой), Анной Порфирьевной Савчук и Александром Владимировичем Прохоровым (последние двое в то время - студенты Мехмата). 1 декабря Колмогоров провёл ещё одну беседу с некоторыми из слушателей его лекций.

Я не берусь пересказывать здесь эти лекции и беседы Колмогорова. Перечислю лишь тех поэтов, ритмические структуры коих в них анализировались: это Кантемир, Ломоносов, Державин, Капнист, Жуковский, Гнедич, Пушкин, Баратынский, Лермонтов, Фет, Блок, Гумилёв, Маяковский, Пастернак. Поражала основательность, с которой Колмогоров изучил сочинения своих предшественников в исследовании стиха; он ссылался на труды Кантемира, Брюсова, Андрея Белого, Томашевского, Шенгели, на «Метрический справочник к сочинениям А. С. Пушкина» Б. И. Ярхо и др.

В вводных замечаниях 19 октября Колмогоров сообщил, что считает себя дилетантом, что в молодости читал стиховедческие работы Белого, а потом изучал Томашевского и Шенгели и что основная его цель - возбудить интерес к изучению их работ *. Далее было заявлено, что в стихах из двух факторов: из необходимости выражать мысль и из законов ритма - возникают вероятностные закономерности; исследование этих вероятностных закономерностей должно непременно предшествовать исследованию художественных приёмов, потому что при ином порядке исследования можно неизбежный статистический закон ошибочно принять за приём. Колмогоров высказал также два пожелания, относящихся к изучению высшей нервной деятельности. Первое. Эту деятельность следует изучать с учётом происшедших в обществе изменений, а именно в свете возникающего кибернетического переплетения людей и машин. Второе. Почему бы не выбрать процесс создания стихов в качестве образцового объекта такой деятельности? Чем это хуже, чем изучать в качестве такого объекта функцию слюноотделения? Наконец, Колмогоров остановился на механизме выразительного чтения, предполагающего, при произнесении данного слова, чтение (про себя) нескольких дальнейших слов, и на связанных с этим механизмом проблемах.

* По словам Колмогорова, и у Шенгели, и у Томашевского имелись ошибки. В частности, сказал Колмогоров, по Шенгели количество односложных слов уменьшается при переходе от прозы к четырёхстопному ямбу, а по Томашевскому оно увеличивается. Это происходит по двум причинам. Во-первых названные исследователи, не замечая того сами, делили текст на слова разными способами. В [Колм 68к] (с. 398, сноска) отмечено, что “статистические данные Томашевского и Шенгели, относящиеся к ритму прозы, резко расходятся” и что это происходит потому, что Шенгели относил к числу ударных более широкий класс слогов, нежели Томашевский. Во-вторых, сказал Колмогоров, Томашевский стихотворный текст делил как можно более дробно, “считая словом всё, что можно произнести самостоятельно; а в прозе он почему-то придерживался другого принципа - принципа поглощения”.

3.5. Доклады о теории стиха на математических форумах.

3.5.1. В Мосматобществе. В декабре 1960 г. Колмогоров дважды выступает со стиховедческими докладами в Московском математическом обществе (ММО).

Днём в четверг 22 декабря происходит совместное заседание секции теории вероятностей и математической статистики ММО и семинара по математической лингвистике кафедры математической логики МГУ (этим семинаром руководили А.А. Зализняк, заведующий кафедрой А.А. Марков младший и я). На семинаре происходит доклад А.Н. Колмогорова, А. В. Прохорова и Н. Г. Рычковой «О русском четырёхстопном ямбе». Доклад произносит Колмогоров, который заявляет, в частности, следующее: “Если мы желаем показать, что математики могут что-то продвинуть в теории стиха, то надо заняться именно четырёхстопным ямбом, а не теми более сложными размерами, которыми занимаются сейчас”.

А 27 декабря происходит, как обычно по вторникам, пленарное заседание ММО. Его целиком занимает доклад Колмогорова «Математические методы исследования русского стиха».

3.5.2. На Учёном совете. 17 января 1961 г. Колмогоров выступает на Учёном совете Механико-математического факультета МГУ с докладом «Математика и стиховедение». В этом докладе, в частности, проводилась параллель между занятиями кибернетиков машинным переводом и занятиями военных оптиков астрономическими инструментами: в обоих случаях - полезная шлифовка методов при сомнительной экономической целесообразности.

3.5.3. На Съезде. С 3 по 12 июля 1961 г. в Ленинграде проходит Четвёртый (и последний) всесоюзный математический съезд. Работает 13 секций. Не пересекаясь с ними по времени, каждый день происходят три или четыре часовых пленарных внесекционных доклада. Один из таких докладов в понедельник 10 июля, в 10 часов утра, делает Вяч. В. Ивaнов. Доклад называется «Математическая лингвистика». Из хроникальной заметки М. И. Бурлаковой [Бур ВЯ] мы узнаём, что, выступая в прениях по этому докладу, Колмогоров “остановился на понятии адекватности перевода и роли непрерывного, а не дискретного применительно к художественному переводу. Хотя при переводе логические понятия берутся за исходные, исторически они являются результатом позднего развития; мышление человека, прежде чем стать логическим, долгое время остаётся языковым”. (Как я припоминаю, Колмогоров в беседах неоднократно указывал, что - хотя это и не осознаётся должным образом - именно язык оказывает решающее влияние на развитие логики и что различие между европейской и восточными системами логики имеет своим корнем различие между соответствующими языками.) В тот же день, в 13 ч. 25 м., в подсекции «Приложения» секции «Теория вероятностей и математическая статистика» происходит 25-минутный доклад А. В. Прохорова и Н. Г. Рычковой «Некоторые вопросы ритмики русского классического стиха»; согласно [Бур ВЯ], предмет этого доклада составила “математическая теория стиха, разрабатываемая под руководством А.Н. Колмогорова”.

3.6. Совещание в Горьком.

3.6.1. Общие сведения. Все перечисленные в предыдущей рубрике литературоведческие выступления Колмогорова и членов его команды имели место на математических форумах. Но вот осенью 1961 г., а именно с 23 по 27 сентября, в городе Горьком, под эгидой Горьковского госуниверситета им. Лобачевского и Горьковского Дома учёных происходит организованное Историко-филологическим факультетом названного университета и Группой прикладной лингвистики и машинного перевода Горьковского физико-технического института «Научное совещание, посвящённое применению математических методов в изучении языка художественных произведений». Совещание проходит в помещении названного факультета (Университетский переулок, дом 7, аудитория 5).

Никаких материалов совещания, насколько известно, издано не было. Дальнейшие сведения об этом совещании, явившемся важной вехой в развитии его проблематики, мы заимствуем из двух статей его участника И. И. Ревзина в лингвистических изданиях: из хроникальной заметки [Рев ВЯ] и из подытоживающего очерка [Рев СТИ]; литературоведческие издания не удостоили совещание откликом (и этот факт не-отклика есть примета времени).

В совещании приняли участие В. П. Григорьев, А. К. Жолковский, Вяч. В. Ивaнов, Е. В. Падучева, И. И. Ревзин, В. Ю. Розенцвейг, Ю. К. Щеглов (все - Москва), Ю. В. Кнорозов (Ленинград), Б. Н. Головин (Горький), В. А. Зарецкий (Курск) и др. Участвовал в совещании, и притом весьма активно, и Колмогоров.

Можно сказать, что всё совещание прошло под знаком Колмогорова.

3.6.2. Вступительная лекция Колмогорова. Деловая часть совещания открылась (23 сентября, в 15 часов) лекцией Колмогорова «Комбинаторика, статистика и теория вероятностей в стиховедении» *.

* В своей лекции “Колмогоров показал, что учёт комбинаторных возможностей позволяет уточнить некоторые основные понятия стиховедения, как, например, ямб, дольник и т. п., учесть все возможные формы (возникающие в связи с пропуском того или иного ударения) и варианты форм (возникающие в связи с тем или иным расположением словоразделов). Применение статистики и теории вероятностей даёт возможность установить основные закономерности в стихе, выявить норму и отклонения от них. В связи с этим удаётся охарактеризовать общую окраску и индивидуальные приёмы. Высоко оценив работы по стиховедению 10-х и 20-х годов, А.Н. Колмогоров остановился на отдельных ошибках (Г. Шенгели [*] и других стиховедов), связанных с неверным применением статистических законов” ([Рев ВЯ], с. 161).

[*] В связи с Шенгели А.С. Монин вспоминает такой эпизод. “Однажды по какому-то стиховедческому поводу цитировался Шенгели, и один из участников беседы сказал, что цитировать Шенгели не следует, так как он написал очень гадкую книгу о Маяковском. А.Н. рассердился - а это, напоминаю, бывало с ним редко - и долго и возбуждённо объяснял, что какой бы Шенгели ни был, там, где он прав, надо его цитировать” ([Мон], с. 490). Свидетельствует Семён Израилевич Липкин: “Как-то я присутствовал на лекции А.Н. Колмогорова, посвященной применению методов теории вероятности к исследованию стихосложения. Академик с большим уважением отозвался о трудах Шенгели в этой области” ([Лип], с. 62–63). Не будем, однако, забывать, что настоящее примечание относится к тому месту, где Колмогоров говорит об ошибках Шенгели; см. также его высказывание на сходную тему в разделе II из [Колм СП.2].

Стиховедческие взгляды Колмогорова, высказанные им на горьковском совещании, следующим образом охарактеризованы И. И. Ревзиным:

А.Н. Колмогоров исходит из той отличительной осоебенности стиха (по сравнению с прозой), что в стихе наличествуют количественные закономерности, устанавливаемые вне зависимости от содержания и непосредственно не связанные с последним. Звуковая выразительность стиха, возникающая в результате действия этих закономерностей, достигается прежде всего потому, что в языке имеется большое количество средств для выражения некоторого заданного содержания. Возникает желание найти пути для точного изучения этих закономерностей. Первые значительные шаги в этом направлении были сделаны рускими исследователями 10–20-х годов нашего века (в первую очередь А. Белым, Б. Томашевским и Г. Шенгели), но их работы нуждаются в уточнении и дальнейшем развитии. Прежде всего А.Н. Колмогорову удалось дать строгое формальное определение некоторых основных понятий стиховедения, например отдельных размеров (правильных двухсложных и трехсложных, а также различных видов дольника и чисто тонического стиха). [Рев СТИ], с. 286.

В связи с последней фразой цитаты вспомним наш n° 3.3.3.

Дальнейшая характеристика ямба связана с анализом возможных форм, возникающих в результате пропуска тех или иных ударений в ритмической схеме, например третьего:

Внутри форм исследуются все возможные варианты, возникающие в связи с тем или иным словоразделом. Наконец, исследуются закономерности появления дополнительных ударений в тех или иных формах.

Путем подсчета вероятностей следования друг за другом слов заданной ритмической структуры в прозаическом тексте (в частности односложных, вызывающих дополнительные ударения) было выяснено естественное распределение тех или иных форм и вариантов внутри форм. Оказалось, что выбор тех или иных форм, в особенности последовательностей тех или иных форм, поэтом (например, Пушкиным в «Евгении Онегине») неслучаен. В связи с этим возникает возможность качественной оценки. Выделяются две группы отклонений от естественного распределения:

а) более частые отклонения от статистической нормы (например, преобладание форм с пропуском второго или третьего ударения) воспринимаются не в некотором отдельном месте, а как общая окраска произведения;

б) более редкие, но зато резкие отклонения от статистической нормы (например, семь из восьми строк подряд, написанные полным метром без пиррихиев, в «Евгении Онегине», начинающиеся словами “Всё то же лжёт Любовь Петровна” (гл. VII, XLV), - воспринимаются как индивидуальный прием.

В связи с этим полезно напомнить, что в подобных случаях литературоведы обычно бросаются в одну из двух крайностей: или непосредственно увязывают некоторые приемы с данным содержанием, или же отрицают всякую связь между приемом и содержанием. Между тем статистика дает основания для оценки правильности гипотез, формулируемых на основе интуиции исследователя. [Рев СТИ], с. 286–287.

3.6.3. Доклады и выступления Колмогорова. На втором и третьем заседаниях были заслушаны доклады Колмогорова и воглавляемой им стиховедческой группы (Н. Г. Рычкова, А. П. Савчук, А. В. Прохоров) кафедры теории вероятностей МГУ *. Сам Колмогоров выступил с двумя докладами: «Энтропия речи и стихосложение» **, «Локальный словарь поэта и рифма» ***, а также был одним из авторов (вместе с Н. Г. Рычковой) доклада «Ритмика Багрицкого» ****.

* В докладе А. П. Савчук (Москва) «Экспериментальное определение энтропии русского языка» были охарактеризованы трудности, возникающие при определении энтропии известным методом К. Шеннона. <...> В докладе Н. Г. Рычковой (Москва) «Оценка энтропии речи при помощи опытов по угадыванию продолжения текста» излагался новый метод оценки энтропии, предложенный А.Н. Колмогоровым. Этот метод основан на предположении, что каждый человек, владеющий данным языком, располагает для любого места текста знанием о том, каковы вероятности появления здесь каждой из букв русского алфавита” ([Рев ВЯ], с. 162). Энтропия - это численная мера гибкости языка, она отражает количество возможных вариантов текста с учётом вероятностей этих вариантов. Подробнее об этом понятии будет сказано в n° 5.8 нашего очерка.

Шеннон предложил метод определения энтропии путём эксперимента, основанного на угадывании следующей буквы текста при условии, что весь предшествующий начальный отрезок текста известен. Описание самого эксперимента, данное в разделе 3 («Предсказание английского текста») статьи Шеннона [Шен 51], не требует никаких специальных знаний. Разумеется, для понимания того, как по результатам эксперимента определяется числовое значение энтропии языка, специальные знания требуются. Поэтому мы не будем приводить здесь соответствующих формул, а ограничимся следующим качественным замечанием. Ясно, что чем в большей степени являются «угадываемыми» тексты того или иного языка, тем меньше возможно вариантов текста, тем менее гибок язык, - и, следовательно, тем меньше числовое значение энтропии языка. Формулы, о которых мы только что упомянули, и отражают в математической форме это качественное соображение.

Усовершенствование эксперимента, предложенное Колмогоровым, состояло в том, что подопытный человек не просто называет следующую букву, а ещё и указывает ту степень уверенности, с которой он её называет. А именно, испытуемый может “а) отказаться [назвать букву] (это означает, что все буквы равновероятны); б) назвать букву с малой степенью уверенности; в) назвать букву с большой степенью уверенности” ([Рев СТИ], с. 288). В [Рыч] этот способ описан применительно к тексту Аксакова «Детские годы Багрова-внука»: “Представьте, что вы встретили в тексте слова МНЕ ДАЛИ ВЫПИТЬ РИМ... Вам предстоит угадывать, какая буква идёт дальше, и у вас нет никакого разумного продолжения сочетания РИМ, кроме РИМСКИЙ <...> Приходится называть букву С, да ещё «вполне уверенно». И действительно, Аксаков пишет: РИМСКОЙ РОМАШКИ, имея в виду лекарственный настой, об употреблении которого мы, привыкнув к современным лекарствам, давно забыли”. Более детально и математически точно методика Колмогорова описана в [Ягл 73], с. 258.

И. И. Ревзин сообщает ([Рев СТИ], с. 288-289): “Обработка данных, полученных по этому методу, дала возможность вычислить для русского прозаического текста (был взят текст Аксакова) величину энтропии, приблизительно равную 1 двоичной единице. Это означает, что из 25N всевозможных текстов в алфавите из 32 букв только 2N будут текстами русского языка”.

З а м е ч а н и е . Это значение единица - если понимать его как оценку для энтропии произвольных русских текстов (впрочем, что такое русский текст? см. об этом n° 5.2 и n° 5.8.4) - сильно занижено по сравнению с истинным значением, ср. с колмогоровской оценкой 1,33 в n° 5.8.3. Скорее это значение является найденной Н. Г. Рычковой оценкой энтропии для частного случая русских текстов, а именно для прозы Аксакова; да и в этом случае такая оценка скорее всего занижена - в силу индивидуальных свойств угадывателя: см. последнюю фразу в n° 5.9.

Ещё лучшее приближение к истине (т. е. к истинному числовому значению энтропии) получится, если испытуемый будет не только называть букву, но и указывать вероятность появления этой буквы. Разумеется, от рядового человека нельзя требовать знания вероятностей угадываемых букв; однако можно надеяться на успех, если в роли испытуемого выступает не человек, а коллектив. Именно, можно проводить голосование по вопросу определения следующей буквы и считать, что процентное соотношение голосов, поданных за ту или иную букву, отражает распределение вероятностей этих букв. И действительно, такой эксперимент проводился в довольно многолюдном в тот день собрании упомянутого в n° 3.5 семинара по математической лингвистике; это происходило в начале 60-х, в Актовом зале МГУ на Ленгорах. Помню, что присутствовавший в зале Р. Л. Добрушин выступил с поразившим всех заявлением о неправильности метода в самой его основе. Действительно, в основе метода лежит презумпция, что каждый обязан иметь точку зрения на то, какая буква ожидается; “А я вот, - заявил Добрушин, - по некоторым вопросам не имею точки зрения и не хочу её иметь”.

** В этом докладе “Колмогоров говорил о том, что энтропия есть мера, показывающая, сколько разных текстов данной длины можно построить в определённом языке. Возникает возможность количественно оценить те ограничения, которые налагают требования метра, ритма, рифмы и т. д. Оказалось, что эти ограничения весьма существенны, и если поэт может в пределах данных ограничений выразить нужную мысль, то это объясняется тем, что бOльшая доля разнообразия расходуется в языке не на передачу разного содержания, а на гибкость выражения, т. е. [на] создание разных форм выражения одного и того же содержания. В связи с этим А.Н. Колмогоров предложил разложить энтропию языка на две составляющие: а) меру разнообразия, расходуемую на передачу внеязыковой (семантической) информации, и б) собственно лингвистическую энтропию” ([Рев ВЯ], с. 162]). И. И. Ревзин приводит следующие величины этих составляющих, предложенные Колмогоровым: для общего значения энтропии, равного 1 (ср. Замечание в примечании), первое и второе составляющие равны, соответственно, 0,4 и 0,6 (см. [Рев СТИ], с. 289).

*** В этом докладе “был предложен интересный метод, позволяющий определить на основе характера рифм то, что А.Н. Колмогоров назвал «локальным словарём поэта» <...> ([Рев ВЯ], с. 162). “Зная вероятность того, что наудачу выбранная пара слов будет рифмующейся (по подсчетам А.Н. Колмогорова, она приблизительно равна 0,005), и количество слов, из которых составляюся пары, можно подсчитать, сколько в среднем имеется рифмующихся пар, троек, пятерок и т. п.”([Рев СТИ], с. 287; далее в [Рев СТИ] приводится составленная Колмогоровым таблица, показывающая сколько в среднем имеется рифмованных пар, троек и т. п., если общий объём словарного запаса составляет 10, 20, и т. д. до 500 слов). “Исходя из характера пушкинских рифм и в общем довольно простой формы строфики (число одинаковых рифм в строфе не превосходит, как правило, 3–4), можно утверждать, что локальный словарь поэта (т.е число слов, которые проходили перед его «мысленным взором», когда он подбирал нужную рифму) сравнительно невелик, а именно составляет от 100 до 200 слов” ([Рев СТИ], с. 287–288).

**** Этот доклад, прочитанный Н. Г. Рычковой, “был интересен с точки зрения возможности распространения представлений, выработанных при статистическом анализе классического стиха, на исследование стихотворной техники современных поэтов. В докладе описывались характерные метрические типы новой русской поэзии, в частности так называемый «хорошо урегулированный дольник» (термин М. Л. Гаспарова) и другие размеры, использованные Маяковским и Багрицким. Докладчики не согласны с представлением о том, что для современных поэтов количество безударных слогов между двумя ударными становится всё менее важным. Оказалось, что интуиция точного счёта слогов не ослабла. Это особенно характерно для Багрицкого. Как установили докладчики, Багрицкий шире, чем другие поэты, пользуется многосложными (пяти- и даже семисложными) группами безударных слогов в промежутке между двумя ударными и овладевает почти всеми словоразделами, возможными в этих промежутках” ([Рев ВЯ], с. 162).

“В сообщении Вяч.В. Иванова (Москва) «О ритме поэмы Маяковского „Человек“» излагались результаты описания комбинаций разных размеров в поэме, произведённого по методу А.Н. Колмогорова, который ранее описал таким образом полифоническое строение поэмы «Про это» и «Во весь голос»” ([Рев ВЯ], с. 162).

На пятом, шестом и седьмом заседаниях, как указано в [Рев ВЯ], Колмогоров выступал в прениях *.

* Выступая в связи с докладом Ю. В. Кнорозова «Об изучении фасцинации», открывшем собою пятое заседание, “А. Н. Колмогоров заметил, что гипнотическое воздействие ритма - явление известное, а многие теоретики и поэты говорили о «магии стиха». Однако в целом европейская культура подготовила более интеллектуальное восприятие ритма. То, что чтение стиха есть интеллектуальная деятельность, доказывается тем, что в физическом звучании речи словоразделы как правило не обозначаются, в то время как они играют существенную роль при восприятии стиха. То же касается ударений, природа которых весьма разнородна. Поэтика имеет с дело с дискретными явлениями именно потому, что она имеет дело с осмысленными явлениями, а все осмысленное дискретно. Другой пример интеллектуализации - рифма у Маяковского” ([Рев СТИ], с. 291–292).

На шестом заседании, в прениях по докладу Ю. К. Щеглова «Структурный анализ „Метаморфоз“ Овидия», где утверждалось, что в поэтическом мире Овидия “каждая вещь характеризуется набором довольно простых и общих семантических признаков”, Колмогоров заметил, что “для исследований подобного рода желательно сравнение с другими произведениями; в частности, полезны были бы подсчёты употребления тех или иных эпитетов у разных авторов того времени” ([Рев ВЯ], с. 164). В прениях по докладу В. А. Зарецкого «Образ как информация» (где, в частности, утверждалось, что эстетический идеал воплощает в себе общественное представление о цели, которую ставит себе общество), “Колмогоров сказал, что мнение, согласно которому художественная речь несёт больше информации, чем нехудожественная, может быть оправдано тем, что в нехудожественной речи энтропия, приходящаяся на гибкость выражения, тратится безрезультатно, а в художественной речи она используется для создания определённого эффекта” ([Рев ВЯ], с. 164).

На завершившем совещание седьмом заседании Б. Н. Головин сделал сообщение о работах по сравнительному анализу синтаксиса Толстого и Тургенева, проводимых на возглавляемой им кафедре русского языка Историко-филологического факультета Горьковского университета. Выступая в прениях, А.Н. Колмогоров положительно оценил попытку горьковских исследователей ввести в рассмотрение новые характеристики стиля. Необходимо, однако, выяснить, насколько эти харатеристики независимы. В частности, важно было бы узнать: насколько полученные Б. Н. Головиным для Толстого и Тургенева характеристики зависят от средней длины предложения у этих авторов. А.Н. Колмогоров подчеркнул, что стилистичские характеристики, составленные только по одной величине (например, по зависимости Ципфа [*]), недостаточны, нужно брать несколько характеристик, например, среднюю длину слова и среднюю длину предложения. Кроме частотности слова важно учитывать, сколь «скученно» или, наоборот, равномерно встречаются слова данного типа. Он указал, что настало время вновь начать статистические исследования по ритму прозы (ср. важные результаты Томашевского по ритму «Пиковой дамы»). Переходя к общему вопросу об организации статистической работы в языковедении и поэтике, А.Н. Колмогоров отметил, что реальный объем текстов, по которым нужно производить усреднение, меньше, чем можно предполагать, поскольку речь идет о различиях, которые мы явственно ощущаем (иначе говоря, мы не должны добиваться достоверности для величин с малой вероятностью и потому выборка может быть небольшой). Так, выборка в 500–1000 строк для «Евгения Онегина» оказывается вполне достаточной. В этой связи необходимо отметить, что частотный словарь всего данного языка есть фикция. Статистика в лингвистике должна быть предельно дробной. А.Н. Колмогоров отметил, что необходимо сохранять все результаты статистических работ, накопленные отдельными группами, и наладить регулярный обмен этими результатами ([Рев ВЯ], с. 164). Боюсь, что это пожелание Колмогорова так и осталось благим пожеланием.

[*] Зависимость, или «закон», Ципфа относится к лингвистической статистике. В силу этой зависимости, с некоторыми уточнениями подтверждающейся на разнообразных текстах, частота слова обратно пропорциональна его рангу; а ранг есть просто порядковый номер в списке слов, упорядоченных по уменьшающейся частоте. Закону Ципфа подчиняются не только слова, но и ряд других объектов, для которых имеет смысл говорить о частоте их встречаемости.

Наконец, Колмогоров произнёс на совещании заключительную речь *.

“В заключение А.Н. Колмогоров поделился с участниками совещания своими мыслями о значении изучения поэзии для современной кибернетики. Когда понятия кибернетики применяются не к машинам, а к анализу высшей нервной деятельности, то возникает ряд новых проблем. Есть все основания думать, что в п р и н ц и п е дискретные автоматы могут моделировать интеллектуальную деятельность. Поэтому тo, что анализируют гуманитарные дисциплины, очень важно для кибернетики. При этом, однако, гуманитарные дисциплины должны сосредоточить внимание на менее элементарных, более сложных явлениях. Практически происходит обратное. Те представители гуманитарных наук, которые теперь приобщаются к кибернетическому образу мысли, предпочитают изучать наиболее примитивные схемы (типа циклов в схеме языка с конечным числом состояний [*]).

[*] Язык с конечным числом состояний (finite state language) - понятие математической лингвистики. Так называется всякий язык, который порождается схемой, или грамматикой, с конечным числом состояний (finite state grammar). Такие схемы, или грамматики, являют собою наиболее примитивные виды генеративных грамматик. Они суть не что иное, как конечные автоматы. Поэтому в русской литературе более приняты термины «автоматная грамматика» и «автоматный язык».

Между тем кибернетика заинтересована в далеко идущей формализации принципов человеческой интуиции. Нельзя забывать, что искусство есть определенный вид познания действительности и как таковое обладает высокой степенью сложности. Отмечается, что искусство помогает человеку осознать цели своей деятельности. Механизм выработки цели, о котором говорил В. А. Зарецкий, чрезвычайно важен для кибернетики, где возникает вопрос о том, какие самоорганизующиеся системы и каким образом вырабатывают внутреннюю цель системы” ([Рев ВЯ], с. 164–165).

3.7. Симпозиум Мейлаха. Второй литературоведческой конференцией, в которой участвовал Колмогоров, было мероприятие, которое он называл “симпозиум Мейлаха”. Полное наименование - «Симпозиум по комплексному изучению художественного творчества». Симпозиум был организован Ленинградскими отделениями Союза писателей и Психологического общества и проходил в Ленинграде с 18 по 22 февраля 1963 г. Комиссия по организации Симпозиума имела такой состав: Б. С. Мейлах (председатель), А. Л. Шейкин (отв. секретарь), Б. Г. Ананьев, Г. С. Гор, З. И. Гершкович, В. Л. Дранков, Е. С. Добин, Л. Н. Рахманов, Вс. А. Рождественский, М. Л. Слонимский, Е. Г. Эткинд. К Симпозиуму был выпущен сборник тезисов и аннотаций [СиКИХТ], на с. 3 которого Симпозиум был назван “первой встречей писателей и учёных для обсуждения вопросов исследования художественного мышления, творческого процесса, творческой лаборатории, поэтики средствами различных областей науки”. “В симпозиуме участвовали писатели, литературоведы, философы, психологи, физиологи, искусствоведы, кибернетики, математики” ([Ягу], с. 184). «Литературная Россия» в своём № 9 от 1 марта 1963 г., в краткой информационной заметке «Писатели и ученые - за одним столом», сообщала в принятом в те годы казённом стиле:

С сообщением о задачах изучения творческого процесса в свете физиологии высшей нервной деятельности выступил действительный член Академии медицинских наук П. К. Анохин. Академик А.Н. Колмогоров осветил в своём докладе вопрос о роли статистики и теории вероятностей в исследовании русского стихосложения. Старший научный сотрудник Института математики Сибирского отделения Академии наук И. А. Полетаев выступил с сообщением на тему «Кибернетика и некоторые вопросы изучения художественного творчества», член-корреспондент Академии наук СССР Д. С. Лихачев остановился на вопросе применения электронных машин в помощь изучению истории литературы.

С большим вниманием были выслушаны выступления писателей Г. Гора, Д. Гранина, В. Кетлинской, В. Пановой, Л. Рахманова, Вс. Рождественского, М. Слонимского.

А на с. 23 сборника [СиКИХТ] была помещена следующая аннотация доклада А.Н. Колмогорова и А. В. Прохорова «Статистика и теория вероятностей в исследовании русского стихосложения» [Колм 63с]:

В докладе будет поставлен вопрос о возможностях, открываемых перед изучением художественного творчества кибернетикой, теорией информации, применением нетривиального математического аппарата. Специально освещается применение теории вероятностей в изучении русского ямба.

Из публикации [Ход] мы узнаём, что “математик Колмогоров выступил вслед за писательницей Пановой” и что доклад Колмогорова продолжался почти два часа. Докладчик рассказал “о некоторых результатах изучения структуры ямба, полученных с помощью статистических методов и теории вероятностей. Он стремился к раскрытию при помощи математических исследований основных закономерностей, которым подчиняется реальный ритм, и поставил вопрос в этом плане о семантической интерпретации ритмических вариантов, связи «ритмических фигур» с содержанием, сюжетными мотивами” ([Дран], с. 450). “С помощью теории вероятностей исследовалась звуковая выразительность стиха, его ритмика, высказаны интересные соображения о соотношении метра и поэтического образа” ([Ягу], с. 186).

Симпозиум получил широкое освещение в прессе. В частности, «Литературная газета» в номере от 26 февраля 1963 г. отозвалась статьёй Геннадия Гора «Алгебра и гармония» и двойным фотопортретом А.Н. Колмогорова и Б. С. Мейлаха, а «Литературная Россия» - статьёй самого Мейлаха «Новые горизонты, новые поиски» в номере от 15 марта 1963 г. Перечень откликов в прессе приведён на с. 189 в [Худ].

Задача симпозиума была определена председателем Оргкомитета проф. Б. С. Мейлахом в его [вступительном] докладе на тему «Перспективы комплексного изучения творчества на стыке наук и задачи симпозиума» ([Ягу], с. 184). Можно предположить, что содержание этого доклада соответствует содержанию статьи [Мей] Бориса Соломоновича. Статья начиналась так: “Марксистско-ленинское литературоведение является развитой, самостоятельной областью знаний, со своими традициями, с выработанной методологией и методикой и собственным предметом исследования”. Но даже и с таким началом статья, допускавшая проникновение на филологическую территорию методов чужих наук, была напечатана лишь “в порядке обсуждения”. Чтобы печататься не в порядке обсуждения, надо было писать так, как некий В. Иванов на с. 251 6-го номера тех же «Вопросов литературы» за тот же 1963-й год (в разделе «Отвечая требованиям времени (критики и литературоведы за работой)»): “Главная область моих интересов - развитие советской литературы на основе коммунистической идейности, партийности и народности”.

3.8. Конференция в Варшаве. Третья (и, насколько мне известно, последняя) литературоведческая конференция, в которой участвовал Колмогоров, - это «Научная конференция по вопросам теории стиха и славянской метрики», проходившая в Варшаве с 24 по 29 августа 1964 г. Конференция была созвана Институтом литературы Польской Академии наук, а более конкретно - его Отделом истории литературного языка и литературных форм во главе с Марией Ренатой Майенoвой. Помимо представителей Польши, в конференции участвовали специалисты из СССР (В. М. Жирмунский, А.Н. Колмогоров), США (К. Тарановский, Р. Якобсон), ГДР (А. Исаченко, В. Штейнитц), Чехословакии (И. Грабак, И. Левы). Сведения о конференции приведены в краткой информационной заметке В. М. Жирмунского [Жир], где сказано: “А. Н. Колмогоров выступил с докладами о методах математической статистики в применению к изучению русского стиха и о ритмике «Бориса Годунова» А. С. Пушкина на основе статистических исследований”.

Участник конференции К. Ф. Тарановский пишет в [Тар 71] (в сноске 8 на с. 427):

На Варшавской конференции 1964 г. акад. Колмогоров сообщил, что по профилю ударности * в общем можно вычислить частоты всех ритмических форм ** данного стиха. К сожалению, результаты вычислений, сделанных его сотрудниками (для 4 ст. ямба Жуковского и Багрицкого), до сих пор еще не опубликованы.

* В цитируемой заметке [Тар 71] термин “профиль ударности” встречается ещё в сносках 6 на с. 424 и 7 на с. 426, но не разъясняется. Как любезно сообщил мне М. Л. Гаспаров, этот термин был введён в [Тар 53] и означает некоторую статистическую характеристику акцентированного текста. Текст может быть и прозаическим (как в упомянутой сноске 6 из [Тар 71]), важно лишь, чтобы имело смысл говорить о первой, второй и т. д. стопе (в прозаическом тексте выделяются ритмизированные участки). Для энной стопы вычисляется процент тех случаев, когда на эту стопу (точнее, на принадлежащий этой стопе сильный слог) падает реальное речевое ударение (общее число появлений в тексте стопы с номером эн принимается за сто процентов). Набор чисел, где на первом, втором и т. д. месте стоит, соответственно, процент для первой, второй и т. д. стопы, и называется профилем ударности. Подробнее см. [Про], с. 90. Появление слова “профиль” обусловлено следующим. Указанную таблицу удобно представлять в виде графика, где по оси абсцисс откладывается номер стопы, а по оси ординат - соответствующий процент. Тогда действительно получается некий профиль: см. [Гасп 74], диаграммы на с. 95, обсуждаемые там же на с. 94.

** Ритмическая форма характеризуется тем, на каких слогах стоят реальные речевые ударения. Если игнорировать сравнительно редко встречающиеся ударения на слабых слогах, то можно сказать, что ритмическая форма характеризуется пропусками ударений, т. е. указанием тех иктов (сильных слогов), на которых речевое ударение отсутствует.

В четырёхстопном ямбе речевое ударение на последнем икте обязательно. Для каждого же из первых трёх иктов возможно как наличие, так и отсутствие на нём речевого ударения; комбинируя эти возможности, получаем 8 теоретических ритмических форм. Из них одна - с отсутствием ударений на всех трёх первых иктах - в стихах не встречается. Остальные 7 форм хорошо известны в стиховедении. Они приведены, например, в [Про], с. 90. Там же (в таблице 2 на с. 91) приведены частоты указанных форм в так называемой «теоретической модели» речи, а короче - «теоретические частоты». Разумеется, для каждого явления возможно огромное количество его теоретических моделей: во-первых, моделированию могут подлежать различные аспекты явления; во-вторых, для одного и того же аспекта возможны различные модели. В данном случае речь идёт о моделировании акцентологической структуры речи. Более конкретно, рассматривается модель, строящаяся на базе двух предпосылок. Первая предпосылка состоит в том, что считаются известными частоты ритмических типов слов в речи (ритмический тип у Прохорова - это то же самое, что ритмический вид у Кондратова, см. наше примечание 95; о понятии частоты см. n° 5.4.1). Вторая предпосылка есть гипотеза о статистической независимости ритмических типов, т. е. о том, что частота (в речи) той или иной комбинации ритмических типов слов может быть получена простым перемножением частот тех ритмических типов, которые и составляют данную комбинацию. Эти две предпосылки, взятые в совокупности, позволяют путём умозрительных расчётов вычислять «теоретические частоты» различных ритмических форм, в том числе и «теоретическую частоту» каждой из семи ритмических форм русского четырёхстопного ямба. Что касается исходных частот ритмических типов слов, то они могут быть найдены, например, путем экспериментального обследования того или иного текста. В качестве таких текстов в [Про] выбраны пушкинская «Пиковая дама» и лермонтовская «Бэла». Для каждого из этих двух текстов получается своё распределение теоретических частот ритмических форм 4-стопного ямба, каковые распределения и приводятся в [Про] в табл. 2 на с. 91.

Коль скоро - для какого-либо поэта или для какой-либо поэмы - известны (реальные, а не «теоретические») частоты всех 7 ритмических форм четырёхстопного ямба, не составляет труда найти - для данного поэта или для данной поэмы - соответствующий профиль ударности, а также среднюю ударность, т. е. среднее число ударений, приходящихся на одну строку. Это достаточно очевидно, и соответствующие простые формулы приводятся в [Про] на с. 90 и на с. 94. Решение обратной задачи, т. е. нахождение распределения ритмических форм по известной средней ударности или по известному профилю ударности, “обладает неопределённостью, которая возникает благодаря возможности выбора из неограниченного множества подходящих распределений” ([Про], с. 94). Однозначное решение здесь в принципе невозможно без каких-то дополнительных предположений. Можно думать, что именно такого рода предположения и обозначены оборотом “в общем” в пересказе Тарановским сообщения Колмогорова. “...Наше предположение <...>, - говорится на с. 94 в [Про], - заключается в том, что неопределённость при переходе от исходного теоретического распределения форм к новому распределению, соответствующему заданной [средней] ударности, должна быть минимальной, или, иными словами, распределение форм, приводящее к заданной средней ударности, должно быть наиболее вероятным”. И далее, на с. 97: “Из всех распределений по формам с заданным профилем ударности (а их неограниченное число) выбирается то, которое создаёт этот профиль с наименьшими усилиями и наибольшей свободой использования всех ритмических средств обычной речи при следовании законам метра”. Употребляемым в этих цитатах словесным оборотам “минимальная неопределённость”, “наибольшая свобода” и т п. может быть придан точный математический смысл, что и делается в [Про] в сносках 9 на с. 94 и 12 и 13 на с. 97. А именно, речь идёт о нахождении таких значений для искомых частот ритмических форм, при которых некоторое математическое выражение принимает своё наименьшее значение - при том, что само это выражение подчинено определённым условиям. Упомянутые только что условия учитывают и исходные теоретические частоты 7 ритмических форм ямба. В [Про] в качестве таковых берутся теоретические частоты, рассчитанные на основе статистического обследования «Пиковой дамы» (см. выше).

Упоминаемые Тарановским результаты сотрудников Колмогорова - по крайней мере, некоторые - теперь опубликованы: таблица 10 на с. 98 в статье [Про] так и называется: “Восстановление частот ритмических форм ямба по заданному профилю ударности” (в таблице, в частности, приводятся данные для Жуковского и Багрицкого).

3.9. Так называемый «стиховедческий семинар Колмогорова». Вспоминает А. С. Монин * ([Мон], с. 481–482):

Хорошо известно, что некоторое время А.Н. занимался «математическим стиховедением», основанным, прежде всего, на статистическом изучении отклонений ударений в стихах от классических ритмов - ямба, хорея, дактиля и т. д. **, хотя, как мне кажется, такая статистика была для него отнюдь не единственным предметом интереса к стихотворениям. <...>

* Андрей Сергеевич Монин (род. 2.7.1921) - сын поэтессы Варвары Мониной, печатавшейся в первой половине 20-х годов в альманахах Союза поэтов (сообщение М. Л. Гаспарова). Ученик Колмогорова. Гидромеханик, метеоролог и океанолог. С 1965 г. по 1987 г. - директор Института океанологии АН СССР (этот институт и организовывал те океанологические экспедиции с участием Колмогорова, которые упоминались в нашем n° 1.3).

** В своей лекции 19.10.1960 Колмогоров сказал: “Раньше думалось, что отступление от полного метра есть послабление для поэтов. Теперь так не думают”.

А.Н. вёл тогда в университете семинар по «математическому стиховедению» *, в котором участвовала сравнительно небольшая группа его учеников по этому предмету и довольно большое количество литературоведов и стиховедов. Из этой группы сейчас сохранил активность, пожалуй, один А. В. Прохоров. Сам А.Н. опубликовал тогда совсем немного результатов, не так много опубликовали его ученики и другие участники семинара, причём не со всем опубликованным А.Н. был согласен, и, пожалуй, до сих пор не хватает обзорного изложения разрабатывавшихся идей и полученных результатов.

* Я не участвовал в этом семинаре, и в моей памяти не сохранилось даже факта его существования. Цитируемый текст А. С. Монина является едва ли не единственным источником сведений о семинаре. Впрочем, не исключено, что это был не семинар в традиционном для Московского университета смысле этого слова, т. е. регулярно происходящее мероприятие, включённое в вывешенную на доске объявлений сетку университетских семинаров, а эпизодические собрания, каждое из которых имело место в назначаемое Колмогоровым время и с им же определяемым составом. Возможно, что Монин включает в понятие ‘семинар’ и те лекции Колмогорова, о которых шла речь в нашей рубрике 3.4, и тот доклад 22 декабря 1960 г., о котором упоминалось в рубрике 3.5.1. (Сам Колмогоров, не придавая слишком большого значения формальному статусу своих выступлений, ссылается в [Колм СП.1] на то, чтo он “рассказывал в течение семестра 1960 г. в четырёх двухчасовых докладах на семинаре по математической лингвистике”; на самом деле это были три лекции и две встречи, а семинара как такового не было.) Возможно, что были какие-то собрания, встречи и беседы после совещания в Горьком в сентябре 1961 г., см. n° 3.6.

Казалось бы, что некоторое временнOе представление может дать дата 29.10.1963 поступления в редакцию статьи Боброва, о которой упоминает Монин. Однако М. Л. Гаспаров, принимавший вместе с А.А. Петровым участие в “существенной редакционной переработке”, а по существу в переписывании статьи Боброва, не согласился (в беседе со мной) числить эту статью по разряду “вышедших из упомянутого семинара”. Более того, он, так же как и я, не помнит факта существования такого семинара. Как предполагает М. Л. Гаспаров, в памяти А. С. Монина произошла контаминация из рассказов С. П. Боброва о его частных встречах с Колмогоровым и рассказов того же Боброва о его участии в 1958–1961 гг. в стиховедческом семинаре Института мировой литературы, руководимом членом-корреспондентом Л. И. Тимофеевым. Ко всему прочему, С.П.Бобров (27.10(8.11) 1889 - 1.2.1971) в начале 60-х годов был слишком немолод и болезнен, чтобы участвовать в колмогоровском семинаре, если бы таковой и был.

Я, к сожалению, лишь редко мог участвовать в заседаниях этого семинара. Но о них мне регулярно рассказывал его неизменный участник Сергей Павлович Бобров, известный поэт-футурист, писатель и издатель двадцатых годов *. В годы репрессий он подвергался ссылке и после был в опале у литературного начальства, которое допускало издание лишь его научно-популярных книжек для школьников по математике (Бобров по образованию был статистиком и довольно хорошо знал настоящую математику) (В том числе превосходной книги "Волшебный двурог" - V.V.). Сочетание литературного профессионализма и знания математики и позволило Боброву написать одну из крупнейших работ, вышедших из упомянутого семинара, - исследование вольного стиха «Песен западных славян» Пушкина **. Андрей Николаевич высоко оценил эту работу, и по его рекомендациям, после существенной редакционной переработки Алёшей Петровым*** эта статья была опубликована в журнале «Теория вероятностей и её применения».

* На с. 10 монографии [Гасп 74] М. Л. Гаспаров называет Боброва “старейшиной русского стиховедения”.

** Речь идёт о статье [Бобр].

*** Однокурсник Монина по Мехмату Алексей Аркадьевич Петров в 1942 г. стал личным секретарём Колмогорова.

Статья, увы, спровоцировала удар по «математическому стиховедению» - разносную рецензию «Пушкин на диагонали» в газете «Правда», написанную человеком, довольным возможностью поиздеваться над опальной жертвой и заодно втолковать читателям, что по поводу Пушкина разрешается только сюсюкать, но «проверять гармонией алгебру» непозволительно. Возможно, что из-за этой выходки газеты обобщающая статья о «математическом стиховедении» так и не была написана.

А дело заключалось в том, что «математическое стиховедение» открывало путь к объективному изучению закономерностей подсознательной деятельности человека. Понимание важной роли подсознания в человеческом мышлении было, по-видимому, важнейшим открытием Зигмунда Фрейда *. По определению ясно, что человек сам свое подсознание не осознаёт. Надо найти двери в этот запретный мир. Их А. Н., вероятно, и видел в изучении статистических особенностей стихов.

* Фрёйд не был в фаворе в России в описываемые Мониным времена. Однако, как сообщила газета «Известия» на 2-й странице своего номера от 30 июля 1996 г., президент Ельцин подписал указ «О возрождении и развитии философского (sic!), клинического и прикладного психоанализа». Так что можно либо надеяться, либо опасаться, что учение Фрёйда будет теперь поддерживаться государством с той же настойчивостью, с какой ранее поддерживались единственно верные и передовые учения Маркса, Ленина, Павлова, Марра, Мичурина, Лысенко; И. П. Павлов не несёт ответственности за попадание в этот список: его, как сказал Пастернак о Маяковском, “стали вводить принудительно, как картофель при Екатерине”.

Оказалось, что статистика отклонений ударений в стихах от классических ритмов у разных поэтов совершенно различна и образует «статистический портрет» поэта, по которому его можно с полной уверенностью узнавать. И ясно, что эта статистика подсознательна - никто из поэтов сознательно её не насаждает в свои стихи, да это и невозможно сделать.

3.10. Гаспаров о Колмогорове. Все стиховедческие работы Колмогорова (за исключением лишь аннотации [Колм 63с]), вышедшие ко времени издания монографии М. Л. Гаспарова [Гасп 74], отражены в названной монографии и упомянуты в её разделе «Библиография». На с. 24 монографии отмечается:

Все эти работы по усовершенствовании методики Томашевского (начатые в 1960 г.) стали началом оживления точных методов в советском стиховедении, надолго заглохших после опытов 1920-х годов. Центром этой оживленной деятельности остается группа А.Н. Колмогорова (А. В. Прохоров, Н. Д. Светлова, некоторое время - Н. Г. Рычкова); с нею связано и большинство других работавших в этом направлении стиховедов, в том числе С. П. Бобров и В. В. Иванов.

Имя Колмогорова неоднократно встречается на страницах монографии Гаспарова. В частности, в § 5 выделяются три направления, в которых колмогоровская группа усовершенствовала статистическую методику Томашевского *:

Во-первых, уточнено было понятие ритмического словаря, от которого вычисляются частоты слов. Томашевский брал ритмический словарь самого исследуемого стихотворного произведения, например «Евгения Онегина». Колмогоров показал, что это сильно смещает картину: ритмический словарь стихотворного произведения не может служить эталоном «естественных данных языка», так как самый отбор слов в стихе уже скован ограничивающим влиянием метра. Показательнее брать за основу ритмический словарь прозы - скажем, художественной прозы того же периода, к какому относятся разбираемые стихи. <...>

Во-вторых, уточнен был принцип расстановки ударений. <...>

В-третьих, был обнаружен другой, вспомогательный способ моделирования «естественного стиха» для сравнения его с эмпирическим - посредством прямых выборок из прозаического текста. <...>

* Когда Б. В. Томашевского собирались выгонять с работы за формализм, он говорил в домашнем кругу примерно следующее: “Я не пропаду. Пойду преподавать математику”.

В § 11, посвящённом рифме, отмечается:

Методика вычисления «трудности рифмы» была предложена А. Н. Колмогоровым. Согласно этой методике, из прозаического текста, принимаемого за «норму языка», выписываются порознь все слова с мужским окончанием, с женским, с дактилическим и т. д.; в каждой из этих групп высчитывается число всех возможных пар слов и среди них - число рифмующихся пар слов; отношение числа рифмующихся пар к общему числу пар будет «коэффициентом трудности» рифмы, т. е. вероятностью случайного возникновения в языке данного типа рифмы. Так, в русском языке эта вероятность оказалась равной для мужских рифм около 0,008, для женских - 0,005. С помощью этих показателей можно ориентировочно оценить объем «локального словаря поэта», т. е. число слов, проходящих перед «мысленным взором» поэта, когда он подбирает нужную рифму - по-видимому, он сравнительно невелик, порядка 100 слов <...>.

На с. 22 своей книги М. Л. Гаспаров сообщает, что работы группы Колмогорова по большей части оставались неопубликованными. Полагаю, что причина кроется в необыкновенной ответственности Колмогорова за публикуемый материал. Боюсь, что бOльшая часть оставшихся неопубликованными работ колмогоровской группы теперь уже не будет опубликована никогда.

§ 4. Кое-что о математике в литературе.

  4.1. Математические термины. “Пруст был человеком всесторонне образованным: когда ему нужно было подобрать сравнение, он часто заглядывал в область математики” ([Люб], с. 56). Достоевский использует прилагательное “математический” и наречие “математически” для обозначения бесспорности: Ипполит Терентьев полагал, что друзья князя Мышкина “не могут не согласиться с правом Бурдовского (потому что оно, очевидно, математическое)” («Идиот», ч. 2, гл. 8); возражая ему, Г. А. Иволгин говорил, что некое существенное обстоятельство “доказывается математически” (там же, гл. 9). Раскольников “возможную справедливость положил наблюдать в исполнении, вес и меру, и арифметику” («Преступление и наказание», ч. 2, гл. 6). Порфирию Петровичу “хотелось бы следствие, так сказать, математически ясно представить, хотелось бы такую улику достать, чтобы на дважды два - четыре походило”, и он выражал увереннность, что это ему обеспечит не кто иной, как убийца, который “сам мне [Порфирию] какую-нибудь математическую штучку, вроде дважды двух, приготовит” (там же, ч. 3, гл. 5). * Аналогичную роль играет и вся таблица умножения. Мой однофамилец Глеб Успенский риторически вопрошает в своих очерках (адрес цитаты см. в примечании * ): “Что может быть неизбежней тех цифирных истин, каким учит нас таблица умножения?”

* Употребление выражения “дважды два - четыре” (а короче просто “дважды два”) в качестве синонима полной очевидности и ясности не является, конечно, изобретением Достоевского (хотя он и оказал поддержку этому употреблению): в словаре Даля читаем: “Как дважды два четыре, верно”. А вот “дважды два - стеариновая свечка” для обозначения полной бессмысленности - это, надо думать, придумал Тургенев (и высказал устами Пигасова в «Рудине», гл. 2): “...мужчина может, например, сказать, что дважды два не четыре, а пять или три с половиною, а женщина скажет, что дважды два - стеариновая свечка”. Глеб Успенский вынужденно констатирует: “...Опыт доказывает вам, что [два, умноженное на два] не только может, но постоянно, аккуратно, изо дня в день дает - не четыре, даже не стеариновую свечку, а Бог знает что, дает нечто такое, чего нет возможности ни понять, ни объяснить, к объяснению чего нет ни дороги, ни пути, ни самомалейшей цели” («Из деревенского дневника»: «Отрывок пятый» из раздела «В степи» по одним изданиям, п. 4 раздела VII - по другим).

Таблица умножения может служить также метафорой простоты. Выражение “это просто, как таблица умножения” кажется естественным, хотя я и затрудняюсь привести какую-либо конкретную литературную цитату.*

* Впрочем, с таблицей умножения не так всё просто. В первых классах школы нас учат, что 3 x 7 есть результат сложения семи слагаемых, каждое из которых равно трём, а 7 x 3 есть результат сложения трёх слагаемых, каждое из которых равно семи. Но тогда первое выражение должно читаться “семью три”, а второе - “трижды семь”; на деле же они читаются - при заучивании таблицы умножения - как раз наоборот! [*]

 [*] Когда я осознал эту странную шаткость в такой, казалось бы, прочной конструкции, как чтение вслух по-русски таблицы умножения, мне захотелось выяснить, что же происходит с чтением таблицы умножения в языке английском. С этой целью я обратился к выпущенному тиражом 50 тысяч и напечатанному по постановлению Редакционно-издательского совета Московского университета словарю [Глу]: ведь там на с. 125–136 напечатан «Список правил чтения основных математических формул». Интересующий меня вопрос освещался правилами 54, 55 и 56 на с. 127. Вот эти правила:

54.	1 x 1 = 1	once one is one
55.	2 x 2 = 4	twice two is four / twice two makes four
56.	5 x 5 = 25	five times five is twenty five / five multiplied by five equals twenty five / five by five is equal to twenty five

Других примеров на чтение таблицы умножения в словаре не обнаружилось. Тогда я обратился к более редкому (всего 22 тысячи экземпляров) справочнику [Сав], утверждённому к печати Кафедрой иностранных языков Академии наук СССР. Примеры на чтение таблицы умножения исчерпывались следующими четырьмя, приведёнными на с. 11:

1 x 1 = 1	Once one is one
2 x 2 = 4	Twice two is four
3 x 3 = 9	Three times three is nine
4 x 4 = 16	Four times four is sixteen

Я надеюсь, что Издательство НЛО предпримет когда-либо издание Антологии шедевров учебной и справочной литературы. Только что процитированные извлечения из словаря и справочника - первые кандидаты на включение в Антологию.

Противоположностью к таблице умножения служит бином Ньютона. Достаточно вспомнить знаменитое восклицание Коровьева “подумаешь, бином Ньютона!”. В этом значении бином Ньютона можно встретить и в обыденной речи, и в поэзии *. Вот пример из современной ** прозы: “...ход моей мысли для жены не бином Ньютона” (Сергей Гандлевский, «Трепанация черепа» в журнале «Знамя» за 1995 г., № 1, с. 112). Замечательно, что такова же роль бинома и в английской культуре: по свидетельству Ш. Холмса, когда будущему профессору Мориарти “исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики <...>” («Последнее дело Холмса»). Бином Ньютона как стандартная метафора учёной премудрости в русской и английской (а возможно, и в других!) литературных традициях - чем не тема для студенческой работы?

* В частности, в одном из последних сборников Е. Б. Рейна; однако, я не могу сейчас вспомнить ни названия стихотворения, ни названия сборника, а сам Евгений Борисович оказался слишком величествен, чтобы согласиться мне помочь.

** Современной настолько, что в 1996 г. была удостоена премии Малого Букера.

Вот ещё одна возможная тема для студенческой работы: числа, характерные для текстов на том или ином языке. Например, в русских текстах повторяются числа двадцать шесть* и тридцать восемь**.

* «Двадцать шесть и одна», двадцать шесть бакинских комиссаров. (Напоминаем молодому читателю, что двадцать шесть бакинских комиссаров были злодейски расстреляны английскими интервентами. В их честь названа улица в Москве, на которой установлен памятник этим жертвам контрреволюции - V.V.)

** Тридцать восемь попугаев как мера длины удава в популярном мультфильме, тридцать восемь снайперов в памятном заявлении президента Ельцина перед так называемой «операцией по освобождению заложников в Первомайском» в январе 1996 г. О том, что второй из упомянутых контекстов закрепился в языке, свидетельствует статья «Президент Ельцин рвется в бой с марксистскими повстанцами в Перу», напечатанная в качестве передовой в газете «Известия» за 27 декабря 1996 г. В статье приводится следующая замечательная цитата из послания Ельцина президенту Перу Фухимори: Ельцин предлагает “показать на практике, как мы умеем действовать, чтобы помочь беззащитным людям, ставшим жертвами террористов”. Далее «Известия» сухо сообщают: “Фухимори дал понять, что 38 российских снайперов, которые взяли бы на мушку экстремистов, ему не требуются”.

Мне сказали, что Александр Ерёменко был очень моден в конце восьмидесятых и что он и сейчас входит в десятку наиболее известных русских поэтов. Перелистывая его книгу «Стихи» 1991 г. *, мы последовательно встречаем выражения: “лемма телеграфных прямых” (с. 7); “расщепляется код” (с. 9); “сумма этих длин” (с. 10); “треугольник к своей теореме прилипает” (с. 12); “рука по локоть в теореме” (c. 16); “смысл той прямой <...> воспринимается как кривизна” (с. 16); название стихотворения: «Сопряжение окружностей» (с. 19); “здесь вечно несоизмеримы диагональ и сторона” (с. 20); “процесс сокращенья дробей” (с. 27); “уже доказана теорема Эйлера” (с. 39); и т. д.; “большое уравненье упростив” (с. 60); опять и т. д.; и, наконец, в стихотворении «И Шуберт на воде, и Пушкин в чёрном теле...» (с. 87): “Как будто я повис в общественной уборной на длинном векторе <...>”.

* Кем и даже где издана эта книга, установить не так-то просто. На титульном листе три строчки: ИМА-пресс | Москва | 1991. На обороте титульного листа написано: “Издание подготовлено и осуществлено кооперативом «Свиток» при Среднеуральском книжном издательстве и журнале «Уральский следопыт» за счёт средств автора”. И на том же обороте библиографическое описание: “Еременко А. Стихи. - С.: «Уральский следопыт», 1991. - 144 с.: ил.”.

4.2. Математические идеи. Конечно, то обращение к математике, о котором говорилось в предыдущей рубрике, довольно поверхностно - по существу, на уровне терминологии. Более глубокий, содержательный уровень мы находим у больших русских поэтов XX века.

Хлебников призывает в поэме «Ладомир»: “Пусть Лобачевского кривые украсят города дугою <...>”, “И пусть пространство Лобачевского летит с знамён ночного Невского”.

Бродский не призывает, но констатирует: “И не то чтобы здесь Лобачевского твёрдо блюдут, но раздвинутый мир должен где-то сужаться, и тут - тут конец перспективы” («Конец прекрасной эпохи»). Неевклидова деформация геометрического мира для Бродского неслучайна* и происходит отнюдь не только там, где поэт наблюдает конец перспективы; в рамках совсем другого пейзажа “...вправо сворачиваешь не без риска вынырнуть слева” («Эклога 5-я (летняя)»).

* А прежде всего неслучайно для Бродского вообще внимание к геометрическому аспекту мира. Вот некоторые примеры. “Вернулся ль ты в воспетую подробно юдоль, чья геометрия продрогла <...>” - это начало стихотворения «Памяти поэта. Вариант» (Из Т. Венцлова); “Геометрия оплакивает свои недра” («Вид с холма»); “...склонность природы к простой геометрии” («Посвящается Пиранези»); “Пространство, в телескоп звезды рассматривая свой улов, ломящийся от пустоты и суммы четырёх углов <...>” («Взгляни на деревянный дом»); “...облака <...> прикрывали рыхлой периной голый космос от одичавшей суммы прямых углов” (стихотворение «Воспоминание», которое начинается так: “Дом был прыжком геометрии <...>”). Море - горизонтальное, вещи - плоские («Кентавры II»), “Голландия есть плоская страна” (одноимённое стихотворение), вертикаль привыкла к горизонтали («Пристань Фагердала»), овалы вписываются в четырёхугольник («Элегия», начинающаяся словами “Постоянство суть эволюция принципа помещенья в сторону мысли. Продолженье квадрата или параллелепипеда <...>”). “Поезд из пункта A, льющийся из трубы <...>” - так, почти пародией на школьный задачник, начинается стихотворение «Византийское». Короче, “пора признать за собой поверхность и, с ней, наклонность к поверхности” («Снаружи темнеет, верней - синеет, точней - чернеет»).

Неевклидова геометрия (и, возможно, неньютонова физика *) в русской поэзии - вот тема уже не студенческой, а аспирантской работы. Эвентуальный аспирант да не пройдёт мимо космологических тем и в мандельштамовских «Стихах о неизвестном солдате»: “Сквозь эфир десятичноозначенный свет размолотых в луч скоростей начинает число <...>. ...Чтобы белые звёзды обратно чуть-чуть красные мчались в свой дом?”. Впрочем, как указывает М. Л. Гаспаров, краснота - “не только из-за красного смещения в расширяющейся вселенной (или из-за охлаждения белых звёзд в красные), а и из-за дополнительного значения «красный - революционный»” ([Гасп 96], с. 41).

* Неевклидова геометрия (правильнее было бы говорить о неевклидовых геометриях [*]) существует в двух ипостасях - в виде чистой абстракции (игры ума) и в виде модели реального физического пространства, подчинённого не законам Ньютона, а законам теории относительности [**], одним из которых является знаменитая формула Эйнштейна E = mc², связывающая массу m и энергию E посредством скорости света c. В той же 5-й эклоге Бродского читаем: “Масса, увы, не кратное от деленья энергии на скорость зренья в квадрате <...> ”. Здесь Бродский выступает продолжателем уже не Хлебникова, а Белого, сказавшего 20 июня 1921 г. в своём гениальном «Первом свидании»: “Мир - рвался в опытах Кюри атомной, лопнувшею бомбой” - первое упоминание об атомной бомбе в русской и, возможно, в мировой поэзии (да и в художественной литературе вообще). Согласно взглядам Эйнштейна, 1) пространство, 2) время и 3) пребывающие в пространстве и времени обладающие массой тела - все эти три сущности не независимы, а влияют на свойства друг друга; читаем у Бродского в стихотворении «Мир создан был из смешенья грязи, воды, огня...»: “...пространство <...> смещается в сторону времени, где не бывает тел”.

[*] Среди неевклидовых геометрий занимают особое место и наиболее популярны геометрия Лобачевского и геометрия
Римана. Хотя Брюсова, несмотря на его знаменитость, невозможно, конечно, отнести к числу “больших русских поэтов” [[*]], он был человек
образованный, и имена Лобачевского и Римана были ему известны: “То же в новом - Лобачевский, Риман, та же в зубы узкая узда!”
(стихотворение «Мир N измерений» от 21 января 1924 г.).

[**] В стихотворении «Принцип относительности», датированном 15 марта 1922 г., Брюсов написал: “...Вот-вот адамант Leges
motus’ов Ньютона - разлетится в куски!” И он же в стихотворении «Невозвратность» от 1 августа 1923 г.: “Эх! пусть фильму Эйнштейн
волочит по Европе!” [[**]] На авторитет Брюсова и поэзии вообще ссылается Трижды герой соцтруда акад. Я. Б. Зельдович в своей скрытой
полемике с акад. А. Б. Мигдалом. В статье [Зель], на с. 411, он пишет:

Любопытно, что правильный ответ на вопрос о теории строения материи дан полвека назад русскими поэтами. В последние годы <Статья написана в 1971 г. - Вл. У.> стало модным противопоставление физиков и лириков. Налицо утрата глубокой сопричастности художника к научному прогрессу. Между тем, когда-то, в 20-е годы, теория относительности и строение атома глубоко волновали воображение всех мыслящих людей. Валерий Брюсов в чеканных стихах рисовал планетарную систему атома [[***]], предвосхишая некоторые современные идеи о структуре частиц. Но ещё примечательнее ощущение тесной связи между теорией микромира (поэт-словотворец называет эту теорию «атомосклад») и космосом, выраженное в двустишии Велемира Хлебникова [[****]]:

Могучий и громадный, далёк астральный лад.
Ты ищешь объясненья - познай атомосклад.

[[*]] Брюсова можно привести в качестве иллюстрации хорошо известного эффекта: мнение о поэте меняется со временем. Думается, что у нынешних ценителей акции Брюсова значительно ниже, чем они были во времена его младших современников. Возьмём к примеру известную статью Андрея Белого 1906 г. «Венец лавровый»; эта статья [Бел 06] перепечатывалась затем по крайней мере трижды в качестве первой части более обширной статьи Белого «Брюсов»: сперва в [Бел 10лз, с. 178–205], а в последние годы в [Бел 94кэтс1, с. 350–366] (с неверным указанием места и времени первой публикации в комментариях на с. 470) и в [Бел 94скм, с. 392–402] (с текстологической неточностью в приводимой ниже цитате). Она начиналась так: “Валерий Брюсов, первый из современных русских поэтов. - Его имя можно поставить на ряду только с Пушкиным, Лермонтовым, Тютчевым, Фетом, Некрасовым и Баратынским” ([Бел 06], с. 43). В этой связи вспоминаю выставку-продажу букинистических книг и рукописей в помещении ЦДЛ весною 1947-го года. Там было выставлено письмо Брюсова в какое-то издательство с выражением неудовольствия: кажется, ему назначили не соответствующий его рангу гонорар. Фразу из письма вспоминаю почти дословно: “Считая себя первоклассным русским поэтом, что подтверждено последними исследованиями Андрея Белого...”.

[[**]]  “Фильма, популяризируюшая принцип относительности Эйнштейна, в 1923 г. обошла все кино Европы”. (Примеч. Брюсова.)

[[***]] К слову “атома” в [Зель] даётся затекстовое примечание, отсылающее к стихотворению Брюсова «Мир электрона» от
13.08.1922: “Быть может, эти электроны - миры, где пять материков, искусства, знанья, войны, троны и память сорока веков! Ещё, быть может, каждый атом - вселенная, где сто планет;” и т. д.

[[****]] Подлинное двустишие из разысканий Я. Б. Зельдовича не было в 1971 г. пропущено в печать цензурой. Восстанавливаем
его текст.
 

4.3. Математический анализ сцены из Достоевского. Достоевский демонстрирует ещё более глубокий уровень. Он описывает ситуацию, которая, на наш взгляд, не может быть правильно понята без математического её анализа.

Как известно, Лукьян Тимофеевич Лебедев в ответ на вопрос князя Мышкина о его имени-отчестве сказался Тимофеем Лукьяновичем («Идиот», ч. 2, гл. 2). Присутствовавший племянник Лебедева тут же его разоблачил:

- Соврал! - крикнул племянник, - и тут соврал! Его, князь, зовут вовсе не Тимофей Лукьянович, а Лукьян Тимофеевич! Ну, зачем, скажи, ты соврал? Ну, не все ли равно тебе, что Лукьян, что Тимофей, и что князю до этого? Ведь из повадки одной только и врёт, уверяю вас!

- Неужели правда? - в нетерпении спросил князь.

- Лукьян Тимофеевич, действительно, - согласился и законфузился Лебедев, покорно опуская глаза и опять кладя руку на сердце.

- Да зачем же вы это, ах, Боже мой!

- Из самоумаления, - прошептал Лебедев, всё более и покорнее поникая своею головой.

- Эх, какое тут самоумаление! <...>- сказал князь <...>.

Ни лебедевский племянник Владимир Докторенко, ни князь Л. Н. Мышкин не видят смысла в поведении Лебедева. Меж тем смысл есть, и состоит он именно в том, что ясно обозначил Достоевский устами Лебедева, - в самоумалении. Попытаемся вывести это, как сказал бы Достоевский, математически. Математические рассуждения не частый гость на страницах НЛО; желание быть понятыми до конца вынуждает нас к подробному изложению; тому следуют десять пунктов.

1. Мы исходим из того, что самоумаление может выражаться, в частности, в малости той информации, которая сообщается о себе. Сообщать о себе много подробностей означает придавать своей фигуре изрядное значение - во всяком случае, достаточное для того, чтобы обременить этими подробностями своего собеседника. Напротив, человек скромный о себе скажет мало, считая сведения о себе не достойными внимания, незначительными - особенно в глазах уважаемого собеседника.

2. Дальнейшие рассуждения основываются на тезисе предыдущего пункта и ничтожны для тех, кто с ним не согласен. Продолжим для согласных. Названный тезис позволяет предположить, что - в порыве самоумаления - Лебедев, отвечая на вопрос кн. Мышкина, намеревался минимизировать сообщаемую информацию. Самым простым способом минимизации было бы, конечно, сообщение только имени (Лукьян) или только отчества (Тимофеевич); однако это было бы прямой невежливостью, поскольку вопрос был задан об имени и отчестве; невежливость же несовместима с самоумалением. Кажется, что иных способов минимизации и не может быть. Ан нет.

3. Теперь начинается математика - впрочем, очень простая. Одним из фундаментальных различий, фиксируемых математикой, является различие между упорядоченной парой и неупорядоченной парой. Неупорядоченная пара, составленная из элементов a и b, - это совокупность, коллекция, куча и т. д. (на математическом языке - множество), содержащая эти два элемента и более ничего; никакого порядка, или предпочтения, среди этих элементов не наблюдается, а потому бессмысленно спрашивать, кто из них на каком месте, кто первый, а кто второй. Неупорядоченная пара элементов a и b обозначается так: {a, b}. Очевидно, что из двух элементов можно составить ровно одну неупорядоченную пару; поэтому {a, b} = {b, a}. В упорядоченной же паре, составленной из элементов a и b, содержится информация о том, какой из этих элементов является первым, а какой вторым. Упорядоченная пара, в которой элемент a является первым, а элемент b - вторым, обозначается <a, b>. Упорядоченная пара, в которой элемент b является первым, а элемент a - вторым, обозначается <b, a>. Эти две пары считаются различными (если только различны сами a и b); поэтому из двух различных элементов можно составить ровно две упорядоченные пары. Для упрощения изложения будем рассматривать лишь пары - как упорядоченные, так и неупорядоченные - составленные из различных элементов. Тогда из каждой неупорядоченной пары можно произвести ровно две упорядоченные пары. Взяв какие-либо пять элементов, читатель легко образует десять неупорядоченных пар, составленных из этих элементов, и двадцать упорядоченных пар (при условии, повторяем, что в расчёт принимаются лишь пары, составленные из различных элементов).

П р и м е р   и з   Г о г о л я. После исторической встречи двух дам в 9-й главе «Мёртвых душ» “весь город заговорил про мёртвые души и губернаторскую дочку, про Чичикова и мёртвые души, про губернаторскую дочку и Чичикова”. В этой гоголевской фразе представлены три двухэлементные множества: {мёртвые души, губернаторская дочка}; {Чичиков, мёртвые души}; {губернаторская дочка, Чичиков}. Это есть исчерпывающая совокупность всех неупорядоченных пар, составленных из элементов трёхэлементного множества {Чичиков, губернаторская дочка, мёртвые души}. Если бы Гоголь имел в виду упорядоченные пары, он писал бы: “про мёртвые души и губернаторскую дочку, про губернаторскую дочку и мёртвые души, про Чичикова и мёртвые души, про мёртвые души и Чичикова, про губернаторскую дочку и Чичикова, про Чичикова и губернаторскую дочку”.

4. При любом естественном подходе к измерению информации очевидно, что упорядоченная пара содержит больше информации, чем неупорядоченная. В самом деле, неупорядоченная пара содержит информацию лишь о составляющих её элементах, а упорядоченная пара также и о том, какой из этих элементов первый, а какой второй.

5. На вопрос об имени и отчестве полный ответ состоит в предъявлении упорядоченной пары имён: на первом месте имя, на втором - отчество. Таким образом, полный (и правильный!) ответ Лебедева должен был бы, с математической точки зрения, выглядеть так: <Лукьян, Тимофей>. Теперь мы видим, что одним из возможных способов уменьшения информации в предлагаемом ответе является такой: сообщить не упорядоченную пару, а неупорядоченную, т. е. такую: {Лукьян, Тимофей}. Её и пытается сообщить Мышкину Лебедев.

6. Позвольте, справедливо возразит читатель, Лебедев ведь сообщает в своём ответе не неупорядоченную пару, а как раз упорядоченную. Он даёт полный ответ, но неверный, т. е. такой: <Тимофей, Лукьян>. Мы заявляем, что таким парадоксальным способом Лебедев пытается выразить именно неупорядоченную пару {Лукьян, Тимофей}, совпадающую с неупорядоченной парой {Тимофей, Лукьян}. Чтобы наша мысль была понятна, мы должны указать на одно универсальное (т. е. выполняющееся для всех языков) ограничительное свойство человеческой речи. О нём - в следующем пункте.

7. Человеческая речь протекает во времени, а время линейно: из двух неодновременных событий одно непременно происходит ранее другого. Поэтому в речи между составляющими её словами неизбежно имеется отношение порядка: какие-то слова произносятся или пишутся раньше, а какие-то позже. Отсюда возникает ограничение языка в его возможностях.

Именно, язык не в состоянии назвать два предмета, не отдав кому-то из них предпочтения, т. е. не назвав какой-то из них первым, а какой-то вторым. Это ограничительное свойство (не привлёкшее, как кажется, должного внимания исследователей) представляется весьма существенным.

П р и м е р   и з     Г о г о л я. Рассказывая о визите Чичикова к Манилову, Гоголь пишет так: “... мне пора возвратиться к нашим героям, которые стояли уже несколько минут перед дверями гостиной, взаимно упрашивая друг друга пройти вперёд. <...> Наконец оба приятеля вошли в дверь боком и несколько притиснули друг друга”. Мы видим, что Гоголь избегает называть здесь своих героев по имени, и это понятно: назвав их по имени, он неизбежно кого-то из них назвал бы первым; тем самым была бы выражена ложная мысль, что этот первый упрашивал более настойчиво или же вошёл несколько раньше.

8. Язык не может выразить неупорядоченную пару, не отдав предпочтения одному из составляющих её элементов. Мы знаем, что выражения {a, b} и {b, a} обозначают один и тот же объект (а именно, неупорядоченную пару). Однако сами эти выражения различны, и различаются именно тем, какой элемент идёт в них первым - первым именно в выражении, т.е. в комбинации знаков, составленных из фигурных скобок, запятой и имён элементов. Эти комбинации знаков служат для обозначения неупорядоченных пар, в которых нет ни первого, ни второго элемента. Иначе говоря, в качестве имени, или обозначения, для неупорядоченной пары мы вынуждены, по существу, пользоваться одной из двух упорядоченных пар, соответствующих этой неупорядоченной паре. Итак, чтобы назвать неупорядоченную пару, мы вынуждены произнести или написать одну из двух соответствующих ей упорядоченных пар. Лебедев желает сообщить неупорядоченную пару, но непосредственно сделать это не может, а только косвенно - через предъявление пары упорядоченной. О неупорядоченной паре можно только помыслить, упорядоченную же можно предъявить в виде произнесения или написания. (Мы оставляем в стороне наименования неупорядоченной пары по типу “наши герои” или “оба приятеля”, поскольку они не содержат имена элементов пары.) Таким образом, упорядоченная пара выступает в языке в двух ролях: 1) как имя самой себя (прямое употребление); 2) как имя соответствующей неупорядоченной пары (косвенное употребление).

9. Невозможно требовать от Лебедева, чтобы он, произнеся упорядоченную пару, добавил бы что-либо вроде: „Хотя я произношу упорядоченную пару, но имею при этом в виду неупорядоченную пару, т. е. применяю косвенное употребление“. Однако перед ним встаёт выбор, какую из упорядоченных пар использовать в качестве представителя неупорядоченной пары. Одна из них, а именно <Лукьян, Тимофей>, отвечает истинному положению вещей с его именем и отчеством. Поэтому её использование не будет содержать должного сигнала о том, что имеется в виду неупорядоченная пара. У Лебедева нет другого способа обозначить неупорядоченность пары, кроме как указать в ней не соответствующий истине порядок, и он говорит: <Тимофей, Лукьян>. Каким образом эта упорядоченная пара подаёт сигнал о том, что она всего лишь служит внешним средством выражения неупорядоченной пары, - это будет разъяснено в следующем, последнем пункте.

10. Нормальный акт коммуникации основан на презумпции истинности произносимых высказываний. Говорящий не просто нечто говорит, но одновременно утверждает, что то, что он говорит, истинно. Применим сказанное к произносимой Лебедевым паре <Тимофей, Лукьян>. Единственный способ приписать ей истинность - это трактовать её как использованную в косвенном употреблении, т. е. как обозначающую соответствующую неупорядоченную пару. Уф!

§ 5. Кое-что о математике в литературоведении.   5.1. Вводные соображения. Связи литературы и математики многообразны. Здесь и использование в художественном тексте математических терминов и представлений (n°n° 4.1 и 4.2), и привлечение математики для анализа отдельных эпизодов (n° 4.3). Но главное - это трактовка текста в целом как объекта для приложения математических методов (вспомним приведённое в n° 3.4 замечание Колмогорова о возможности использовать стихотворчество в качестве объекта учения о высшей нервной деятельности).

Центральный вопрос, возникающий, когда мы имеем дело с текстом, состоит в выяснении того, какая информация в этом тексте содержится. Несмотря на свою центральность - а, может быть, вследствие неё - вопрос этот весьма невнятен, поскольку никто не знает, что такое информация. Наиболее внятным возможным ответом на этот невнятный вопрос был бы такой: сам текст целиком и есть информация. (Кажется, Лев Толстой на заданный ему вопрос, о чём «Анна Каренина», ответил, что у него нет другого способа ответить, как написать «Анну Каренину» ещё раз.) Однако такой ответ противоречит нашему желанию - может быть, и неправомерному, но кажущемуся естественным - отделять текст от его содержания. Кроме того, хотелось бы уметь выделять отдельную информацию, содержащуюся в отдельных элементах текста; в качестве таких элементов могут выступать как куски текста, от слов до глав, так и различные его характеристики (например, метр в поэзии).

Хотя, повторимся, никто не знает, что такое информация, у всех есть интуитивное представление, что её может быть много или мало. А. С. Монин в цитированном уже очерке упоминает

"простые опыты по подсчёту количества информации, содержащейся в различных текстах. Если, например, по началу фразы вы угадываете, каким будет следующее слово, то оно никакой информации вам не прибавляет. Проведённые под руководством А.Н. подсчёты показали, например, что наименьшее количество информации содержат, конечно, газетные тексты, поскольку политическая фразеология штампуется. Скажем, «нерушимая» всегда оказывается дружба, а «нерушимое» - единство *. И в то же время оказалось, что стихи сильных поэтов несут очень много информации, слова в них непредсказуемы, несмотря на жёсткие дополнительные по сравнению с прозой ограничения, налагаемые ритмом и рифмами. Пожалуй, тем более это относится к вольному или белому стиху, где такие ограничения существенно ослаблены.

* Эти наглядные соображения о связи количества информации с угадыванием продолжения тесно соотносятся с теми экспериментами по вычислению энтропии методом угадывания, о которых говорится в рубриках 5.8.3 и 5.9 .

Таково, например, «белое» стихотворение Ахматовой „Думали, нищие мы, нет у нас ничего, а как стали одно за другим терять, так что стал каждый день поминальным днём, стали мы песни слагать о великой щедрости Божьей, да о нашем былом богатстве“. Думается, что на этом держится и вся англоязычная поэзия, лишённая силлабо-тонического строя русского стиха” ([Мон], с. 484).

Математика ещё очень далека от ответа на вопрос о сущности информации. Название “теория информации” для одной из областей современной математики способно скорее ввести в заблуждение; правильнее было бы назвать эту область “теорией передачи сообщений” или - как это и сделал её основоположник американский инженер Клод Шеннон - “математической теорией связи”, см. [Шен 48]. Однако именно в этой теории выработаны хотя ещё робкие и дальние, но всё же такие подходы к интересующей нас теме, без которых обойтись, может быть, и невозможно.

В следующих рубриках этого параграфа мы попытаемся изложить некоторые простые соображения, цель которых - помочь далёкому от математики читателю получить общие представление о направлении интересов и занятий Колмогорова в области математического исследования художественной литературы (в той мере, конечно, в какой мы сами это направление в состоянии понять). Словом “направление” мы хотим отказаться от малейшей претензии на то, чтобы дать нечто вроде обзора колмогоровских текстов, будь-то опубликованные статьи или устные выступления. Заинтересованного читателя мы отсылаем непосредственно к соответствующим публикациям. Однако предварительное ознакомление с тем, что мы назвали “простыми соображениями” может помочь правильному восприятию колмогоровских текстов.

Вот как начинает своё знаменитое «Введение в православное богословие» [Мак] наш выдающийся соотечественник епископ (впоследствии академик Императорской Академии Наук и митрополит Московский) Макарий (в миру - М. П. Булгаков): “Предметом для введения в науку обыкновенно назначают предварительные о ней понятия, т. е. такие понятия, которые не могут войти в состав самой науки, однакож существенно к ней относятся и необходимо ею предполагаются”. Если считать, что есть такая наука: «Колмогоров о семиотике и знаковых системах, в том числе литературных текстах», - то следующие за сим рубрики § 5 содержат изложение некоторых фрагментов введения в эту науку (фрагментов хотя и математических, но совершенно общедоступных).

5.2. Сколько может быть текстов? Давайте установим объём текста в авторский лист, т. е. в 40 тысяч печатных знаков. Сколько возможно литературных текстов такого объёма? Для определённости условимся, что мы говорим лишь о текстах на русском языке. Подчеркнём, что нас интересует не количество реально существующих литературных произведений, а количество литературных произведений, которые могут существовать, - или, если угодно, уже существуют, но не в реальности, а в Платоновом мире идей.

Вопрос о количестве литературных текстов представляет некоторый интерес. В самом деле, каждый текст можно трактовать как результат мысленного выбора из множества всех текстов данного объёма (в такой трактовке - очевидная искусственность, но мы её игнорируем ради упрощения изложения *); если бы текст объёмом в 40000 знаков был бы всего один, то вряд ли была бы возможна художественная литература, укладывающаяся в рамки этого объёма. Чем больше число тех возможностей, из коих совершается выбор, тем выше художественное своеобразие (да простит меня читатель за избитое и высокопарное выражение).

* Следующим, более разумным приближением к истине является трактовка данного текста как результата выбора из всех возможных текстов, длина которых  меньше  какого-то фиксированного числа.

Разумеется, точное число никому не известно. Да и сам вопрос не имеет точного смысла, поскольку никто не знает, что такое литературный текст. Однако позволительно говорить о приблизительном смысле и приблизительном числе, сознавая, что приблизительность числа имеет две причины: приблизительность смысла вопроса и нашу неспособность ответить на него точно даже в том случае, если бы вопрос имел точный смысл.

Когда затруднительно найти точное значение какой-либо величины, обычно пытаются указать хотя бы пределы, между которыми может быть заключено это неизвестное нам значение. Иногда удаётся обнаружить, что интересующее нас значение не меньше, чем число a; в этом случае число a называют нижней оценкой. Иногда удаётся обнаружить, что интересующее нас значение не больше, чем число b; в этом случае число b называют верхней оценкой. Разумеется, для одной и той же величины существует бесчисленное множество нижних оценок и бесчисленное множество верхних оценок. Нижняя оценка тем точнее, чем она больше. Верхняя оценка тем точнее, чем она меньше. Попытаемся найти какие-нибудь нижние и верхние оценки для числа литературных текстов объёмом 40000 знаков.

Нижнюю оценку может найти каждый. Для этого надо просто сочинить как можно больше литературных текстов объёмом в авторский лист и подсчитать количество сочинённых текстов; это и будет нижней оценкой. Верхняя оценка требует некоторых рассуждений.

Как известно, при подсчёте числа печатных знаков учитываются все знаки - не только буквы, но даже и знаки препинания, включая междусловный пробел. В инвентарь таких знаков входят 33 строчные и 33 прописные буквы, десять арабских и восемь римских цифр, знаки препинания (высокая наука ещё не пришла к единому мнению об их количестве), знаки параграфа, номера, процента, градуса и проч. Количество знаков возрастёт в несколько раз, если допустить шрифтовые выделения, такие как курсив, жирность и т. п. Следует ли включать в число печатных знаков русских текстов латинские буквы? Мне неизвестны однозначные ответы на вопросы такого рода, равно как и место, где был бы приведён подобный инвентарь. Откажемся от шрифтовых выделений и примем, что наш инвентарь (на математическом языке - алфавит) содержит ровно сто знаков. Будем считать текстом любую цепочку из сорока тысяч таких знаков, идущих друг за другом; тогда количество текстов будет равно 100⁴⁰⁰⁰⁰, а это есть единица с восемьдесятью тысячами нулей. Среди этих текстов будут и совершенно бессмысленные, например, состоящий из 40000 левых скобок или из 40000 пробелов. Но все литературные тексты также войдут в полученную совокупность, поэтому число 100⁴⁰⁰⁰⁰ будет верхней оценкой для интересующего нас количества литературных текстов объёмом в авторский лист. Полученная верхняя оценка чрезвычайно завышена, зато достоверна.

Если понимать термин ‘текст’ указанным максимально широким образом - как произвольную цепочку знаков, - то лишь малая доля всех текстов окажется оформленной по правилам русской грамматики. Однако и среди грамматически правильных текстов подавляющее большинство всё ещё останутся бессмысленными, поскольку будут содержать фразы вроде знаменитой «глокой куздры» Л. В. Щербы *.

* Имеется в виду знаменитая фраза: "ГлОкая кУздра штОко будланУла бОкра и курдЯчит бокрёнка". Как сообщает в своём «Слове о словах» (глава 6, n° 8, с. 320, в издании 1960 г.) мой однофамилец Лев Васильевич Успенский, Л. В. Щерба предложил эту фразу для грамматического разбора своим слушателям на вступительной лекции по курсу «Введение в языкознание». А.А. Реформатский в своём учебном пособии с тем же названием «Введение в языкознание» приводит в подстрочном примечании другой вариант этой фразы: "Глокая куздра штеко бодланула бокрёнка" (в § 60 в издании 1960 г., в § 61 в изданиях 1955 г. и 1967 г.).

Впрочем, тут немало неясностей: следует ли считать бессмысленным текст, все фразы которого, кроме одной, осмыслены?. Некоторые из грамматически правильных текстов окажутся также и лексически правильными, т. е. будут состоять из реальных русских словоформ (и «куздра» сюда уже не попадёт), сочетаемых по правилам грамматики. Впрочем, и тут неясности: следут ли, например, считать лексически правильной следуюшую фразу из «Зоны» С. Довлатова (см., напр., его Собр. соч. в 3 томах, СПб, 1993, т. 1, с. 33): “Лежневка привела его в кильдим”; дело в том, что никто не мог мне объяснить, что такое кильдим. Далее, какую-то часть этих правильных текстов составят тексты осмысленные, а какую-то часть текстов осмысленных составят тексты литературные, принадлежащие изящной словесности.

Разумеется не существует чётких определений ни что такое грамматически правильный текст, ни что такое осмысленный текст, ни что такое текст, принадлежащий изящной словесности *. Однако соответствующие представления, хотя и весьма расплывчатые, присутствуют в нашей интуиции, и грубые оценки доли текстов более частного вида среди текстов более широкого рода поучительны.

* Дать такие определения - цель первостепенной важности. Даже если эта цель недостижима, она разумна как указание направления движения. Поэтому с естественной долей условности и всеми необходимыми оговорками можно считать, что:

основная задача лингвистики - указать признаки, посредством которых из всех текстов выделяются грамматически правильные, а из последних - осмысленные;

основная задача литературоведения - указать признаки, посредством которых из всех осмысленных текстов выделяются литературные (т. е. принадлежащие художественной литературе, или изящной словесности).

Можно заметить, что в XX в. объём осмысленных текстов сильно расширился - и отнюдь не только за счёт появления новых слов. Более существенным фактором является общая либерализация мышления. Обороты вроде “я завтра клевал салфеткой бесконечность” или “лиловые идеи яростно спят”, немыслимые в прошлом веке, теперь, вероятно, уже надо считать осмысленными, несмотря на их странность. В подтверждение сказанному напомним название повести Бориса Васильева «Завтра была война» или начало стихотворения Бродского «Из Альберта Эйнштейна»: “Вчера наступило завтра в три часа пополудни. Сегодня уже «никогда», будущее вообще.”; и, наконец, пример из НЛО, т. 20 (1996 г.), с. 309: “Сегодня в карты играли, и завтра - в карты играли” - это из стихотворения Александра Величанского «Сегодня возили гравий»; всё это - чем не очередная тема студенческой работы. Та же либерализация мышления расширила и рамки художественной литературы; просвещённый читатель укажет современные литературные тексты, невозможные в изящной словесности прошлого века128. А известное пятистишие Кручёных “дыр бур щил | убещур | скум | вы со бу | р л эз” (о котором сам его автор пишет, что “в этом пятистишии больше русского национального чем во всей поэзии Пушкина”) заставляет внести коррективы в нашу презумпцию о том, что корпус текстов литературных составляет часть корпуса текстов осмысленных. См., также некоторые из произведений Уктусской школы, опубликованых на стр. 224–234 16-го номера НЛО (1995 г.).

Для всех подсчётов необходимо условиться, что именно мы считаем отдельной буквой. Примем, например, следующую договорённость о том, что считать отдельной буквой русской письменной речи: прописные и строчные буквы не различаются, знаки препинания не учитываются, пробел между словами считается особой буквой, буквы е и ё считаются одной и той же буквой, буквы ъ и ь также считаются одной и той же буквой. Различных букв окажется в таком случае не 100, а 32. А всех текстов объёмом 40000 знаков будет не 100⁴⁰⁰⁰⁰, а «всего лишь» 32⁴⁰⁰⁰⁰, что есть примерно единица и 60206 нулей.

Расчёты, выполненные М. Ратнер и Н. Светловой и упоминаемые Колмогоровым в цитате из нашего n° 5.8.3, позволяют вывести оценку для числа русских текстов, являющихся одновременно грамматически и лексически правильными (при том что лексика берётся из словаря Ожегова). Можно полагать, что в этих расчётах использовался именно 32-буквенный инвентарь знаков. Тогда оказывается, что количество русских текстов объёмом 40000 знаков, являющихся одновременно грамматически и лексически (по Ожегову) правильными, лежит между 10²⁴⁰⁸² (единица и 24082 нуля) и 10³¹⁶⁷⁵ (единица и 31675 нулей).

Поскольку текст рассматривается нами как цепочка печатных знаков, мы позволим себе заменить более расхожий термин “объём текста” на математически более точное выражение “длина текста”.

В своей лекции 10 ноября 1960 г. (см. выше n° 3.4) Колмогоров, исходя из указанного 32-буквенного инвентаря, сообщил своей аудитории, что количество осмысленных русских текстов из k букв составляет приблизительно 10^0,4k; для текста длиною 40000 знаков это даст единицу и 16000 нулей. Но это количество текстов, заметил Колмогоров, реально не используется, поскольку вряд ли человечеству нужно выразить столько мыслей. А раз так, то появляется возможность вносить в тексты дальнейшие (по сравнению с осмысленностью) ограничения, а именно - вводить в текст некоторый порядок, исходящий из поэтической структуры. Так, чтобы получить количество осмысленных текстов длины k (т. е. составленных из k букв), написанных четырёхстопным ямбом с мужскими окончаниями *, надо, если следовать Колмогорову, общее число осмысленных текстов (т. е. 10^0,4k) умножить на 10^–0,06k (этот множитель есть объявленная Колмогоровым вероятность того, что осмысленный текст длины k окажется написанным четырёхстопным ямбом с мужскими окончаниями); для объёма в 40000 знаков это даст количество, приблизительно равное единице с 13600 нулями **.

* Говоря об этом, Колмогоров отметил, что мужских стихов против женских столько же, сколько рождается мальчиков, т. е. 52 процента, хотя писать мужскими окончаниями подряд труднее, чем женскими. Литературоведы, сказал Колмогоров, считают, что поэт всё может, и не любят говорить на тему о том, насколько одной формой писать труднее, нежели другой.

** Более подробно Колмогоров говорил примерно следующее. “Возьмём осмысленный русский текст длиною N = 8n слогов. Вероятность того, что это будет ямб с мужскими окончаниями, состоящий из n стихов, есть 10^–1,465n, или 10^–0,183N, или 10^–0,06k, где k - число знаков в тексте. Это есть условная вероятность при условии, что текст осмысленный. (Но естественно предположить, что ямбичность и осмысленность независимы.)” Далее Колмогоров указал, что “настоящий ямб - даже без рифмы - подчиняется ещё и дополнительным требованиям (см. цитату из Колмогорова в n° 5.8.4), так что проблема сопротивления материала совсем не тривиальна”. “Теоретически, - сказал Колмогоров, - можно создать институт, который напишет «Евгений Онегин»; в нём будет много отделов, сложная вычислительная машина. Мысленно всё это возможно, но чрезвычайно сложно. Мы же сейчас будем заниматься лишь одним сравнительно небольшим блоком указанной машины, а именно блоком ритма. Для чего необходима длительная литературная традиция”.

Сделаем три заключительных замечания.

1. Как известно, понятия ‘русский язык’ и ‘литературный русский язык’ суть различные понятия. Первому отвечает бОльшая совокупность текстов, второму - меньшая, являющаяся частью первой совокупности. Есть основания полагать, что, говоря об осмысленных русских текстах, Колмогоров имел в виду тексты, принадлежащие литературному языку.

2. Вопрос о количестве литературных (т. е. принадлежащих художественной литературе) текстов заданной длины так и остался открытым. Мы сумели лишь извлечь из колмогоровских материалов некоторые верхние оценки для такого количества.

3. Мы выбрали для примера длину 40000. Что происходит при переходе к произвольной длине k, выясняется в n° 5.8. В заметке [Рев СТИ] на с. 289 указываются - с неявной ссылкой на Колмогорова в Горьком (см. n° 3.6) - соответствующие данные для k=25х5300. А это произведение 25х5300 берётся вот откуда: если считать, что строка «Евгения Онегина» состоит в среднем из 25 букв, а всего строк 5300, то такова будет длина «Онегина» *.

И. И. Ревзин исходит из того, что значение энтропии для русской прозы равно 1. Как сообщалось в Замечании в примечании, эту оценку для русской прозы в целом следует считать заниженной и применимой, да и то с осторожностью, к прозе какого-либо одного автора. С учётом только что сказанного воспроизведём текст со с. 289 из [Рев СТИ]:

...Если считать, что строка «Евгения Онегина» состоит из 25 букв, а всего строк 5300, то прозаических текстов длины «Евгения Онегина» вообще может быть 25х5300. Теперь используются обсуждавшиеся ранее данные об ограничениях, накладываемых метром, ритмом (выбором формы), рифмой, строфикой и т. п. Оказалось, что поскольку из 32 строк в среднем только одна вкладывается в схему ямба, то число написанных ямбом текстов длины «Евгения Онегина» сокращается в 25х5300 раз, т. е. равно 2(25–5)х5300. Такое же сокращение дает ограничение на рифмы. Ограничениие на переносы сокращает это число еще в 22х5300 раз.

В целом, если учесть и другие формальные ограничения, из 225х5300 осмысленных текстов длины «Евгения Онегина» только 25х5300 могут совпадать по своей формальной структуре с «Евгением Онегиным». Отсюда ясно, как сильно ограничивают возможности поэта чисто формальные требования. На первый взгляд остается вообще мало возможностей для передачи любого наперед заданного содержания. У некоторых поэтов формальные требования действительно столь велики, что форма (например, те или иные рифмы) начинает определять выбор того или иного содержания. Но у больших поэтов, как например, у Пушкина, этого не происходит. Дело в том, что имеется большое количество средств для выражения одного и того же содержания, так что поэт всегда находит среди них такое, которое удовлетворяет определенным формальным требованиям. Эти рассуждения позволяют представить величину энтропии H как состоящую из двух компонент: H_c - разнообразие, дающее возможность передавать различную внеязыковую (семантическую) информацию, и H_r - разнообразие, обеспечивающее гибкость выражения, т. е. собственно лингвистическая энтропия:

H = H_c + H_r

По оценкам А.Н. Колмогорова, для русского языка величина H_c составляет примерно 0,4 двоичной оценки на букву, а величина H_r - примерно 0,6 двоичной единицы. Разница между художественной и нехудожественной речью, между прочим, состоит в том, что в нехудожественной речи H_r не используется сознательно, в то время как в художественной речи разнообразие, обеспечиваемое H_r, идет на создание звуковой выразительности, эмоционального воздействия и т. п. В таком (но только в таком) смысле можно говорить, что художественная речь несет бОльшую информацию, чем речь нехудожественная.

5.3. Количество информации. Рассуждения предыдущей рубрики имеют близкое отношение к вопросу о количестве информации в тексте, так как можно считать, что информация состоит в погашении многовариантности. Эта формулировка довольно туманна, но её суть может быть прояснена на простых примерах.

В n° 4.3 было замечено, что в упорядоченной паре информации больше, чем в неупорядоченной; это потому, что упорядоченных пар больше, чем неупорядоченных. В отдельной букве из 33-буквенного русского алфавита больше информации, чем в отдельной букве 26-буквенного латинского алфавита, в которой, в свою очередь, информации больше, чем в отдельной арабской цифре; это потому, что 33 больше, чем 26, а 26 больше, чем 10. Вот самый наглядный пример, делающий более понятными и предыдущие примеры. Пусть у нас есть два телевизора, цветной и чёрно-белый; пусть в последнем различаются лишь такие цвета: чёрный, белый и серый. Если мы видим в цветном телевизоре актрису в чёрном платье, мы получаем большУю информацию: мы знаем, что это платье действительно чёрное, а не зелёное, не красное и т. п. Чёрное платье в чёрно-белом телевизоре даёт нам гораздо меньше информации: платье может быть в действительности и тёмно-красным, и тёмно-зелёным.

Чтобы воспринять информацию, надо заранее её ожидать. Если человек не знает иностранного языка, он не воспримет текст на этом языке как информацию. Для профана человеческая ладонь - бессмысленный набор складок и морщин; для хироманта ладонь несёт информацию, поскольку он ожидает наличия или отсутствия тех или иных черт. Возможно, небо пытается нечто сообщить нам формой облаков; если мы этого не понимаем, то потому, что ничего определённого не ждём; впрочем, метеорологи как раз ожидают тех или иных, заранее им известных возможных форм и потому воспринимают облака информативно.

Далее. Сам по себе никакой объект не несёт информацию - но лишь на фоне конкурирующих с ним объектов. Если на экране должна непременно появиться буква А и ничего другого появиться не может, то появление этой буквы не несёт никакой информации. (Разве что информацию об исправности прибора, т. е. о нормальном ходе событий, скажет кто-нибудь. Но это значит, что мы на самом деле допускаем не одно явление, т. е. букву А, а два: появление буквы и её непоявление.)

Подытожим сказанное. Общая обстановка, в которой имеет смысл говорить об информации и её количестве, такова. Имеется N возможных вариантов, и нам предъявляется один из них. В нём (или в акте его предъявления) содержится некоторая информация. Число N служит числовой мерой разнообразия вариантов. Информация, заключённая в отдельном варианте, вообще говоря, тем больше, чем больше мера разнообразия N. (Несколько загадочное “вообще говоря” будет разъяснено несколькими строками ниже.) Таким образом, если нам предъявляют одну букву из 33 русских букв, то информации в ней будет меньше, чем если нам предъявляют ту же букву, но в условиях, когда учитывается, будет ли буква строчной или прописной, имеет ли она обычный наклон и жирность или же выделена курсивом, полужирным шрифтом, полужирным курсивом: в этих условиях, как легко видеть, вариантов будет 33х2х4. Предъявленный художественный текст заключает в себе одну, меньшую информацию, если он рассматривается как представитель только множества художественных текстов, и другую, бОльшую, если он рассматривается как представитель всех осмысленных или всех грамматически правильных текстов. Информация, напротив, уменьшится, если мы будем заранее знать, что наш текст написан определённым стихотворным размером. Или имеет заданное содержание.

Вот теперь о словах “вообще говоря”, которые мы обещали разъяснить. Дело в том, что принцип, который мы провозгласили: “Тем больше информации в отдельном варианте (экземпляре), чем больше самих вариантов (возможных экземпляров)” - этот принцип справедлив только в том простейшем случае, когда все варианты равновероятны. Простейшие примеры: 1) в нормальной ситуации (не такой, как в истории о Эгее и Тесее) появление белого паруса гораздо вероятнее появление чёрного, поэтому белый парус несёт мало информации, а чёрный - много; 2) пустой флагшток на стене обычного дома много вероятнее флагштока с флагом, а обычный флаг много вероятнее траурного флага, поэтому пустой флагшток не несёт почти никакой информации, а флаг - довольно большую, причём траурный флаг - бОльшую, нежели обычный. Приведённые примеры делают понятным следующее положение: чем менее вероятен вариант, тем больше в нём заключено информации. Поэтому принцип прямой зависимости количества информации в отдельном варианте от числа возможных вариантов вполне может нарушаться в случае неравновероятных вариантов: в маловероятном варианте при небольшом общем числе вариантов может содержаться больше информации, чем в высоковероятном варианте при большом общем числе вариантов.

Главное, что следует усвоить из сказанного, - это то, что количество информации определяется не только несущим информацию объектом, но и тем, из какого объемлющего множества этот объект выбирается, а в вероятностном случае ещё и тем, с какой вероятностью этот объект в этом множестве встречается.

Колмогоров пишет:

Но какой реальный смысл имеет, например, говорить о «количестве информации», содержащемся в тексте «Войны и мира»? Можно ли включить разумным образом этот роман в совокупность «возможных романов», да ещё постулировать наличие в этой совокупности некоторого распределения вероятностей? Или следует считать отдельные сцены «Войны и мира» образующими случайную последовательность с достаточно быстро затухающими на расстоянии нескольких страниц «стохастическими связями»? По существу не менее тёмным является и модное выражение «количество наследственной информации», необходимой, скажем, для воспроизведения особи вида кукушка. [Колм 65т], с. 6–7, или [Колм 87], с. 217.

Мы намеренно воздерживались до сих пор от указания числа, измеряющего информацию, содержащуюся в отдельном варианте. Сама надежда на то, что информацию можно измерить числом, предполагает, разумеется, значительное огрубление реальной ситуации. Такого рода огрубления характерны для математики, поскольку математическая модель всегда есть огрублённое приближение к действительности. Вот и в этом случае математическая теория, узурпировавшая название “теория информации”, предлагает в качестве количественной меры информации, заключённой в отдельном варианте, некоторое число (а именно взятый со знаком минус двоичный логарифм вероятности этого варианта *). Эта численная мера оказывается полезной для математических и технических приложений. Для анализа художественных текстов её следует применять cum grano salis: здесь так называемая теория информации играет, пожалуй, ещё более вспомогательную роль, чем статистика.

* Предположим, что имеется N равновероятных вариантов, так что вероятность каждого отдельного варианта равна 1/N. Разумно считать, что в этом простейшем случае количество информации, содержащееся в отдельном варианте, равно log N, где log есть двоичный логарифм, т. е. логарифм по основанию 2. В обсуждаемом случае это есть количество битов, необходимых для идентификации каждого отдельного варианта. Изложенное только что представление об измеряющем информацию числе следующим образом обобщается на случай вариантов с произвольными вероятностями. Пусть имеется N вариантов с вероятностями p₁, p₂, ..., p_N. Тогда принимают, что в варианте, имеющем вероятность p_i, заключена информация, равная –log p_i. В случае, если все варианты равновероятны, мы получаем для информации, заключенной в каждом из них, величину, указанную в предыдущем абзаце, т. е. log N. (поскольку –log1/N  = log N).

В заключение этой рубрики выскажем некоторые соображения о возможности сложения количеств (т. е. числовых мер) информации. Мы сделаем это на примере. Представим себе, что у нас есть некоторое множество С стихотворений, из коих какая-то часть Я написана ямбом, а оставшаяся часть Х - хореем. Выберем какое-то стихотворение из Я. Заключённое в нём количество информации - при трактовке этого стихотворения как представителя множества С - можно представить в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое есть количество информации в сообщении, что стихотворение написано ямбом, т. е. принадлежит множеству Я. Второе слагаемое есть количество информации, заключённое в этом стихотворении как в представителе множества Я. Первое слагаемое показывает в данном случае, какая часть заключенной в тексте информации тратится на сведения о стихотворном размере.

Приведённый простой пример показывает (весьма приблизительно, конечно), каким образом можно ставить вопрос о количестве информации, заключённой в тех или иных сторонах текста, в том числе в его художественных особенностях. Иными словами, число, отражающее в с ю заключённую в тексте информации, можно представить в виде суммы чисел, отражающих информацию, заключённую в содержании, в лексике, в синтаксических конструкциях, в ритме, в рифме и т. п. Тот факт, что при составлении «полной» информации, заключенную из отдельных составляющих её частей числовые меры этих частей - с целью получения числовой меры «полной» информации - складываются (а не, скажем, перемножаются), является следствием указанного в предыдущем абзаце способа измерения информации - и одновременно подтверждением разумности этого способа.

5.4. Частота и вероятность.

5.4.1. Статистика и теория вероятностей. То обстоятельство, что изучение статистических и вероятностных закономерностей текстов существенно для филологического анализа, есть, конечно, банальность *. Эти два типа закономерностей тесно связаны друг с другом и различаются временем, в которое они обращены. Статистика обращена в прошлое, поскольку констатирует некоторые количественные характеристики событий уже свершившихся - в частности, частоту тех или иных событий (скажем, частоту того или иного слова в прочитанном нами тексте). Теория вероятностей обращена в будущее, поскольку оценивает наши ожидания относительно событий грядущих - в частности, относительно частоты тех или иных имеющих наступить событий (скажем, относительно частоты того или иного слова в тексте, который мы собираемся прочесть). Как правило, вероятностные закономерности-прогнозы на будущее выводятся на основе статистических закономерностей-констатаций, относящихся к прошлому. Если эти прогнозы выведены правильно, то, когда будущее становится прошлым, они с высокой достоверностью сбываются, т. е. превращаются в статистические данные. Сказанное даёт нам право в рамках нашего поверхностного изложения не слишком отличать вероятностные закономерности от статистических.

* Статистические характеристики текста могут, например, служить основой для установления авторства.

Поясним всё же, во избежание недоразумений, смысл и различие двух родственных понятий - понятия частота и понятия вероятность. Первое принадлежит статистике, второе - теории вероятностей. И частота, и вероятность суть числовые величины. Каждая из них выражается числом, расположенным между нулём и единицей; допускаются и сами эти крайние значения (ноль и единица). Однако между частотой и вероятностью имеется сущностная разница.

Частота есть объективная характеристика обследуемого материала, она показывает долю тех случаев, в которых встретилось интересующее нас явление. Если, скажем, в роще на 500 деревьев пришлось 400 берёз (воображаемый пример), то частота берёзы в этой роще есть 400:500, т.е. 0,8. Если в обследованных текстах общим объёмом в 400000 слов слово “почти” встретилось 204 раза (реальный пример), то частота этого слова в этом корпусе текстов есть 204:400000, т. е. приблизительно 0,0005. Если мы читаем в [Ягл 73] на с. 238, что частота русской буквы эр равна 0,04, а частота русской буквы цэ равна 0,004, то это значит, что в обследованных текстах на каждую тысячу букв эр встречалось в среднем 40 раз, а цэ в среднем 4 раза. Согласно [Про] (табл. 8 на с. 95) частота той ритмической формы пушкинского четырёхстопного ямба (см. примечание), в которой присутствуют речевые ударения на всех стопах, кроме первой, в «Бахчисарайском фонтане» равна 0,038, а в «Евгении Онегине» равна 0,067; это значит, что взяв соответствующую поэму и поделив число тех её строк, в которых представлена указанная форма, на общее число строк поэмы, мы получим, с округлением в третьем знаке после запятой, названные цифры 0,038 и 0,067.

Другое дело вероятность. Это есть абстрактная характеристика степени ожидания того или иного явления. Не для всякого явления о подобной характеристике (да ещё выраженной в виде числа!) имеет смысл говорить. Например, неясно, что значит вероятность того, что читатель этих строк, дойдя до слова чихнёт, действительно чихнёт. Здесь неясно не не то, как оценить эту вероятность, а именно, что в данном случае следует понимать под вероятностью. Таким образом, говоря о вероятности чего-нибудь, мы непременно должны принять гипотезу, что таковая вероятность существует. Практическое значение вероятности состоит прежде всего в том, что её разумно рассматривать как априорную оценку ожидаемой частоты. Так, если говорится, что для данного лесного массива вероятность дерева быть берёзой равна 0,8, то эту величину можно принять за ожидаемую частоту и, следовательно, надеяться, что в участке, содержащем 200 деревьев, окажется в среднем 160 берёз (опасаюсь, впрочем, что эти мои «берёзовые» примеры почему-либо некорректны с дендрологической точки зрения). Напротив, если нам уже известна частота, но ещё не известна вероятность, то частоту можно принять за оценку искомой вероятности; именно так, путём статистического эксперимента, определяются вероятности в исследованиях А.А. Маркова старшего, о которых пойдёт речь в n° 5.4.2.

В рубрике 5.3 была показана роль вероятностных параметров для измерения содержащейся в тексте информации. Ещё раньше, в n° 3.4, была приведена следующая важная мысль Колмогорова: исследование вероятностных закономерностей текстов должно непременно предшествовать исследованию художественных приёмов, потому что при ином порядке исследования можно неизбежный статистический закон ошибочно принять за приём (ясно, например, что если та или иная ритмическая конструкция статистически характерна для русского ямба вообще, то её появление в каком-то месте текста вряд ли может считаться художественным приёмом; если, как указывает М. Л. Гаспаров, использование анапеста вообще характерно для определённого периода творчества Мандельштама, то вряд ли может считаться приёмом его использование в относящихся к тому же периоду «Стихах о неизвестном солдате»).

Вероятностно-статистическому анализу могут подлежать какие угодно детали текста - и лексемы, и падежи, и целые синтаксические обороты, и ритмические конструкции. Самый простой случай, когда статистика наводится на отдельные буквы и их сочетания.

5.4.2. Исследования Маркова старшего. Наиболее ранний пример подхода к русскому (а возможно, и не только к русскому) художественному тексту как к предмету статистики и теории вероятностей содержится в статье [Марк 13ео] знаменитого петербургского математика А.А. Маркова старшего *.

* Андрей Андреевич Марков старший (2(14).6.1856–20.7. 1922) был отцом Андрея Андреевича Маркова младшего (9(22).9.1903– 11.10.1979), упоминаемого в n° 3.5.1. и в n° 6.1. Сын написал яркую биографию [МаркII] своего отца.

Вот начало статьи:

Наше исследование относится к последовательности 20 000 русских букв, не считая ъ и ь, в романе А. С. Пушкина «Евгений Онегин», которая заполняет всю первую главу и шестнадцать строф второй. Эта последовательность доставляет нам 20 000 связанных испытаний, каждое из которых даёт гласную или согласную букву.

Соответственно этому мы допускаем существование неизвестной постоянной вероятности p букве быть гласной и приближённую величину числа p ищем из наблюдений, считая число появившихся гласных и согласных букв. Кроме числа p мы найдём, также из наблюдений, приближённые величины двух чисел p₁ и p₀ и четырёх чисел p_1,1, p_1,0, p_0,1, p_0,0, представляющих такие вероятности: p₁ - гласной следовать за гласной, p₀ - гласной следовать за согласной, p_1,1 - гласной следовать за двумя гласными, p_1,0 - гласной следовать за согласной, которой предшествует гласная, p_0,1 - гласной следовать за гласной, которой предшествует согласная и, наконец, p_0,0 - гласной следовать за двумя согласными. <...> Противоположные вероятности, букве быть согласной, обозначим, как принято нами, буквою q с теми же значками.

На этом простом примере можно увидеть, каким образом на основе статистики определяются вероятности тех или иных явлений. Это происходит в три этапа. Сперва выдвигается и принимается гипотеза, что наблюдаемая реальность подчиняется вероятностным законам и что, таким образом, вообще можно говорить о той неизвестной нам вероятности, которую мы и собираемся найти, - например, о вероятности появления гласной после согласной; “мы допускаем существование неизвестной постоянной вероятности”, говорит Марков. Затем вычисляется частота, с которой встречается данное явление *  - например, частота появления гласной после согласной. Наконец, в качестве приближённого значения для разыскиваемой вероятности берётся вычисленная частота.

* С целью сближения частоты с искомой вероятностью, частота может подвергаться некоторым усредняющим приёмам, о которых не место здесь говорить. Один из таких приёмов использован в [Марк 13ео].

Действуя по указанной схеме, Марков старший находит следующие вероятности для встречающихся в «Евгении Онегине» букв:

для вероятности гласной буквы (т. е. для вероятности того, что выбранная наугад буква текста окажется гласной): p = 0,432; для вероятности согласной буквы: q =  0,568;

для вероятности гласной буквы после гласной (т. е. для вероятности того, что выбранная наугад буква, следующая за гласной, окажется гласной): p₁ =  0,128; для вероятности согласной буквы после гласной: q₁ =  0,872;

для вероятности гласной буквы после согласной: p₀ = 0,663; для вероятности согласной буквы после согласной: q₀ = 0,337;

для вероятности гласной буквы после двух гласных: p_1,1 =  0,104;

для вероятности согласной буквы после двух согласных: q_0,0 = 0,132; отсюда уже можно определить вероятность гласной буквы после двух согласных: p_0,0 = 0,868.

Вероятности p_1,0 и p_0,1, несмотря на данное обещание, в [Мар 13ео] не приводятся.

Свои наблюдения над частотами гласных и согласных букв в художественных текстах Марков не считал чем-то проходным; напротив, он придавал этим исследованиям определённое значение. В этом убеждают два обстоятельства.

Первое. Он включает соответствующий материал в 3-е и 4-е издание своей знаменитой монографии «Исчисление вероятностей». Именно, на с. 363, 365 и 366 3-го издания [Марк 13ив] (соответственно, на с. 570, 572, 573 4-го издания [Марк 24]) приведены уже известные нам значения 0,432, 0,128 и 0,663 для вероятностей p, p₁ и p₂ (через p₂ Марков обозначает в своей монографии вероятность гласной после согласной, т. е. то, что раньше, в статье [Марк 13ео], обозначалось им как p₀).

Второе. Он переносит свои исследования с «Евгения Онегина» на другой текст. На с. 370 в [Марк 13ив] (и, mutatis mutandi, на с. 577 в [Марк 24]) читаем: “Во время печатания этой книги я выполнил исследование, подобное предыдущему, над произведением другого автора (С. Т. Аксаков, Детские годы Багрова-внука). Результаты последнего исследования, обнимающего совокупность 100000 букв*, приведены в следующих таблицах <...>” И далее приводятся найденные Марковым приближённые значения для вероятностей гласной буквы: p = 0,44898; p₁ = 0,147; p₂ = 0,695.

Здесь p, p₁ и p₂ по-прежнему означают вероятности появления гласной - в произвольном месте, после гласной и после согласной. Читатель может сравнить значения этих вероятностей для романа Пушкина и для повести Аксакова и сделать (или не сделать) соответствующие выводы.

*  К слову “букв” знаменитый автор делает сноску, которая заслуживает того, чтобы полностью её воспроизвести. Вот она:

Исследование произведено над переписанным мною текстом, который несколько отличается от оригинала, благодаря вкравшимся при переписке ошибкам, но ввиду немногочисленности и неумышленности ошибок, они не должны существенно влиять на выводы. В первом исследовании я употребил много времени и труда на исключение таких ошибок. Вычисления выполнены в обоих случаях с одинаковой тщательностью.

Эти исследования А.А. Маркова старшего не только явили собою первый в России (а скорее всего, и в мире) пример применения математики к анализу художественного текста. Здесь замечательно ещё и то, что Марков нашёл не где-нибудь, а именно в изящной словесности первое воплощение изобретенного им важнейшего понятия теории вероятностей, называемого цепь Маркова. Именно это понятие (впервые введённое в [Марк 07збч] и затем более настойчиво сформулированное в [Марк 07зсз]) прославило закреплённое в его названии имя Маркова старшего во всём мире. Цепью Маркова называется такая цепь последовательных событий, в которой вероятность каждого события определяется тем, какое именно событие произошло непосредственно перед этим. Позволительно считать, что так устроено чередование гласных и согласных в тексте: вероятность букве быть гласной зависит от того, какое событие: гласная буква или согласная буква - было непосредственно перед этим. (Можно, конечно, прослеживать зависимость и от более ранних букв, как это делает Марков в своей статье; однако в монографии он ограничивается учётом зависимости только от непосредственно предшествующей буквы, что и приводит к математической схеме марковской цепи).

Цепи Маркова (а особенно их обобщение - марковские процессы, общая теория и классификация которых были даны Колмогоровым в 1930 г.) находят широчайшие естественно-научные и технические приложения. Однако первый содержательный пример цепи Маркова, да к тому же и предложенный не кем-нибудь, а первооткрывателем этого понятия, был связан с изящной словесностью. И не исключено, что самоё понятие родилось у Маркова из наблюдений над чередованиями букв в литературных текстах. Если эта гипотеза верна, то мы имеем впечатляющий пример того, как анализ текста приводит к рождению важного понятия математики.

5.5. Что происходит, если учитывать частоты букв и их сочетаний.

5.5.1. Нулевое приближение. Вспомним инвентарь из 32 букв русской письменной речи (включая пробел!), описанный в рубрике 5.2. Составим разрезную азбуку из этих 32 букв и поместим её в ящик (математики сказали бы “в урну”), тщательно перемешав. Будем теперь составлять из этой азбуки случайный текст, применяя следующую процедуру: мы вынимаем букву из ящика, записываем её, затем возвращаем в ящик, перемешиваем буквы, снова вынимаем букву, снова записываем (приписывая её к уже имеющемуся тексту), снова возвращаем, снова перемешиваем, снова вынимаем и т. д. Мы получим что-нибудь вроде

СУХЕРРОБЬДЩ ЯЫХВЩИЮАЙЖТЛФВНЗАГФОЕНВШТЦР ПХГБКУЧТЖЮРЯПЧЬКЙХРЫС.

Про этот текст можно сказать лишь, что он составлен из русских букв. Но на русскую письменную речь не похож: мы говорим, конечно, не об осмысленности (где уж!), а лишь о внешней похожести.

Дело в том, что в нашем эксперименте все буквы были равновероятны и потому в полученном тексте встречались с примерно одинаковыми частотами. В реальных же русских письменных текстах пробел и различные буквы встречаются с различными частотами* и потому ожидаются с различными вероятностями. Это, конечно, всем известный факт. Менее известен (хотя и очевиден) и потому будет сейчас воспроизведён следующий эффект: при учёте всё более и более глубоких статистических закономерностей, имеющихся в реальных текстах, экспериментальный искусственный текст делается всё более и более похожим на «настоящий». Тот искусственный текст, который мы получили, можно назвать приближением нулевого порядка к реальному тексту: здесь учитывается лишь состав алфавита и ноль статистических характеристик.

* Таблица таких частот приведена в [Ягл 73], на с. 238. Сообщим сведения о 3 чемпионах и 3 аутсайдерах этой таблицы, указав для каждой из этих 6 букв, сколько имеется (в среднем!) её появлений на каждую тысячу букв текста. Первые три места занимают пробел, о и е/ё, имеющие, соответственно, 175, 90 и 72 появления на тысячу. Замыкают таблицу буквы щ, э и ф, имеющие, соответственно, 3, 3 и 2 появления на тысячу. Тут надо ясно отдавать себе отчёт в следующем. Говоря о частотах букв в русских текстах, имеют в виду частоты, вычисленные для большого корпуса разнообразных достаточно длинных текстов. Дело в том, что в отдельно взятом тексте могут наблюдаться значительные отклонения от средней нормы: такие отклонения может дать как текст специального содержания ввиду обилия специальных терминов, так и поэтический текст ввиду аллитераций и ассонансов.

5.5.2. Первое приближение. При приближении первого порядка учитываются частоты каждой из букв; иными словами, теперь требуется, чтобы в экспериментально потроенном искусственном тексте буквы встречались с такими же (в идеале*) частотами, как и в реальных текстах. Тогда мы получаем, например, такой текст:

ЕЫНТ ЦИЯЬА ОЕРВ ОДНГ ЬУЕМЛОЛИЙК ЗБЯ ЕНВТША.

Он уже более похож на настоящий: и длина слов нормальная, и нет того чудовищного преобладания согласных, как в тексте нулевого приближения.

* Слова “в идеале” отражают философское различие между частотой и вероятностью. Частоты букв, встречающихся в реальных (и притом непременно длинных) текстах, приводят к возникающей в мозгу математика концепции о вероятностях этих букв; в качестве таковых берутся соответствующие частоты. Затем эти вероятности закладываются в схему эксперимента по созданию искусственного текста. После чего можно с высокой достоверностью надеяться, что частоты букв в экспериментально созданном искусственном тексте будут близки к указанным вероятностям.

5.5.3. Второе приближение. Приближение первого порядка не учитывает частот диграмм, т. е. сочетаний двух последовательно идущих букв. В приведённом тексте, например, встречаются диграммы ЯЬ, ЬА и ЬУ, частота которых в реальных текстах равна нулю*. Учёт частот диграмм приводит к приближению второго порядка:

УМАРОНО КАЧ ВСВАННЫЙ РОСЯ НЫХ КОВКРОВ НЕДАРЕ.

* Впрочем, парадоксальное буквосочетание ЬУ встречается в слове ТВЕРЬУНИВЕРСАЛБАНК. Не потому ли этот банк встретился, как известно, с большими трудностями? (Рискуя показаться занудами, заметим: "Нет, не потому!" - V.V.)

5.5.4. Третье приближение, или приближение третьего порядка, учитывает частоты триграмм, то есть здесь трёхбуквенные сочетания должны встречаться примерно с теми же частотами, что и в реальных текстах:

ПОКАК ПОТ ДУРНОСКАКА НАКОНЕПНО ЗНЕ СТВОЛОВИЛ СЕ ТВОЙ ОБНИЛЬ.

5.5.5. Четвёртое приближение, или приближение четвёртого порядка, учитывает частоты тетраграмм:

ВЕСЕЛ ВРАТЬСЯ НЕ СУХОМ И НЕПО И КОРКО.

5.5.6. Другие примеры. Все эти примеры приближений, от нулевого до четвёртого, взяты нами из книги бр. Ягломов [Ягл 73], гл. IV, § 3, с. 2З7–244*. Другие примеры предлагает Р. Л. Добрушин в подстрочных примечаниях на с. 254–255 вышедшего под его редакцией сборника переводов статей Шеннона [Шен 63]. Вот они (здесь уже все русские буквы различаются, т. е. никакие разные буквы алфавита не трактуются как “одна и та же буква”; пробел по-прежнему считается особой буквой; так что всех букв теперь 34).

*В свою очередь, Ягломы указывают в сноске на с. 240, что эти примеры, начиная с приближения первого порядка, заимствованы ими из статьи [Добр 61]. Однако обращение к [Добр 61], с. 47–48, показывает, что примеры Добрушина значительно, иногда до неузнаваемости, отредактированы Ягломами. Последних, впрочем, можно оправдать, потому что Добрушин на с. 47 явно запутывается в количестве букв (а тем самым, видимо, и в составе) русского алфавита. Ещё более ранняя редакция рассматриваемых примеров приведена в совместной статье Добрушина и Ягломов [Ягл 60].

Нулевое приближение:

ФЮНАЩРЪФЬНШЦЖЫКАПМЪНИЯПЩМНЖЮЧГПМ ЮЮВСТШЖЕЩЭЮКЯПЛЧНЦШФОМЁЦЁЭДФБКТТР МЮЁТ.

Первое приближение:

ИВЯЫДТАОАДПИ САНЫАЦУЯСДУДЯЪЛЛЯ Л ПРЕЬЕ БАЕОВД ХНЕ АОЛЕТЛС И.

Второе приближение:

ОТЕ ДОСТОРО ННЕДИЯРИТКРИЯ ПРНОПРОСЕБЫ НРЕТ ОСКАЛАСИВИ ОМ Р ВШЕРГУ П.

Третье приближение:

ВОЗДРУНИТЕЛЫБКОТОРОЧЕНЯЛ МЕСЛОСТОЧЕМ МИ ДО.

5.6. При чём тут литературоведение? - спросит критически настроенный читатель. В лучшем случае, скажет он, эти дурноскаки и меслосточемы могут иметь какое-то отношение к строению языка, но не к литературе.

Во-первых, ответим мы, приведённые экспериментальные тексты не хуже некоторых, имеющих славу авангардных. Имеем что ответить и во-вторых, уже более серьёзно. Мы видим, что с увеличением порядка приближения наши искусственные фразы делаются всё более и более похожими на настоящие. А порядок приближения - это не что иное как длина тех буквосочетаний, частоты которых учитываются. Если взять приближение достаточно высокого порядка, то экспериментальные фразы уже будут состоять только из реальных словоформ. А при ещё более высоких порядках - даже из реальных сочетаний словоформ по две, по три и т. д.

Но это всё ещё языко-, а не литературоведение, возразит скептический читатель. Да, согласимся мы, это будет языковедение - но лишь в том простейшем случае, если частоты букв и буквосочетаний берутся из всего корпуса русского или какого-либо иного языка. Но ведь всю описанную процедуру вычисления частот по реальным текстам и затем построения, на основе полученных частот, текстов экспериментальных, можно применить, скажем, к языку Гоголя. Тогда, при приближении достаточно высокого порядка, экспериментальный текст будет состоять лишь из словоформ, употреблённых Гоголем, причём словоформы в экспериментальном тексте будут встречаться с теми же частотами, как у подлинного Гоголя. Мы получим если не прямо гоголевский, то гоголеподобный текст. При приближениях около сотого порядка и выше* мы будем получать уже целые гоголевские фразы. Пример опубликованного в НЛО, а потому заведомо подпадающего под юрисдикцию литературоведения текста, составленного из гоголевских фраз, даёт известное сочинение Михаила Вайскопфа [Вай].

* Разумеется, мы оставляем в стороне вопрос о практической возможности подсчёта частот сто- и болеебуквенных сочетаний.

5.7. Что происходит, если учитывать частоты слов и их сочетаний. Можно составлять экспериментальный текст не из букв, а сразу из слов (т. е. из словоформ). Естественно, при этом возникает ещё бОльшая похожесть на подлинный облик русского текста. Тут также возможны приближения разных порядков:

Первое приближение на уровне слов, учитывающее частоты отдельных слов:

СВОБОДОЙ ДУШЕ ПРОТЯНУЛ КАК ГОВОРИТ ВСПОМНИТЬ МИЛОСТЬ КОМНАТАМ РАССКАЗА ЖЕНЩИНЫ МНЕ ТУДА ПОНЮХАВШЕГО КОНЦУ ИСКУСНО КАЖДОМУ РЯСАХ К ДРУГ ПЕРЕРЕЗАЛО ВИДНО ВСЕМ НАЧИНАЕТ НАД ДВУХ ЭТО СВЕТА ХОДУНОМ ЗЕЛЁНАЯ МУХА ЗВУК ОН БЫ ШЕЮ УТЁР БЕЗДАРНЫХ.

Второе приближение, учитывающее частоты сочетаний из двух соседних слов:

ОБЩЕСТВО ИМЕЛО ВЫРАЖЕНИЕ МГНОВЕННОГО ОРУДИЯ К ДОСТИЖЕНИЮ ДОЛЖНОСТЕЙ ОДИН В РАСЧЁТЫ НА БЕЗНРАВСТВЕННОСТИ В ПОЭЗИИ РЕЗВИТЬСЯ ВСЕ ГРЫЗЁТ СВОИ БРАЗДЫ ПРАВЛЕНИЯ НАЧАЛА ЕГО ПОШЛОЙ.

Оба эти примера предложены Р. Л. Добрушиным в сноске на с. 255 сборника [Шен 63]. А вот приближение второго порядка на уровне слов, предложенное самим Шенноном - разумеется, не для русского, а для английского языка (см. [Шен 63], с. 254):

THE HEAD AND IN FRONTAL ATTACK ON AN ENGLISH WRITER THAT THE CHARACTER OF THIS POINT IS THE BEFORE ANOTHER METHOD FOR THE LETTERS THAT THE TIME OF WHO EVER TOLD THE PROBLEM FOR AN UNEXPECTED.

Если же в эксперименте искусственный текст составляется из готовых фраз, выбранных из реального текста, то получится эффект, достигнутый в упоминавшейся уже публикации [Вай]. Названное сочинение можно рассматривать как приближение нулевого порядка на уровне фраз к текстам Гоголя. Разумеется, приближения более высокого порядка на уровне фраз рассматривать бессмысленно, постольку поскольку бесмысленно искать у Гоголя повторяющиеся фразы.

5.8. Энтропия языка.

5.8.1. Предварение. Колмогоров учил, что статьи для энциклопедии надо писать так. В минимальном случае статья исчерпывается дефиницией*. Если же автору статьи дают ещё место, то сразу после дефиниции нужно написать несколько фраз, доступных человеку с начальным образованием. Если допустимый объём исчерпан, этим и следует ограничиться. Если же объём позволяет, надо написать абзац, требующий уже семиклассного образования, затем - десятиклассного. Если статья достаточно большая, можно перейти к сюжетам, предполагающим образование высшее, а в конце - даже требующим специальных знаний. Наконец, при очень большом объёме и в самом конце автор в качестве премии самому себе может поместить текст, который понимает он один.

* Как известно, энциклопедическая статья начинается с названия статьи, за которым идёт тире, затем дефиниция и затем точка; дефиницией как раз и называется текст, расположеный между сопровождающим заглавное слово тире и ближайшей точкой.

Руководствуясь этими указаниями, мы отнесли в последние рубрики этого параграфа обсуждение понятия энтропии. Мы надеемся, что этот текст будет понятен не только его автору и даже не потребует высшего образования - но только некоторого терпения и, главное, желания понять.

Термин энтропия встречается в рубрике 3.6, в примечаниях к ней, а также в библиографии. Вкратце он был объяснён выше. Мы собираемся поступить с этим термином так, как, по слухам, поступил с термином “электрон” один из основателей квантовой механики английский физик Поль Дирак. Рассказывают, что приехав в Москву и читая лекцию в Политехническом музее, он сказал: “Поскольку никто не знает, что такое электрон, мы будем изучать, как он движется”. Вот и мы не будем определять, что такое энтропия языка (хотя, в отличие от Дирака, не утверждаем, что этого никто не знает), а ограничимся выводами, вытекающими из сущности этого понятия.

О самой же сущности мы, по крайней мере на первых порах, ограничимся тем, что уже было сказано: энтропия - это численная мера гибкости языка, она отражает количество возможных вариантов текста с учётом вероятностей этих вариантов. Итак, энтропия языка - это, прежде всего, положительное число.

5.8.2. Свойства энтропии. Как мы объявили заранее, мы не будем давать понятию энтропии определения, но укажем его наглядные свойства. Таких свойства мы укажем три (на самом деле, они вытекают друг из друга, но это уже чистая математика, вдаваться в которую мы не будем).

Первое свойство энтропии. Пусть энтропия языка равна H. Тогда существует примерно 2Hk текстов длины k, принадлежащих данному языку. Отсюда следует, что чем более узкий корпус текстов мы соотносим с представлением о языке, тем меньше будет энтропия языка; так, если взять энтропию языка русской художественной литературы или энтропию языка русского ямба, то каждая из них будет меньше энтропии русского языка в целом.

Второе свойство энтропии. Тексты можно закодировать, используя всего два каких-либо символа, наподобие того, как это делается в компьютерах с помощью нулей и единиц. Разумеется, кодировать надо так, чтобы исходный текст можно было восстановить по его коду. При этом, скорее всего, произойдёт удлинение текста (если не сделать оговорки о возможности декодирования, можно было бы, напротив, добиться укорочения текста, закодировав все тексты одним символом). Кодирование разумно производить так, чтобы указанное удлинение было бы - в среднем - как можно более маленьким (для этого следует частые тексты кодировать короткими цепочками, составленными из применяемых двух символов, а более длинные цепочки использовать для кодирования более редких текстов). Такой способ кодирования, при котором достигается минимальное, в среднем, удлинение, называется оптимальным. Так вот, если энтропия языка равна H, то при оптимальном способе кодирования каждый текст языка удлинится в среднем в H раз.

Третье свойство энтропии имеет смысл в предположении, что каждому тексту языка приписана определённая вероятность - вероятность того события, что среди всех мыслимых текстов данной длины на свет появится именно рассматриваемый текст. Так вот, если энтропия языка равна H, то для подавляющего большинства текстов длины k эта вероятность равна 2–Hk.

Обращаем внимание читателя на выражения “примерно”, “в среднем”, “для подавляющего большинства”. Чтобы уточнить их, пришлось бы прибегнуть к громоздким математическим формулировкам. Нашему читателю достаточно принять во внимание, что три только что приведённые утверждения о свойствах энтропии выполняются тем точнее, чем больше длина тех текстов, к которым эти утверждения применяются.

5.8.3. Энтропия русского языка. Приведённая в конце n° 5.2 оценка 100,4k для количества русских текстов длины k, предложенная Колмогоровым, показывает (как дают несложные подсчёты), что он исходил из числа 1,33 в качестве значения для энтропии русского языка.

Шеннон указывает, что энтропия английского языка лежит приблизительно в пределах от 0,6 до 1,3 (см. [Шен 51], § 5, а также [Ягл 73], с. 253–256, где приведены сведения и для других языков).

Напомним читателю, если он забыл это из школьного курса, что двоичный логарифм, или логарифм по основанию два, числа N есть такое число log₂N, что 2^logN = N. (Так что взятие двоичного логарифма есть операция, обратная к возведению в степень двойки. А смысл возведения двойки в степень k весьма нагляден для того случая, когда k есть целое неотрицательное число: 2k есть количество всевозможных цепочек длины k, составленных из каких-либо двух фиксированных символов: из букв a и b, или из нуля и единицы, или из плюса и минуса и т. п. Если же x - произвольное число, расположенное между целыми неотрицательными числами k и k+1, то число 2x расположено где-то между числами 2k и 2k+1.) Колмогоров писал:

Вполне естественным является чисто комбинаторный подход к понятию «энтропии речи»*, если иметь в виду оценку «гибкости» речи - показателя разветвлённости возможностей продолжения речи при данном словаре и данных правилах построения фраз. Для двоичного логарифма числа N русских печатных текстов, составленных из слов, включённых в Словарь русского языка С. И. Ожегова и подчинённых лишь требованиям «грамматической правильности», длины n, выраженной в «числе знаков» (включая «пробелы»), М. Ратнер и Н. Светлова получили оценку h = 1,9 ± 0,1. Это значительно больше, чем оценки сверху для «энтропии литературных текстов», получаемые при помощи различных методов «угадывания продолжений». Такое расхождение вполне естественно, так как литературные тексты подчинены не только требованию «грамматической правильности». [Колм 65т], с. 4, или [Колм 87], с. 214–215.

* Под “чисто комбинаторным” разумеется подход, основанный лишь на статистистических характеристиках текста, без привлечения вероятностной модели.

5.8.4. Энтропия различных вариантов русского языка. Неудивительно, что величина энтропии для русского (да и для любого иного) языка зависит от того смысла, который вкладывается в само слово “язык”. При определении энтропии язык понимается как некоторая совокупность текстов. Именно такое понимание нужно для формулировки трёх свойств энтропии. Из первого свойства вытекает, что чем больше совокупность допустимых текстов заданной длины, тем больше и энтропия. При наиболее широком, пожалуй, понимании, русский язык понимается как корпус всех текстов, составленных из реальных русских словоформ по правилам русской грамматики. Мы получим ощутимое сужение корпуса допустимых текстов и - тем самым - уменьшение величины энтропии, если от произвольных русских текстов перейдём к литературным русским текстам, то есть от русского языка в полном объёме к литературному русскому языку. И дальнейшие сужение и уменьшение, если перейдём, скажем, к языку Гоголя или языку Чехова. Или к языку русского ямба (точнее, к литературному языку русского ямба, потому что возможны русские тексты, являющиеся ямбическими, но не являющиеся литературными). Все эти более частные (по сравнению с русским языком в его полном объёме) языки можно было называть подъязыками русского языка.

Одно важное обстоятельство требует высвечивания. Оно состоит в том, что тексты рассматриваются в своём потенциальном, а не актуальном качестве. Вот что это значит. Когда мы говорим о русских текстах, мы имеем в виду не только те реально существующие к настоящему времени тексты на русском языке, но также и те, которые могут быть составлены. Первые называются актуальными, вторые - потенциальными. Сказанное в полной мере справедливо и в отношении, скажем, литературных (т. е. написанных литературным языком) или ямбических текстов. Именно при таком взгляде на вещи будут иметь место три свойства энтропии, указанные в n° 5.8.2.

На первый взгляд кажется, что изложенную точку зрения невозможно применить к языку Гоголя или языку Чехова. Ведь язык того или иного писателя, понимаемый как совокупность текстов, исчерпывается академическим собранием его сочинений и потому состоит из одних только актуальных текстов. Но мыслим и более широкий подход, согласно которому Девятая повесть «Вечеров на хуторе близ Диканьки» [Вай] написана языком Гоголя, хотя у Гоголя такой повести и нет. Текст [Вай] - это пример потенциального гоголевского текста. Впрочем, этот пример не слишком показателен, поскольку состоит из готовых «актуально гоголевских» (т. е. созданных самим Гоголем) фраз. Под гоголевским текстом, в потенциальном смысле, понимается любой «гоголеподобный» текст, т.е текст, составленный из характерных для Гоголя слов путём применения характерных для Гоголя синтаксических конструкций. При таком, широком понимании и становится возможным говорить об энтропии языка Пушкина, языка Гоголя, языка Толстого, языка Чехова.

Краткое обсуждение того, как понятие энтропии и тесно с ним связанное понятие избыточности применяется при анализе литературных текстов (в частности, переводов - «Илиады» и Евангелия от Матфея), содержится на с. 269–272 монографии [Ягл 73]; там же приводится и соответствующая литература.

Труднее оценить комбинаторную энтропию текстов, подчинённых определённым содержательным ограничениям. Представляло бы, например, интерес оценить энтропию русских текстов, могущих рассматриваться как достаточно точные по содержанию переводы заданного иноязычного текста. Только наличие такой «остаточной энтропии»* делает возможным стихотворные переводы, где «затраты энтропии» на следование избранному метру и характеру рифмовки могут быть довольно точно подсчитаны. Можно показать, что классический русский рифмованный ямб с некоторыми естественными ограничениями на частоту «переносов» и т. п. требует допущения свободы обращения со словесным материалом, характеризуемой «остаточной энтропией» порядка 0,4 (при указанном выше условном способе измерения длины текста по «числу знаков, включая пробелы»)**. Если учесть, с другой стороны, что стилистические ограничения жанра, вероятно, снижают приведённую выше оценку «полной» энтропии с 1,9 до не более чем 1,1–1,2, то ситуация становится примечательной как в случае перевода, так и в случае оригинального поэтического творчества***.

Да простят мне утилитарно настроенные читатели**** этот пример. В оправдание замечу, что более широкая проблема оценки количества информации, с которым имеет дело творческая человеческая деятельность, имеет очень большое значение.[Колм 65т], с. 4–5, или [Колм 87], с. 215.

* Колмогоров нигде не разъясняет, что такое “остаточная энтропия”, полагая, как это вообще типично для него, что из контекста должно быть ясно, что он хочет сказать. На качественном уровне остаточную энтропию следует понимать как числовую характеристику той гибкости языка, которая всё ещё остаётся после того, как на текст наложены жёсткие ограничения, связанные с его содержанием (см. последнюю цитату в n° 3.2). Таких ограничений требует, в частности, ситуация перевода. Остающаяся гибкость языка означает не что иное, как возможность многих вариантов с одним и тем же или почти одним и тем же содержанием, что и делает возможным выбрать из этих вариантов тот, который помимо ограничений содержания подчиняется ещё и ограничениям формы - например, заданному стихотворному метру. Коль скоро речь идёт о стихотворных переводах, следует заметить, что само понятие ‘перевод’ необходимо должно мыслиться весьма широко, с допущением переводов не слишком точных: усиление требований к форме неизбежно приводит к ослаблению требований к содержанию.

На математическом уровне можно предложить следующее понимание термина “остаточная энтропия”. Пусть каждое предложение иностранного - скажем, английского - языка можно перевести на русский язык n способами. В предыдущей фразе содержится значительное огрубление ситуации, поскольку в действительности различные предложения можно перевести различным количеством способов. Но мы пойдём дальше и допустим ещё бОльшую идеализацию, приняв, что все русские переводы всех английских предложений состоят из одного и того же количества букв. Подобные огрубления, или идеализации, не слишком страшны, потому что они отражают вполне разумные представления о среднем числе переводов, приходящихся на одно предложение в достаточно длинном английском тексте и о среднем числе русских букв, приходящихся на один перевод. Итак, примем изложенную модель. Тогда текст, скажем, из ста предложений будет иметь n100 переводов. Остаточная энтропия - в том контексте, как она фигурирует в приведённой цитате из Колмогорова - есть двоичный логарифм числа переводов исходного текста, поделённый на длину любого из этих переводов (понимаемую как число содержащихся в нём печатных знаков). При сделанных идеализирующих допущениях это число постоянно для всех исходных английских текстов. Иными словами, если остаточная энтропия равна h, то количество русских текстов длины k, являющихся переводами данного английского текста, равно примерно 2^hk.

** “Свобода обращения со словесным материалом”, о которой здесь говорится, означает, что для каждого исходного текста должно иметься достаточно обширное собрание вариантов его перевода - а именно, настолько обширное, чтобы из этого собрания мог быть выбран перевод, обладающий требуемой стихотворной формой. Как было разъяснено в предыдущем примечании, количество переводов данного текста характеризуется остаточной энтропией и оно тем больше, чем больше численное значение остаточной энтропии. Поэтому для того, чтобы стихотворный перевод был возможен, это значение должно быть больше некоторого числа - в данном случае больше, чем 0,4.

Попробуем пояснить смысл величины 0,4. Мы рассматриваем параллельно два языка: русский язык в его полном объёме и ограниченный русский язык, являющийся подъязыком предыдущего и состоящий из русских текстов, удовлетворяющих некоторым жёстко фиксированным требованиям к форме; в комментируемой цитате из Колмогорова эти требования к форме состоят в том, что рассматривается “классический четырёхстопный рифмованный ямб с некоторыми естествеными ограничениями на частоту «переносов» и т. п.” Тексты, удовлетворяющие принятым требованиям, будем называть допустимыми, так что термин “допустимый текст” вводится ad hoc и при других требованиях будет означать совсем другое. Пусть энтропия первого языка есть A, энтропия второго языка есть B, так что примерное количество текстов длины k в первом языке есть 2^Ak, а во втором языке есть 2^Bk. Очевидно, A > B, так что A = B + a, или B = A – a, где a > 0. Эта величина a характеризует ту долю, которую среди всех русских текстов данной длины занимают тексты допустимые: для текстов длины k вторых в 2^ak раз меньше, чем первых. Делается допущение, что эта доля не зависит от содержания текстов. А тогда она должна быть такой же для ситуации, в которой рассмотрение ограничивается текстами, являющимися переводами заданного иноязычного текста. Иными словами, если для данного исходного текста имеется N русских переводов длины k, то допустимых переводов (т. е. переводов, являющихся допустимыми текстами) должно быть в 2^ak раз меньше. Поэтому в случае, если 2^ak > N, допустимых переводов не будет вовсе. Значит, чтобы допустимые переводы существовали, должно быть N і 2^ak. А это последнее неравенство равносильно такому: h і a, где h - остаточная энтропия (ведь, как указано в последней фразе предыдущего примечания, N = 2^ak). Итак, выполнение условия h і a необходимо для того, чтобы перевод, удовлетворяющий желаемым требованиям формы, был возможен. Для обсуждаемых требований (четырёхстопный рифмованный ямб с некоторыми ограничениями) значение параметра a есть, по мнению Колмогорова, 0,4. (Так что количество текстов длины k, подчинённых этим требованиям, в 2^0,4k раз меньше, чем количество всех текстов длины k.) Разумеется, все приводимые здесь (как и в аналогичных местах нашего изложения) числа (N, 2^ak и прочие) не следует понимать слишком буквально. Точные количества и доли вообще не могут быть точно определены. Числа эти, здесь и в аналогичных местах, надо воспринимать как не более чем способ математического моделирования реальной ситуации.

*** По-видимому, под примечательностью Колмогоров разумеет здесь возрастание ожидающих поэта трудностей. Вспомним обозначения предыдущего примечания. Колмогоров говорит об уменьшении, вследствие стилистических ограничений, величины A с 1,9 до не более чем 1,1–1,2; вместе с A уменьшается и характеризуемый этой величиной запас текстов. Если считать величину a, выражающую требования к форме, постоянной, то столь резкое уменьшение величины A приводит к тому, что становится ощутимо труднее выбрать из всех текстов те, которые удовлетворяют указанным требованиям.

**** Надобно принять во внимание традиционный круг читателей того журнала, в котором была опубликована колмогоровская статья.

5.9. Колмогоровская сложность. Cтатья [Колм 65т], которую мы дважды цитировали в нашей предущей рубрике 5.8, весьма знаменита: она положила начало новой математической области - теории колмогоровской сложности. То, что вещи подразделяются не только на большие и маленькие, но ещё и на простые и сложные, было и есть ясно всем. Колмогоров был первым, кто предложил мерить сложность вещи числом и указал способ такого измерения: сложность вещи есть длина наиболее короткого её описания. Как и все гениальные формулировки, эта формулировка кажется очевидной - но лишь после, а никак не до её провозглашения. Разумеется, здесь требуются математические уточнения, которые мы опускаем. Создание теории сложности объектов было последним крупным математическим достижением Колмогорова. Как сказал Пастернак, “...нельзя не впасть к концу, как в ересь, в неслыханную простоту. Но мы пощажены не будем, когда её не утаим. Она всего нужнее людям, но сложное понятней им”.

В качестве объектов, сложность которых подлежит установлению, могут рассматриваться, в частности, тексты. “...Такие величины, как «сложность» текста романа «Война и мир», можно считать определёнными с практической однозначностью” ([Колм 65т], с. 10, или [Колм 87], с. 222).

Ясно, что длина описания может существенно зависеть от того объёма знаний, которые разрешается использовать при составлении описания. Поэтому важное место в теории Колмогорова занимает представление об условной сложности при тех или иных исходных данных - это есть сложность, вычисленная при условии, что указанные данные уже известны и могут быть использованы при составлении описаний. Очевидно, что условная сложность чего бы то ни было не может быть больше абсолютной (т. е. не условной) сложности того же самого. Можно, для примера, сравнить бОльшую абсолютную сложность текста «Войны и мира» как текста русского языка и его меньшую условную сложность при условии, что заранее известно, что текст написан Львом Толстым, т. е. принадлежит языку Толстого.

В применении к текстам приобретает смысл понятие удельной сложности. Удельная сложность текста есть его сложность как целого, поделённая на длину текста (это, так сказать, сложность, приходящаяся в среднем на один знак). Оказывается, что для длинных текстов их удельная сложность не превосходит энтропии того языка, на котором эти тексты написаны*. Оценивание, о котором идёт речь в приводимой ниже цитате, как раз и представляет собою оценивание сверху удельной условной сложности с помощью энтропии**, вычисляемой, в свою очередь, методом угадывания продолжений.

* Сказанное не вполне точно. На самом деле удельная сложность не превосходит суммы энтропии с некоторой добавкой, которая стремится к нулю при увеличении длины текста.

** Читатель, следящий за аккуратностью нашего изложения с вниманием бОльшим, нежели мы смеем расчитывать, может испытать здесь некоторое затруднение. В самом деле, если удельная сложность оценивается сверху энтропией, то удельная условная сложность должна оцениваться сверху условной энтропией (а не просто энтропией). Так оно и есть. Но дело в том, что условная энтропия “при заданном запасе «априорной информации»”, о котором говорит Колмогоров, совпадает с обыкновенной (т. е. абсолютной, не условной) энтропией того подъязыка, который как раз и выделяется из русского языка в целом этой “априорной информацией”. Она, эта энтропия, и вычисляется экспериментально, методом угадывания.

Эксперименты по угадыванию продолжений литературных текстов позволяют оценить сверху [удельную] условную сложность при заданном запасе «априорной информации» (о языке, стиле, содержании текста), которой располагает угадывающий. В опытах, проводившихся на кафедре теории вероятностей Московского гос. ун-та, такие оценки сверху колебались между 0,9 и 1,4. Оценки порядка 0,9–1,1, получившиеся у Н. Г. Рычковой вызывали у менее удачливых угадчиков разговоры о её телепатической связи с авторами текстов. [Колм 65т], с. 10, или [Колм 87], с. 222.

§ 6. Колмогоров и кибернетика.

6.1. Кибернетика и филология. Стиховедческие штудии Колмогорова лежат в пересечении двух сфер его интересов. Первая сфера - это его постоянные гуманитарные интересы. Вторую образует появившаяся в пятидесятых годах его заинтересованность идеями кибернетики. Как великий учёный (именно великий учёный, а не просто великий математик) Колмогоров не мог не заинтересоваться этими идеями в силу их глубины и необычайно широкого диапазона применимости. Является ли кибернетика самостоятельной наукой, вопрос спорный. В своей статье [Колм 58] в БСЭ-2 Колмогоров определяет кибернетику как “научное направление”*. В нашем отечестве кибернетика быстро приобрела черты неформального общественного движения (подобно тому, как не только литературным направлением, но и движением был в России футуризм; не берусь судить, является ли превращение научных и литературных направлений в общественные движения чертой общей или специфически российской). Это движение захватывало и гуманитарную науку, в частности, филологию. Математическая лингвистика, математизированное литературоведение, а с ними вместе структурная лингвистика и структурное литературоведение, ещё вчера невозможные по идеологическим причинам, и участниками движения, и властями воспринимались как часть кибернетики и если получали право на жизнь, то под её флагом.

* А ещё раньше, 19 декабря 1956 г., в разговоре со мной Колмогоров заявил, что основные достижения кибернетики лежат вне кибернетики и что кибернетика есть не наука, а научное течение.

Гуманитарная наука в России и, прежде всего, филология должна быть чрезвычайно благодарна кибернетике. Во времена так называемого тоталитарного режима под прикрытием кибернетики, за её поддержанной военно-промышленным комплексом спиной осуществлялись исследования и мероприятия, которые без этой спины были бы в условиях названного режима совершенно немыслимы. Сюда относится всё, что происходило в области семиотики.

Саму семиотику многие склонны были считать разделом кибернетики, и когда в 1960 г. ожидалось открытие в Москве Института кибернетики (я пишу о связанных с этим перипетиях в [Усп 92], § 9), в нём планировался большой отдел или даже отделение семиотики. (Намечавшийся на должность директора А.А. Марков младший предложил должность своего заместителя по вопросам семиотики Вяч.В. Иванову и мне, на наш выбор; на антресолях старого здания ЦДЛ мы бросили жребий; жребий пал на Иванова.)

Знаменитый Симпозиум по семиотике (полное название - «Симпозиум по структурному изучению знаковых систем»), проходивший в Москве с 19 по 26 декабря 1962 г., не смог бы состояться, не будь он поддержан не менее знаменитым Советом по кибернетике (полное название - «Научный совет по комплексной проблеме „Кибернетика“ при Президиуме Академии наук СССР»), возглавляемым трёхзвёздным* адмиралом Акселем Ивановичем Бергом, в прошлом (с сентября 1953 г. по май 1956 г.**) заместителем Министра обороны СССР. “Кибернетические представления” упоминаются во второй, а Совет по кибернетике - в последней фразе*** «Предисловия», помещённого на с. 3–8 сборника [СиСИЗС] тезисов Симпозиума. И хотя в надзаголовочных данных этого сборника стоит только Институт славяноведения, в выпущенном к Симпозиуму типографском пригласительном билете наряду с этим институтом указан также и Совет по кибернетике****. Кибернетические издания нередко служили местом публикации филологических статей - особенно если последние принадлежали к математической филологии, как, например, [Кон 63т]*****.

*  Для инженерно-корабельной службы, к которой принадлежал Берг, максимальное возможное число адмиральских звёзд как раз и было три.

** Отставка с должности была вызвана тяжёлым инфарктом, случившимся в июне 1956 г.

*** Эта последняя фраза начиналась так: “Сектор структурной типологии славянских языков Института славяноведения АН СССР, организующий симпозиум совместно с лингвистической секцией Научного совета по кибернетике АН СССР <...>”. Заведующим названным сектором был тогда Вл. Н. Топоров; председателем названной секции был Вяч.В. Иванов.

****  А ещё к Симпозиуму была выпущена программа. Она была изготовлена уже не типографски, а средствами «малой полиграфии» - что-то вроде синьки, только фиолетового цвета. В надзаголовочных данных указаны те же два академических учреждения, что и в пригласительном билете, но Институт славяноведения детализирован: при нём стоит: СЕКТОР СТРУКТУРНОЙ ТИПОЛОГИИ. Вот примечательная фраза из этой программы: “Вход только по пригласительным билетам”. Вспомним, что многие издания, кажущиеся сейчас совершенно невинными, издавались в советское время с грифом “Для научных библиотек” и в свободное обращение не поступали.

***** В этой статье слова (понимаемые как словоформы) классифицируются по 31 ритмическому виду; вид слова полностью определяется количеством слогов и местом ударения. Если заменить в речи каждое слово его ритмическим видом, речь предстанет как цепочка ритмических видов. В статье приводятся значения энтропии для таких цепочек, соответствующих различным типам текстов (в частности, различным авторам).

Как известно, кибернетика - в том понимании, как это было впервые сформулировано Норбертом Винером в его одноимённой книге 1948 г. - в СССР до хрущёвской оттепели прочно ходила в буржуазных лженауках, да ещё и числилась состоящей на службе у англо-американской военщины. Тот факт, что военная мощь потенциального противника опирается на лженауку, почему-то не вызывал должного удовлетворения у советских властей. Первой ласточкой, возвестившей возможность говорить о кибернетике без ругательных ярлыков, была статья С. Л. Соболева, А. И. Китова, А.А. Ляпунова (первый и третий - математики, второй - инженер) «Основные черты кибернетики» в 4-м номере «Вопросов философии» за 1955 г.

6.2. Роль Колмогорова. Роль Колмогорова в становлении и развитии кибернетики в нашем отечестве заслуживает отдельного изложения, для которого НЛО не самое подходящее место. Здесь мы ограничимся кратким перечнем некоторых формальных моментов.

На заре кибернетики в СССР Колмогоров проявляет значительную активность в этой области. Так, он пишет статью «Кибернетика» для 51-го, дополнительного тома Большой советской энциклопедии*, подписанного к печати 28 апреля 1958 г. Он также пишет предисловие к русскому переводу книги Эшби «Введение в кибернетику», вышедшему в 1959 г. Наконец, помимо докладов перед математической аудиторией Колмогоров делает несколько прогремевших на всю Москву выступлений для широкой публики на общекибернетические сюжеты.

* Колмогоров написал для того же тома и статью «Информация». Как мне рассказывал Колмогоров, компетентное ведомство, курирующее оборот информации в нашем государстве, обратило внимание на наличие статьи с таким заглавием, что привело к задержке выхода тома. Вообще, этот том мог бы служить предметом интересного исследования. Прежде всего следовало бы произвести классификацию причин, по которой та или иная статья появилась именно в дополнительном томе, а не в основных томах. Например, статьи «Бирманская литература» и «Вьетнамская литература» обязаны своим появлением повышением государственного статуса соответствующих тем. Если включение лишь в дополнительный том статьи «Чечено-Ингушская Автономная Советская Социалистическая Республика» можно, хотя и с натяжкой, объяснить хронологическими причинами (созданная в 1936 г., ЧИАССР была в 1944 г. ликвидирована, а восстановлена лишь в 1957 г., так что могла и не успеть попасть в том на че), то подобная же судьба статей «Чеченцы», «Чеченский язык», «Ингуши», «Ингушский язык» объяснима лишь причинами идеологическими. Мне не удалось поместить в этот том статью «Семиотика»: оказалось, что время для этого тогда ещё не настало. Однако удалось поместить статьи «Синтаксис в логике» и «Семантика в логике», а в последней упомянуть семиотику в следующем контексте: “...С. тесно соприкасается с семиотикой - общей теорией знаковых систем (не смешивать с семиотикой в медицине)”; дело в том, что в томе 38 того же 2-го издания БСЭ статья «Cемиотика» была, но с такой дефиницией: “изучение и оценка проявлений, признаков, симптомов болезней”.

Первым из них было выступление 6 апреля 1961 г., скромно обозначенное как доклад на методологическом семинаре Механико-математического факультета МГУ. Доклад назывался «Автоматы и жизнь» и вызвал огромный наплыв публики: одних только заявок на вход в Главное здание МГУ на Ленинских горах для участия в заседании семинара было несколько сот, и заседание пришлось переносить в Дворец культуры, в просторечии называемый клубом, Московского университета. В докладе впервые в нашей стране была провозглашена на столь авторитетном уровне принципиальная возможность того, что машины могут мыслить, испытывать эмоции, хотеть чего-либо и сами ставить перед собой новые задачи. В выпущенных к докладу тезисах говорилось:

“Дарвиновская теория происхождения видов и павловское объективное изучение высшей нервной деятельности неоднократно изображались как принижающие высшие стремления человека к созданию моральных и эстетических идеалов. Аналогично, в наше время страх перед тем, как бы человек не оказался ничем не лучше «бездушных» автоматов, делается психологическим аргументом в пользу витализма и иррационализма?”. (С ошибкой в дате доклада, тезисы впоследствии были напечатаны: [Колм 61].)

Следующее выступление Колмогорова состоялось 5 января 1962 г. в Центральном Доме литераторов. Там была объявлена дискуссия с обсуждением вышеупомянутого колмогоровского доклада от 6 апреля 1961 г.; имелось в виду, что популярное изложение доклада, выполненное Н. Г. Рычковой, было к этому времени опубликовано журналом «Техника - молодёжи»*. По-видимому, в представлении литераторов автоматы плохо сочетались с жизнью, поэтому в разосланных от ЦДЛ и отпечатанных в типографии «Литературной газеты» приглашениях колмогоровский доклад был назван так: «Автоматика** и жизнь».

*  В редакции журнала Н. Г. Рычкова имела совершенно уникальный статус (зафиксированный, например, в платёжных ведомостях): автор статьи академика Колмогорова.

** Как тут не вспомнить знаменитую (и слишком часто, увы, применимую) формулу: “Плазма или, короче говоря, протоплазма”!
 

11 января 1962 г., московский Политехнический музей. Лекция Колмогорова «Жизнь и мышление как особые формы существования материи». У входа - толпа спрашивающих лишний билет. Слушатели не помещаются в зале, и часть из них сидит на сцене. Всё это напоминает известное по описаниям и фотографиям выступление Маяковского в том же зале.

22 апреля 1964 г., Актовый зал МГУ на Ленинских горах. Лекция Колмогорова «Кибернетика в изучении жизни и мышления». Полуторатысячный зал переполнен. Огромные двустворчатые двери запираются, и толпа ломится в них снаружи. Для неё устраивается трансляция в фойе. Затаив дыхание, слушатели впитывают слова о возможности инопланетной разумной жизни, реализованной в виде распластавшейся на камнях плесени.

В шестидесятые годы в России кибернетика была существенной частью общекультурного фона. Заметную роль здесь сыграли публичные выступления Колмогорова.

6.3. М. К. Поливанов и Вяч.В. Ивaнов. К своей статье «Кибернетика» в БСЭ-2 Колмогоров отнёсся очень ответственно - как, впрочем, он относился ко всем своим обязанностям. Так, 2 апреля 1957 г. он выступает на заседании Московского математического общества с докладом «Что такое кибернетика (к проекту статьи в БСЭ)». Для некоторой помощи в подготовке этой статьи и этого доклада в конце 1956 г. он привлекает меня; речь идёт о поиске и реферировании зарубежной литературы на кибернетические темы. А я призываю в помощь себе двух своих друзей, Иванова и Поливанова (читатель, который проявит интерес, может увидеть их фотографии на вклейках к недавнему изданию солженицынского «Телёнка»: А. Солженицын. Бодался телёнок с дубом. - М: Согласие, 1996.)

С М. К. Поливановым* я был (через наших родителей) знаком ещё со времён довоенных, возраста этак с семилетнего. В сезон 1950/51 г. Поливанов (тогда второкурсник Физического факультета МГУ) познакомил меня (тогда четверокурсника Мехмата) в своём доме со своим другом Вяч. В. Ивановым** (тогда пятикурсником Филологического факультета). Возможно, это было 19 сентября, в день двадцатилетия Поливанова. Сказанное ещё не объясняет возникновения того триединства, о котором упоминает Колмогоров в обозначении адресата своего Второго послания (см. ниже § 7).

* Михаил Константинович Поливанов родился в Москве 19 сентября 1930 г., умер там же 23 января 1992 г., окончил Физический факультет Московского университета в 1954 г. На момент смерти он был заведующим отделом квантовой теории поля Математического института им. Стеклова РАН и - на общественных началах - ректором московского Независимого университета. М. К. Поливанов имел широкие гуманитарные интересы и был знатоком поэзии, в особенности поэзии Пастернака132, с которым был знаком и лично. Впоследствии он сделался связан с Пастернаком и по семейной линии: его кузина Елена Владимировна, урождённая Вальтер, дочь его тётки Леноры Густавовны (см. ниже), вышла замуж за Евгения Борисовича Пастернака, сына поэта.

С рядом представителей российской гуманитарной интеллигенции М. К. Поливанов был связан генеалогически. Младшая из двух старших сестёр его отца Елена Михайловна, урождённая Поливанова (сценический псевдоним «Берсенева»), была замужем за актёром и режиссером Рубеном Николаевичем Симоновым, так что М. К. является кузеном их сына режиссёра Евгения Рубеновича Симонова. Его мать Маргарита Густавовна - младшая из двух дочерей (а старшая - Ленора, см. выше) философа Густава Густавовича Шпета от Марии Александровны, урождённой Крестовоздвиженской (сценический псевдоним «Крестовская»). От второй жены Г. Г. Шпета Наталии Константиновны, урождённой Гучковой, произошла, в числе трёх детей, дочь Татьяна Густавовна, единственным ребёнком которой является балерина Екатерина Сергеевна Максимова, так что М. К. является и её кузеном. (См. в [Шп], с. 330, родословное дерево потомков Г. Г. Шпета по состоянию на 1937 г.) Его дед, также Михаил Константинович, является кузеном лингвиста и полиглота Евгения Дмитриевича Поливанова (о коем см. [Лар]): их отцы Константин Михайлович и Дмитрий Михайлович были братьями - сыновьями Михаила Матвеевича Поливанова (1800–1883).

**  Вячеслав Всеволодович ИвАнов родился в Москве 21 августа 1929 г. Когда я впервые увидел его, он был студентом кафедры английского языка Филологического факультета Московского университета. Впоследствии он был заместителем главного редактора журнала «Вопросы языкознания», руководителем группы математической лингвистики Лаборатории электромоделирования Академии наук, руководителем группы машинного перевода Института точной механики и вычислительной техники Академии наук, председателем Лингвистической секции Совета по кибернетике Академии наук, заведующим сектором структурной типологии славянских языков Института славяноведения Академии наук (сотрудником этого сектора он состоит и поныне), народным депутатом СССР, директором Всесоюзной библиотеки иностранной литературы, председателем секции переводчиков Московской писательской организации, заведующим кафедрой теории и истории мировой культуры Московского университета. Сейчас он является профессором названной кафедры и директором Института мировой культуры Московского университета. Тогда он был просто Комой. Я помню шумное празднование его двадцатипятилетия и свой тост на этом праздновании: “Гордость российской науки и украшение дома! Все от Филей до Кентукки знают ИвАнова Кому! Кто, как Ипатия, мудр? Как Аполлон, златокудр? Это наш общий знакомый, это ИвАнов Кома. Только так и не иначе, в Переделкине, на даче, от восторга чуть не плача, хохоча и гогоча, поздравлять мы будем Вяче|слава ВсеволодычА!” и т. д. А Комина мама Тамара Владимировна объявила звучным голосом: “Когда я рожала Кому, ревела буря и гремел гром. И это был благостный признак!”.

Становлению коллектива из нас троих, объединённого общностью семиотико-кибернетических интересов, способствовал и упомянутый в конце n° 6.2 общекультурный фон, неотделимый от внезапно возникшей относительной свободы слова, и упомянутый в начале n° 3.3 семинар по математической лингвистике, в котором мы с Ивановым были руководителями, а Поливанов - постоянным участником, к тому же поддерживавшим нас эмоционально. Окончательное же, хотя и, разумеется, совершенно неформальное, закрепление нашего тройственного кибернетико-семиотического союза состоялось 13 декабря 1956 г., когда мы выступили на заседании Научного студенческого общества Философского факультета МГУ, посвящённом кибернетике. В то время Психологического факультета ещё не существовало и университеская психология числилась по Философскому факультету. Профессором этого факультета был психолог Александр Романович Лурия, с которым я познакомился в сезон 1955/56 г. по рекомендации математика И. М. Гельфанда. Лурия и пригласил меня выступить на указанном заседании. Я очень изумился такому приглашению и намеревался отказаться, поскольку философы ещё не кончили бороться с кибернетикой, а Философский факультет был центром идеологического маразма и мракобесия. Однако Лурия заверил меня, что времена изменились и нежелательных последствий не будет. Я неохотно согласился, но счёл более удачным решением, чтобы выступили мы трое, на что, в свою очередь, охотно согласился Лурия. Я говорил о кибернетике, Иванов - о семиотике, Поливанов - о генетике (что было очень смело по тем временам).

Но о нашем походе к философам - в другой раз и в другом месте. Вернёмся к поручению Колмогорова. Мы трое начинаем искать и просматривать в библиотеках иностранные журналы, труды кибернетических конференций и т. п. Мы делаем копии, составляем библиографические списки и рефераты. Всё это - для Колмогорова. У меня сохранилась папка со сделанной рукой Колмогорова надписью: “Рефераты по книгам и статьям. Первая серия, полученная от В. А. Успенского”. В своём докладе 2 апреля 1957 г. Колмогоров отметит наш труд формулой “с помошью В. А. Успенского и его друзей”. Тем самым Колмогоров публично признал за нашей троицей статус его коллективного корреспондента.

6.4. «Тезисы о кибернетике». Наша почётная роль коллективного корреспондента Колмогорова не была ограничена составлением рефератов и библиографических списков. 16 и 17 января 1957 г. мы изготовили предназначенный для Колмогорова текст, который сами мы называли то как «Тезисы о кибернетике», то как «Сообщение трёх авторов в восьми тезисах». Действительно, текст состоял из 8 тезисов со следующими заглавиями: 1. Определение кибернетики; 2.Управление; 3. Связь; 4. Информация; 5. Организованные системы; 6. Место кибернетики в системе наук; 7. История кибернетики; 8. Роль кибернетики в убывании энтропии. Каждый тезис сопровождался комментарием. 17 января я передал текст адресату. Наши «Тезисы» были достаточно наивны и в тот же день 17 января были раскритикованы Колмогоровым. Однако они сыграли свою историческую роль. Колмогоров ответил нам своими собственными «Тезисами».

Текст Колмогорова был озаглавлен «Тезисы о кибернетике» и имел дату 20 января 1957 г. К тексту был приложен колмогоровский же «Проект начала статьи для БСЭ», датированный 24 января. Всё это было передано мне - по-видимому, в конце января. Ответный характер текста был подчёркнут тождеством заглавия и тем, что у Колмогорова, как и у нас, было 8 тезисов. Первый тезис начинался так: “Книга, долгоиграющая пластинка <...> могут рассматриваться как носители «информации»”. А последний колмогоровский тезис был таков:

8. Эти более прозаические тезисы о кибернетике явно не предусматривают возведения её создателя* в ранг пророка, но хотелось бы, чтобы авторы более возвышенного «сообщения в восьми тезисах» не пришли от этих новых тезисов в уныние ни в отношении деловых занятий кибернетикой, ни в своих поэтических и философских воспарениях, отделив эти последние в другую сферу своей деятельности, в которой м. б. увлекательнее найти себе другие образцы кроме «знаменитого математика, философа, медика и биолога» периода World War no. 2**.

* Т. е. Норберта Винера. В наших «Тезисах» он несколько раз упоминался с большИм почтением.

** «знаменитого математика, философа, медика и биолога» периода World War no. 2. Здесь Колмогоров явно что-то цитирует, но сейчас, сорок без малого лет спустя, я не могу понять, что именно. Винер чем-то раздражал Колмогорова; возможно, элементами рекламы и саморекламы (Ср. название одной из книг Винера, «Ex-prodigy», и подзаголовок другой, «The Later Life of a Prodigy».). В знаменитой книге Винера «Кибернетика» Колмогоров не находил ясных и глубоких мыслей того уровня, каковой, с его точки зрения, мог бы оправдать объём книги и ту сенсацию, которую она сделала. Колмогоров весьма не любил, когда его сравнивали с Винером; его больше устраивало сравнение с фон Нёйманом. Сам же Винер упоминает в своей «Кибернетике» Колмогорова как предшественника своих работ по теории информации, а более подробно пишет об их научных взаимоотношениях в автобиографической книге [Вин]: “Больше двадцати лет мы наступали друг другу на пятки” (с. 142); “все идеи по этому поводу (речь идёт о теории прогнозирования – Вл. У.), которые мне казались действительно глубокими, появились в заметке Колмогорова до того, как я опубликовал свою статью, хотя я и узнал об этом только через некоторое время” (с. 249); “я говорил тогда (в 1940 г. – Вл. У.), что <...> если кто-нибудь в мире занимается сейчас тем же, что и я, то, вероятнее всего, это Колмогоров в России” (с. 250). Возможно, что наступание на пятки влияло на отношение Колмогорова к Винеру. Тем замечательнее, что именно Колмогоров написал статью «Винер» для 3-го издания БСЭ (см. [Колм 71]) - статью, которую можно назвать хвалебной: все заслуги Винера там тщательно указаны. В дополнительный (51-й) том 2-го издания статья «Винер» была включена по моей инициативе, и её написали Иванов, Поливанов и я (см. [ИвПоУс]).

(Конец фрагмента)

ЛИТЕРАТУРА

[Ал] П. С. Александров. Страницы автобиографии // Успехи математических наук. - 1979. - Т. 34. - Вып. 6. - С. 219-249.

[Бае] В. С. Баевский. О создателе этой книги // [Гасп 89], с. 3–4.

[Бел 06] Андрей Белый. Венец лавровый // Золотое руно. - 1906 г. - № 5. - С. 43–50.

[Бел 10лз] Андрей Белый. Луг зеленый: Книга статей. - М.: Альциона, 1910. - 249 с.

[Бел 10с] Андрей Белый. Символизм: Книга статей. - М.: Мусагет, 1910. - 635 с.

[Бел 94кэтс1] Андрей Белый. Критика. Эстетика. Теория символизма: В 2 томах/ Вступ. ст., сост. А. Л. Казин. Коммент. А. Л. Казин, Н. В. Кудряшева. - Т. 1. - М.: Искусство, 1994. - 478 с.

[Бел 94скм] Андрей Белый. Символизм как миропонимание / Сост., вступ. ст. и примеч. Л. А. Сугай. - М.: Республика, 1994. - 528 с.

[Бобр] С. П. Бобров. Опыт изучения вольного стиха пушкинских «Песен западных славян» // Теория вероятностей и её применения. - 1964. – Т. 9. - № 2. - С. 262–272.

[Брю] В. [Я.] Брюсов. Краткий курс науки о стихе (Лекции, читанные в Студии стиховедения в Москве 1918 г.). Часть первая. Частная метрика и ритмика русского языка. - М.: Альциона, 1919. - 131 с. На обложке заглавие: Наука о стихе. Метрика и ритмика.

[Бул] А. В. Булинский. Некоторые штрихи к портрету А.Н. Колмогорова // [Шир 93], с. 406–433.

[Бур ВЯ] М. И. Бурлакова. [О IV Всесоюзном математическом съезде] // Вопросы языкознания. - 1962. - № 1. - С. 159–161.

[Бур СТИ] М. И. Бурлакова. Проблемы математической лингвистики на IV Всесоюзном математическом съезде // [СТИ], с. 293–296.

[Бюлл] Бюллетень Объединения по проблемам машинного перевода. № 5 / Отв. ред. В. Ю. Розенцвейг; Мин-во высш. образования СССР: Первый Московский гос. пед. ин-т иностранных языков; На правах рукописи. - М., 1957. - 82 с.

[Вай] М. Вайскопф. Страшная ночь, или экзекутор. Девятая повесть «Вечеров на хуторе близ Диканьки» // Новое литературное обозрение. - № 12. - 1995 г. - С. 244–249.

[Вин] Н. Винер. Я - математик / Сокр. пер. с англ. - М.: Наука, 1964. - 355 с. (Американский оригинал: N. Wiener. I am a Mathematician. The Later Life of a Prodigy. - Garden City, NY: Doubleday & Co, 1956.)

[Гасп 74] М. Л. Гаспаров. Современный русский стих. Метрика и ритмика / АН СССР: Ин-т мировой литературы им. Горького. - М.: Наука, 1974. - 487 с.

[Гасп 78х] [М. Л. Гаспаров]. Хорей // Большая Советская Энциклопедия, третье издание. - Т. 28 (1978 г.). - Стлб. 1095–1096.

[Гасп 78я] М. Л. Гаспаров. Ямб // Большая Советская Энциклопедия, третье издание. - Т. 30 (1978 г.). - Стлб. 1504–1505.

[Гасп 89] Русский стих: Учебный материал по литературоведению. Ч. I / Сост. и примеч. М. Л. Гаспарова; Мин. нар. обр. Латвийской СССР: Даугавпилский пед. ин-т им. Я. Э. Калнберзина. - Даугавпилс, 1989. - 81 с.

[Гасп 93] М. Л. Гаспаров. Русские стихи 1890-х–1925-го годов в комментариях. - М.: Высшая школа, 1993. - 272 с.

[Гасп 95] М. Л. Гаспаров. «Стихи о неизвестном солдате» О. Мандельштама: Апокалипсис и/или агитка? // Новое литературное обозрение. - № 16. - 1995 г. - С. 105–123.

[Гасп 96] М. Л. Гаспаров. О. Мандельштам: Гражданская лирика 1937 года. / Российский гос. гуманитарный ун-т: Ин-т высших гуманитарных исследований. - М., 1996. - 128 с. (Чтения по истории и теории культуры. Вып. 17.)

[Глу] Учебный словарь-минимум для студентов-математиков (англо-русский словарь) / Сост. М. М. Глушко. - М.: Изд-во Московского университета, 1976. - 151 с.

[Гор] А. [Г.] Горнфельд. Словесность // Энциклопедический словарь. Изд. Ф. А. Брокгауз, И. А. Ефрон. - Т. 30. - Полутом 59. - СПб., 1900. - С. 397–403.

[Дель] М. Дельбрюк. Обновлённый взгляд физика на биологию (Двадцать лет спустя) // Успехи физических наук. - 1971. - Т. 105. - Вып. 3. - С. 393–401.

[Добр 57] Р. Л. Добрушин. Элементарная грамматическая категория // [Бюлл], с. 19–21.

[Добр 61] Р. Л. Добрушин. Математические методы в лингвистике // Математическое просвещение [новая серия]. - Вып. 6.- М.: Физматгиз, 1961. - С. 37–60.

[Дор] Т. А. Доронина. Рядом с Андреем Николаевичем // [Шир 93], с. 434–444.

[Дран] В. Л. Дранков. Симпозиум по комплексному изучению художественного творчества // Известия АН СССР. Серия литературы и языка. - 1963. - Т. 22. - Вып. 5. - С. 447–450.

[Жир] В. М. Жирмунский. Научная конференция по вопросам теории стиха и славянской метрики // Вестник Академии наук СССР. - 1964. - № 11. - С. 102–103.

[Зал] А.А. Зализняк. Русское именное словоизменение / АН СССР: Ин-т славяноведения. - М.: Наука, 1967. - 270 с.

[Зель] Я. Б. Зельдович, В. С. Попов. Электронная структура сверхтяжёлых атомов. // Успехи физических наук. - 1971. - Т. 105. - Вып. 3. - С. 403–440.

[ИвПоУс] [Вяч.В. Иванов, М. К. Поливанов, Вл. А. Успенский]. Винер // Большая Советская Энциклопедия, второе издание. - Т. 51 (1958 г.). - С. 59.

[ИМИ] Историко-математические исследования. Серия 2. - Вып. 1 (36). - № 1. - М.: ТОО «Янус», 1995. - 190 с.

[Кат] Г. И. Катаев. Об А.Н. Колмогорове ("HOMO UNIVERSALIS") // [Шир 93], с. 451–469.

[Квя] А. [П.] Квятковский. Поэтический словарь. - М.: Советская Энциклопедия, 1966. - 375 с.

[Колм 58] А.Н. Колмогоров. Кибернетика // Большая Советская Энциклопедия, второе издание. - Т. 51 (1958 г.). - С. 149–151.

[Колм 61] А.Н. Колмогоров. Автоматы и жизнь: Тезисы доклада // Машинный перевод и прикладная лингвистика. - 1961. - Вып. 6. - С. 3–8.

[Колм 62] А.Н. Колмогоров, А. М. Кондратов. Ритмика поэм Маяковского // Вопросы языкознания. - 1962. - № 3. - C. 62–74.

[Колм 63к] А.Н. Колмогоров. К изучению ритмики Маяковского // Вопросы языкознания. - 1963. - № 4. - С. 64–71.

[Колм 63о] А.Н. Колмогоров, А. В. Прохоров. О дольнике современной русской поэзии (Общая характеристика) // Вопросы языкознания. - 1963. - № 6. - С. 84–95.

[Колм 63с] А.Н. Колмогоров, А. В. Прохоров. Статистика и теория вероятностей в исследовании русского стиха // [СиКИХТ], с. 23. (Воспроизведено полностью в n° 3.7 настоящей публикации.)

[Колм 64] А.Н. Колмогоров, А. В. Прохоров. О дольнике современной русской поэзии (Статистическая характеристика дольника Маяковского, Багрицкого, Ахматовой) // Вопросы языкознания. - 1964. - № 1. - С. 75–94.

[Колм 65з] А.Н. Колмогоров. Замечания по поводу анализа ритма «Стихов о советском паспорте» Маяковского // Вопросы языкознания. - 1965. - № 3. - С. 70–75.

[Колм 65т] А.Н. Колмогоров. Три подхода к определению понятия «количество информации» // Проблемы передачи информации. - 1965. - Т. 1. - № 1. - С. 3–11. <Перепечатано в [Колм 87], с. 213–223.>

[Колм 66] А.Н. Колмогоров. О метре пушкинских «Песен западных славян» // Русская литература. - 1966. - № 1. - С. 98–111.

[Колм 68к] А.Н. Колмогоров, А. В. Прохоров. К основам русской классической метрики // [Сод], с. 397–432 <литература на с. 433–449>.

[Колм 68п] А.Н. Колмогоров. Пример изучения метра и его метрических вариантов // Теория стиха / АН СССР: Ин-т русской литературы (Пушкинский дом). - Л.: Наука, 1968. - С. 145–167.

[Колм 71] А.Н. Колмогоров. Винер // Большая Советская Энциклопедия, третье издание. - Т. 5 (1971 г.). - Стлб. 202–203.

[Колм 84] А.Н. Колмогоров. Анализ метрической структуры стихотворения А. С. Пушкина «Арион» // [ПТС], с. 118–120.

[Колм 85] А.Н. Колмогоров, А. В. Прохоров. Модель ритмического строения русской речи, приспособленная к изучению метрики русского классического стиха // Русское стихосложение. Традиции и проблемы развития / Отв. ред. Л. И. Тимофеев; АН СССР: Ин-т мировой литературы им. А. М. Горького. - М.: Наука, 1985. - С. 113–134.

[Колм 87] А.Н. Колмогоров. Теория информации и теория алгоритмов / Отв. ред. акад. Ю. В. Прохоров. - М.: Наука, 1987. - 304 с.

[Колм 91] А.Н. Колмогоров. Математика в ее историческом развитии / Под ред. Вл. А. Успенского. - М.: Физматлит, 1991. - 223 с.

[Колм 94] А.Н. Колмогоров. Новгородское землевладение XV века. - В кн.: А.Н. Колмогоров. Новгородское землевладение XV века. Л.Н.Басссалыго. Комментарий к писцовым книгам Шелонской пятины / Предисл. В. Л. Янина. - М.: Физматлит, 1994. - С. 15–84.

[Колм СП.1.т] А.Н. Колмогоров. По поводу мнений КИБЕРНЕТИКА, ЛИТЕРАТУРОВЕДА, ФИЛОСОФА. [Рукопись от 30 апреля 1961.] // [ИМИ], с. 155–159.

[Колм СП.1.у] А.Н. Колмогоров. По поводу мнений КИБЕРНЕТИКА, ЛИТЕРАТУРОВЕДА, ФИЛОСОФА. [Рукопись от 30 апреля 1961.] // Новое литературное обозрение. - № 24. - С. 216–219.

[Колм СП.2] А.Н. Колмогоров. К семиотике искусства. [Рукопись от 10 января 1963 г.] // Новое литературное обозрение. - № 24. - С. 223–231.

[Колм СП.3] А.Н. Колмогоров. ТЕМ ЖЕ О ТОМ ЖЕ, если ещё не надоело. [Рукопись от 15 января 1963 г.] // Новое литературное обозрение. - № 24. - С. 236.

[Колм СП.4] А.Н. Колмогоров. [Тезисы о природе искусства]. [Рукопись от 28 декабря 1964 г.] // Новое литературное обозрение. - № 24. - С. 237–240.

[Кон 61] А. [М.] Кондратов. Биты, буквы, поэзия // Знание - сила. - 1961. - № 11. - С. 18–21.

[Кон 62мим] А. [М.] Кондратов.  Мозг и музы // Знание - сила. - 1962. - № 8. - С. 28–31.

[Кон 62мип] А. М. Кондратов. Математика и поэзия. - М.: Знание, 1962.- 48 с. (Новое в жизни науки и техники. IX серия: Физика и химия. 20.)

[Кон 62э] А. М. Кондратов. Эволюция ритмики Маяковского // Вопросы языкознания. - 1962. - № 5. - С. 101–108.

[Кон 63с] А. М. Кондратов.Статистика типов русской рифмы // Вопросы языкознания. - 1963. - № 6. - С. 96–106.

[Кон 63т] А. М. Кондратов.Теория информации и поэтика (Энтропия ритма русской письменной речи) // Проблемы кибернетики, вып. 9. - М.: Физматгиз, 1963. - С. 279–286.

[Кон 66] А. М. Кондратов.Звуки и знаки / Научн. ред. и авт. вступ. статьи А. Б. Долгопольский - М.: Знание, 1966. - 207 с.

[Кузн] П. С. Кузнецов. Из автобиографических записок // Успехи математических наук. - 1988. - Т. 43. - Вып. 6. - С. 197–208.

[Лар] В. [Г.] Ларцев. Евгений Дмитриевич Поливанов: Страницы жизни и деятельности. - М.: Наука: Гл. ред. восточн. лит-ры, 1988. - 328 с.

[Лип] С. [И.] Липкин. Вторая дорога: Зарисовки и соображения. - М.: Олимп, 1995. - 269 с.

[Люб] Н. М. Любимов. Перевод - искусство // Н. М. Любимов. Несгораемые слова. - Изд. 2-е. - М.: Художеств. лит-ра, 1988. - С. 5–92.

[Мак] Макарий. Введение в православное богословие. - Изд. 2-е, испр. - СПб: в типогр. Г. Трусова, 1852. - 392+VI с.

[Марк 07збч] А.А. Марков [старший]. Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга. - Казань: Императорский Ун-т, 1907. - 22 с. Перепечатано в [Марк 51], с. 339–361.

[Марк 07зсз] А.А. Марков [старший]. Исследование замечательного случая зависимых испытаний // Известия Императорской Академии Наук. - VI серия. - 1907. - № 3. - С. 61–80.

[Марк 13ео] А.А. Марков [старший]. Пример статистического исследования над текстом „Евгения Онегина", иллюстрирующий связь испытаний в цепь // Известия Императорской Академии Наук. - Серия 6. - 1913. - № 3. - С. 153–162. (Доложено в заседании Физико-математического отделения 23 января 1913 г.).

[Марк 13ив] А.А. Марков [старший]. Исчисление вероятностей. Третье издание, пересмотренное и значительно дополненное. - СПб: Тип. Императ. АН, 1913. - 382 с.

[Марк 24] А.А. Марков [старший]. Исчисление вероятностей. Переработанное автором четвёртое, посмертное издание. - М.: ГИЗ, 1924. - XIV + 589 с.

[Марк 51] А.А. Марков [старший]. Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятностей. - Изд-во АН СССР, 1951. - 719 с.

[МаркII] А.А. Марков [младший]. Биография А.А. Маркова [старшего] // [Марк 51], с. 599–613.

[Мат] Материалы для суждения о спиритизме. - Издание Д. И. Менделеева. - СПб, 1876. - XII+382 с. С 20 черт. и рис. <На титуле надпись: Сумма, которая может быть получена от продажи этой книги, назначается на устройство большого аэростата и вообще на изучение метеорологических явлений верхних слоёв атмосферы.>

[Мей] Б. [С.] Мейлах. Содружество наук - требование времени // Вопросы литературы. - 1963. - № 11. - С. 61–85.

[Мен 875] Д. И. Менделеев. Публичное чтение о спиритизме 15 декабря 1875 г. // [Мат], с. 306–320. <Перепечатано в [Мен 954], с. 178–190.>

[Мен 876] Д. И. Менделеев. Два публичных чтения о спиритизме 24-го и 25-гоапреля 1876 г. // [Мат], с. 321–382. <Перепечатано в [Мен 954], с. 191–240, но, как и следовало ожидать, без чертежей и иллюстраций. Поэтому делаемая на с. 363 в [Мат] сноска "Для ясности, расположение опыта представлено в конце книги, на фиг. 14 и 15" снабжается, при перепечатке её на с. 223 в [Мен 954], такой добавкой: "В настоящем томе эти и далее упоминаемые фигуры не воспроизводятся".>

[Мен 954] Д. И. Менделеев. Сочинения. Т. 24. Статьи и материалы по общим вопросам/ Отв. ред., предисл. проф. Г. С. Васецкий. - Л.–М.: Изд-во АН СССР, 1954. - XXXII+462 с.

[Мон] А. С. Монин. Дороги в Комаровку // [Шир 93], с. 475–492.

[Нов] С. П. Новиков. Воспоминания о Колмогорове // Успехи математических наук. - 1988. - Т. 43. - Вып. 6. - С. 35–36.

[Пар] Борис Парамонов. Евтушенко в Квинсе // Звезда. - 1996. - № 10. - С. 229–233.

[Паст] Борис Пастернак. Стихотворения и поэмы / Составление, подготовка текста, и примечания Л. А. Озерова. - М.–Л.: Сов. писатель, 1965. - 730 с. (Библиотека поэта. Большая серия. Второе издание.)

[Про] А. В. Прохоров. О случайной версификации (к вопросу о теоретических и речевой моделях стихотворной речи) // [ПТС], с. 89–98.

[ПТС] Проблемы теории стиха / АН СССР: Ин-т русской литературы (Пушкинский дом). - Л.: Наука, 1984. - 255 с.

[Рев ВЯ] И. И. Ревзин. [Научное совещание, посвящённое применению математических методов при изучении языка художественных произведений] // Вопросы языкознания. - 1962. - № 1. - С. 161–165.

[Рев СТИ] И. И. Ревзин. Совещание в г. Горьком, посвящённое применению математических методов к изучению языка художественной литературы // [СТИ], с. 285–293.

[РЛ] Русская литература XX века. Дооктябрьский период: Хрестоматия / Сост. Н. А. Трифонов. - Изд. 3-е. - М.: Просвещение, 1971. - 640 с.

[Рыч] Н. [Г.] Рычкова. Лингвистика и математика // Наука и жизнь. - 1961. - № 9. - С. 75–77.

[Сав] Е. С. Савинова. Как читать по английски математические, химические и другие сммволы, формулы и сокращения: Справочник. - М.: Наука, 1966. - 48 с.

[СиКИХТ] Симпозиум по комплексному изучению художественного творчества (18–22 февраля 1963 г.): Тезисы и аннотации / Союз писателей РСФСР: Ленинградское отделение; Психологическое общество: Ленинградское отделение. - Л.: 1963 - 35 с.

[СиСИЗС] Симпозиум по структурному изучению знаковых систем: Тезисы докладов. / АН СССР: Ин-т славяноведения. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 159 с.

[Скор] О. И. Скороходова. Как я воспринимаю и представляю окружающий мир/ Академия педагогических наук РСФСР: Институт дефектологии; Отв. ред. проф. И. А. Соколянский. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1954. - 368 с.

[См] Г. Смирнова. Путешествие в лингвистику [рецензия на [Кон 66]] // Новый мир. - 1966. - № 12. - С. 266–268.

[Сод] Содружество наук и тайны творчества / Под ред. Б. С. Мейлаха; Комиссия по взаимосвязям литературы, искусства и науки Союза писателей РСФСР. - М.: Искусство, 1968. - 450 c.

[СТИ] Структурно-типологические исследования: Сб. статей/ Отв. ред. Т. Н. Молошная; Академия наук СССР: Институт славяноведения. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 298 с.

[Стр] Я. М. Строчков. Примечания // [Тред 1963], с. 465–541.

[Тар 53] Кирил Тарановски. Руски дводелни ритмови I–II / Српска академиjа наука; Уредник Академик Петар Колендиђ. - Београд, 1953. - VI+376 с.; 16 таблиц на 15 отдельных листах. (Посебна издања: Књига CCXVII; Одељење литературе и jезика: Књига 5.) <На обороте титула по-русски: Сербская академия наук | Монографии | Книга CCXVII | Отделение литературы и языка | Книга 5 | Кирилл Тарановский | Русские двудольные размеры I–II | Редактор | Академик Петр Колендич>

[Тар 71] К. Ф. Тарановский. О ритмической структуре русских двусложных размеров // Поэтика и стилистика русской литературы. Памяти академика Виктора Владимировича Виноградова. - Л.: Наука, 1971. - С. 420–429.

[Тих 93] Вл.М. Тихомиров. Слово об учителе // [Шир 93], с. 220–279.

[Тих 95] Вл.М. Тихомиров. О сочинении А.Н. Колмогорова «По поводу мнений кибернетика, литературоведа, философа» // [ИМИ], с. 151–155.

[Тред 735] В. К. Тредиаковский. Новый и краткий способ к сложению российских стихов с определениями до сего надлежащих званий // [Тред 963], с. 365–420. <В [Стр], на с. 530, указано: "Впервые - отдельное издание, СПб, 1735".>

[Тред 751] В. К. Тредиаковский. Предуведомление потрудившегося в переводе // Аргенида, повесть героическая, сочиненная Иоанном Барклаием, а с латинского на славено-российский переведенная и митологическими изъяснениями умноженная от Василья Тредиаковского, профессора элоквенции и члена Императорския академии наук. Том первый. - В Санктпетербурге при Императорской академии наук, 1751. - С. I–CIV.

[Тред 752] В. К. Тредиаковский. Способ к сложению российских стихов против выданного в 1735 г. исправленный и дополненный // [Тред 849]*, с. 119–178. <Согласно [Стр], с. 530 и 469, впервые опубликовано в издании: Сочинения и переводы как стихами, так и прозою Василья Тредиаковского, тт. 1–2. - СПб., 1752.>

[Тред 755] В. К. Тредиаковский. О древнем, среднем и новом стихотворении российском // [Тред 963], с. 425–450. <В [Стр], на с. 537, указано: "Впервые - «Ежемесячные сочинения, к пользе и увеселению служащие», 1755, июнь, стр. 467".>

[Тред 849] [В. К. Тредиаковский.] Сочинения Тредьяковского [в трёх томах]. - СПб: Изд. Александра Смирдина, 1849. - Том первый. - 808 с. (с. I–XXIV, 25–808).

[Тред 935] [В. К.] Тредиаковский. Стихотворения / Под ред. акад. А. С. Орлова при участии А. И. Малеина, П. Н. Беркова и Г. А. Гуковского. - Сов. писатель, 1935. - 491 с. (Библиотека поэта под ред. М. Горького.)

[Тред 963] В. К. Тредиаковский. Избранные произведения. - М.–Л.: Сов. писатель, 1963. - 578 с. (Библиотека поэта. Большая серия. Второе издание.)

[Усп 57] Вл. А. Успенский. К определению падежа по А.Н. Колмогорову // [Бюлл], с. 11–18.

[Усп 92] Вл. А. Успенский. Серебряный век структурной, прикладной и математической лингвистики в СССР и В. Ю. Розенцвейг: Как это начиналось (заметки очевидца) // Wiener Slawistischer Almanach. - Sonderband 33. Wien, 1992. - S. 119–162.

[Усп 93] Вл. А. Успенский. Колмогоров, каким я его помню // [Шир 93], с. 280–384.

[Ход] А. Ходоров. Физики и лирики за круглым столом // Знание - сила. - 1963. - № 3. - С. 13–14.

[Хол] Вл. [Е.] Холшевников. Стиховедение и математика // [Сод], с. 384–396.

[Худ] Художественное творчество. Вопросы комплексного изучения / 1984. - Л.: Наука, 1986. - 261 c.

[Шен 48] К. Шеннон. Математическая теория связи // [Шен 63], с. 243–332.

[Шен 51] К. Шеннон. Предсказание и энтропия печатного английского текста // [Шен 63], с. 669–685. <Тому, кто пожелал бы ознакомиться с этой классической статьёй в оригинале, сообщаем расшифровку авгурской аббревиатуры BSTJ, указанной на с. 669 русского издания: эта аббревиатура означает Bell System Technical Journal.>

[Шен 63] К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернетике / Пер. с англ. Под ред. Р. Л. Добрушина и О. Б. Лупанова. С предисл. А. Н. Колмогорова. - М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1963. - 829 с.

[Шир 89] А.Н. Ширяев. Андрей Николаевич Колмогоров (25.IV.1903–20.X. 1987): In Memoriam // Теория вероятностей и ее применения. - 1989. - Т. 34. - Вып. 1. - С. 5–118.

[Шир 93] Колмогоров в воспоминаниях / Редактор-составитель А.Н. Ширяев. - М.: Физматлит, 1993. - 734 с.

[Шир 93а] А.Н. Ширяев. Андрей Николаевич Колмогоров (25.IV.1903–20.X. 1987): Биографический очерк о жизни и творческом пути // [Шир 93], с. 9–143.

[Шп] Шпет в Сибири: ссылка и гибель / Сост. М. К. Поливанов, Н. В. Серебренников, М. Г. Шторх. Под ред. Н. В. Серебренникова. - Томск: Водолей, 1995. - 335 с.

[Эйг] Екатерина Эйгес. Воспоминания о Сергее Есенине / Предисл. и примеч. С. В. Шумихина // Новый мир. - 1995. - № 9. - С. 181–185.

[Ягл 60] И. М. Яглом, Р. Л. Добрушин, А. М. Яглом. Теория информации и лингвистика: Речь как вероятностный процесс // Вопросы языкознания. - 1960. - № 1. - С. 100–110.

[Ягл 73] А. М. Яглом и И. М. Яглом. Вероятность и информация. - Изд. 3-е, переработ. и доп. - М.: Физматлит, 1973. - 511 c.

[Ягу] В. П. Ягункова. Симпозиум по комплексному изучению художественного творчества // Вопросы психологии. - 1963. - № 3. - С. 184–187.

[Як] Р. [О.] Якобсон. Брюсовская стихология и наука о стихе // Академический центр Наркомпроса. Научные известия. - Сб. 2: Философия; Литература; Искусство. - М.: ГИЗ, 1922. - С. 222–240.

[AbrMars] R. Abraham, J. E. Marsden. Foundations of Mechanics. - 2nd ed. - Reading, Mass.: The Benjamin/Cummings Publ. Co., 1978. - XII+mXVI+806 pp.

[Heij] J. van Heijenoort. From Frege to Goedel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. - Cambridge, Mass.: Harvard Univ. Press, 1967. - XII+660 pp.

[Mor] J. E. Morrill. A Nobel Prize in Mathematics // American Mathematical Monthly. - 1995, December. - Pp. 888–891.

[Pro] Alexandr Prochorow. Teoria prawdopodobienЂstwa w badaniach rytmu wiersza // Pamieьtnik literacki. - 1970. - Rocznik 61. - Zeszyt 3. - S. 113–127. .