Задачи Всесоюзных математических олимпиад

Васильев Н. Б., Егоров А. А

М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 14 л. - (Б-ка мат. кружка; вып. 18). - 288 с. - ISBN 5-02-013730-8. Рецензент доктор физико-математических наук В. М. Тихомиров

Аннотация

Содержит около 450 задач, предлагавшихся на заключительных турах математических олимпиад СССР, начиная с самых первых. Задачи размещены в хронологическом порядке и снабжены решениями. Многие из них являются своеобразными математическими исследованиями, позволяющими читателям ознакомиться с идеями и методами современной математики.

Для школьников старших классов, учителей и руководителей математических кружков.

Предисловие

Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то особенно понравившейся задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, и в журнале или книжке. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады - от школьных и городских до международных.

В этой книге собрана полная коллекция задач заключительного тура математических олимпиад, проводимых по всей стране с начала 60-х годов. Задачи занумерованы подряд; по табличке, составленной для каждой олимпиады, можно восстановить наборы задач, предлагавшихся участникам в каждой из трех параллелей - в 8, 9 и 10 классах.

К задачам, предлагавшимся на олимпиадах 1961 - 1979 гг., приведены решения, задачи последних олимпиад (1980 - 1987) снабжены краткими указаниями.

Задачи первых олимпиад 60-х годов (они назывались всероссийскими) в среднем попроще, но и здесь встречаются замысловатые головоломки, подобрать ключ к которым нелегко. Самые трудные задачи помечены звездочкой.

Очень разнообразны задачи и по математическому содержанию.

Почти в каждом варианте олимпиадных заданий встречаются традиционные по формулировке задачи об окружностях и треугольниках, квадратных трехчленах и целых числах, уравнениях и неравенствах. Конечно, это не просто упражнения на проверку знаний и применение стандартных школьных приемов, а чаще всего теоремы, которые нужно доказать, задачи на отыскание множеств (геометрических мест), минимумов или максимумов, требующие некоторого исследования.

Значительно больше, однако, задач с далеко не стандартной формулировкой. Для поиска ответа и доказательства здесь нужны не столько школьные знания, сколько здравый смысл, изобретательность, умение логично рассуждать, перевести необычное условие на подходящий математический язык. Далеко не всегда решение такой задачи - цепочка из нескольких естественных шагов. Бывает, что, даже хорошо разобравшись в условии, долго не удается найти правильный путь рассуждений, руководящую идею, хотя готовое решение занимает всего несколько строк (что и отличает классическую олимпиадную задачу). Нужное соображение возникает иногда совершенно неожиданно, интуитивно, как некое "озарение". Эти моменты "открытия" и составляют радость математического творчества.

Конечно, идея, поначалу неожиданная, может затем встретиться еще и еще раз. (Скажем, красивая находка в задаче 7 - проследить, как меняется сумма всех чисел в таблице - в несколько ином преломлении оказывается полезной в задачах 151, 196, 271 и других.) И постепенно искусственное рассуждение начинает восприниматься уже как привычный, сознательно применяемый метод.

Проследить некоторые характерные приемы рассуждений, полезные не только в олимпиадных, но и в серьезных математических задачах - одна из целей "тематического путеводителя", помещенного в конце книги. В нем содержатся также краткие сведения об отдельных понятиях, теоремах, методах, лишь мимолетно затрагиваемых в школьном курсе или сейчас вовсе в него не входящих, но по традиции считающихся известными на олимпиадах. Это, прежде всего, метод математической индукции (П1), сведения о делимости целых чисел (П2), многочленов (П5), классическое неравенство между средними арифметическим и геометрическим (П8); номера Ш, П2, ... означают ссылки на соответствующие темы путеводителя. На наш взгляд он будет полезен руководителям математических кружков и тем, кто предпочитает заниматься задачами какого-то определенного характера и хотел бы их разыскать. Разумеется, путеводитель дает лишь некоторую весьма приблизительную ориентацию в огромном разнообразии задач и идей, встречающихся в их решении, - многие задачи могут быть отнесены одновременно к нескольким темам, другие настолько своеобразны, что при попытках более тонкой классификации для каждой пришлось бы завести отдельную "тему".

Ведь главная цель жюри каждой олимпиады - подобрать новые задачи, демонстрирующие школьникам свежие, еще не встречавшиеся им идеи, темы, постановки вопросов. Математики, члены жюри, придумывают такие задачи сами, узнают у своих коллег, черпают из малоизвестных книг или новых научных статей. (Нередко красивая лемма в научной работе опирается на элементарную идею, и из нее рождается олимпиадная задача - так возникли задачи 181, 219, 248, 267 и другие; а задача 148, специально придуманная для олимпиады, оказалась в точности совпадающей с леммой из научной статьи, относящейся к современной алгебре.)

Часто, даже если сюжет задачи носит шуточный, игровой характер или взят из реальной жизни, вопрос, предлагаемый для исследования - найти оптимальный алгоритм поведения, наилучшую возможную оценку, максимум или минимум, - типичен для математики.

Во многих задачах о неравенствах, размещениях точек и покрытиях специалист узнает леммы из анализа, в задачах о знакомствах, дорогах и турнирах - варианты или частные случаи теорем теории графов. Характерные постановки задач о многократно повторяющихся операциях возникают во многих областях математики, в частности в программировании, теории динамических систем.

Таким образом, олимпиадные задачи позволяют приоткрыть завесу над серьезной математикой - классической и современной. Отчасти они даже отражают последние математические моды, - они, как и мода на одежду, меняются с годами.

Конечно, подготавливая набор задач для каждой олимпиады, члены жюри учитывают не только привлекательность формулировок и научную значимость отдельных задач. Олимпиада - это соревнования, где несколько предложенных задач нужно решить за 4 - 5 часов, и набор задач для каждого класса должен учитывать возможности и интересы участников: быть достаточно трудным, чтобы выявились победители, и в то же время достаточно простым и разнообразным, чтобы удовольствие и пользу получило большинство участников - и "геометры", и "алгебраисты", и любители комбинаторно-логических задач. В выборе задач видны и вкусы коллектива (математиков, готовивших каждую олимпиаду, но также и многолетние традиции олимпиад, передающиеся от поколения к поколению.

* * *

Увлечение занимательными задачами имеет в нашей стране глубокие корни [61]: здесь можно вспомнить и учебники Ф. Магницкого и Л. Эйлера, и многочисленные сборники задач XIX века, и издававшийся с 1894 г. по 1917 г. в Одессе, а затем в Киеве журнал "Вестник опытной физики и элементарной математики", предлагавший трудные задачи "на конкурс" своим читателям - учителям, студентам, учащимся гимназий и реальных училищ.

Первые олимпиады школьников в СССР были проведены более полувека тому назад. В 1934 - 35 гг. городские математические соревнования юных математиков состоялись в Ленинграде, Москве и Тбилиси, несколько позже - в Киеве. В послевоенные годы традиции разнообразной работы со школьниками (кружки при университетах, лекции, олимпиады) охватывали уже десятки городов. В конце 50-х годов идея вовлечения в эту работу школьников всей страны носилась в воздухе; интерес к науке, прежде всего математике и физике, стимулировался первыми полетами в космос, началом бурного развития вычислительной техники.

Сейчас уже трудно наверняка определить, кто первым предложил собрать вместе школьников - победителей математических олимпиад из разных городов. По-видимому, это был Борис Николаевич Делоне, замечательный математик, энтузиазму которого обязаны своим появлением и первые олимпиады в Ленинграде. Осенью 1959 г. на одной из традиционных топологических конференций в Тбилиси в экскурсионном автобусе рядом с Б. Н. Делоне оказалось несколько молодых математиков из разных городов, в их числе - И. В. Гирсанов и Д. Б. Фукс из Москвы, А. С. Шварц, работавший тогда в Воронеже. Речь зашла о математических олимпиадах в разных городах, об их победителях. И здесь же было решено для начала пригласить на заключительный тур Московской олимпиады старшеклассников хотя бы из нескольких городов и республик, где проводились олимпиады, написав письма знакомым математикам, а еще лучше - разослав официальные приглашения.

В Москве за осуществление этой идеи особенно активно взялся И. В. Гирсанов, в те годы - один из самых деятельных руководителей школьного математического кружка при МГУ. Ее реализация стала возможной благодаря поддержке ректора МГУ академика И. Г. Петровского и первого заместителя министра просвещения РСФСР профессора МГУ А. И. Маркушевича, впоследствии - вице-президента Академии педагогических наук. Здесь нельзя не отметить также И. С. Петракова, в те годы работавшего методистом Министерства просвещения РСФСР по математике, много сделавшего для организации системы олимпиад.

В становлении и развитии всероссийских и всесоюзных математических олимпиад особенно велика роль академика А. Н. Колмогорова. Андрей Николаевич был одним из руководителей первых московских олимпиад и школьного математического кружка при МГУ еще в 30-х годах. Авторитет А. Н. Колмогорова, одного из крупнейших ученых XX в., оказывал огромное влияние на перестройку математического образования, начатую в 60-х годах. Это и существенная модернизация программ и стиля учебников для массовой школы, и организация специальных физико-математических школ-интернатов при крупнейших университетах. Неоднократно высказывавшаяся А. Н. Колмогоровым идея о дифференциации образования в старших классах - о предоставлении всем школьникам возможности выбора наиболее интересующих их предметов для более глубокого изучения - еще ждет своего осуществления. Поддержав идею организации всероссийских олимпиад, А. Н. Колмогоров на долгие годы стал основным научным руководителем математической олимпиады. Позднее, когда был образован Центральный оргкомитет всесоюзной олимпиады по математике, физике и химии, А. Н. Колмогоров возглавил Методическую комиссию по математике при оргкомитете его заместителями были в 60-е и 70-е годы М. И. Башмаков и Н. Б. Васильев, в конце 70-х годов - также Н. Х. Розов и А. Н. Земляков, в 80-е годы - В. В. Вавилов и Ю. В. Нестеренко; председателем комиссии с 1983 г. стал академик АН УССР профессор МГУ Б. В. Гнеденко).

А. Н. Колмогоров несколько раз приезжал на заключительный тур, исполнял обязанности председателя жюри. С ним обсуждались все принципиальные вопросы - состав жюри, формы проведения олимпиад и их научная программа, содержание задач, итоги олимпиад. Андрей Николаевич считал очень важным участие в работе жюри молодых математиков, в том числе студентов - победителей прошлых олимпиад; тщательную подготовку к лекциям и разбору решений задач со школьниками; поощрение (в частности, упоминание в публикациях об олимпиадах) учителей, чьи ученики показали хорошие результаты. Живо интересовался Андрей Николаевич, отнюдь не лишенный спортивной жилки, и результатами "своих" учеников - школьников из ФМШ при МГУ. Несомненно, самый факт, что олимпиаду возглавляет академик А. Н. Колмогоров, помогал привлечь к участию в олимпиаде многих талантливых людей.

Итак, весной 1960 г. на Московскую олимпиаду впервые приехали группы школьников из девяти союзных республик и нескольких областей Российской Федерации. А в следующем, 1961 г. одновременно со вторым туром Московской олимпиады была проведена Первая Всероссийская олимпиада по математике, на которую собрались команды по четыре человека из большинства областей и республик (от Украины пригласили четыре команды). Следующие олимпиады стали уже вполне самостоятельными, хотя до 1965 г. проводились также в Москве. Уже на самых первых олимпиадах в числе победителей, кроме признанных лидеров - москвичей и ленинградцев, были школьники из Казани, Киева, Еревана и других городов и республик.

Появилась возможность формировать представительную команду СССР на международные математические олимпиады (проводящиеся с 1959 г.). Как правило, советские школьники успешно выступают на этих олимпиадах и в командном первенстве занимают одно из первых мест.

Первые всероссийские олимпиады привели к расширению географии олимпиадного движения в стране - во всех областях и республиках постепенно стали проводиться свои олимпиады, победители которых становились участниками заключительного тура. К участию в местных олимпиадах и в заключительном туре активно подключались математики из разных городов. Уже с 1960 г. установилось тесное сотрудничество между Московским и Ленинградским университетами. Это касалось не только олимпиад, но и других форм работы со школьниками.

Многие интересные начинания исходили из Сибири. В Новосибирском Академгородке в эти годы под руководством академиков М. А. Лаврентьева и С. Л. Соболева и члена-корреспондента АН СССР А. А. Ляпунова создавался центр притяжения юных математиков и физиков всей азиатской части страны: по результатам Всесибирской заочной олимпиады большую группу школьников приглашали в летнюю школу, а затем лучшие из них могли поступать в созданную при НГУ физико-математическую школу-интернат. По инициативе группы академиков в 1963 г. такие школы были созданы при Московском, Ленинградском, Новосибирском и Киевском университетах, позднее - и в других республиках; это также немало способствовало популярности олимпиад (вступительные экзамены в эти школы проводятся, как правило, на областных и республиканских олимпиадах).

Большую роль сыграло присоединение к олимпиадам физиков, особенно - активной группы комсомольцев из МФТИ (знаменитого на всю страну Физтеха), опиравшейся на поддержку ЦК ВЛКСМ. Возглавлял эту группу молодой преподаватель математики А. П. Савин (в нее входили, в частности, хорошо известные школьникам по журналу "Квант" физики, тогда еще студенты Л. Г. Асламазов, Ю. М. Брук, И. Ш. Слободецкий).

Если уже предаваться воспоминаниям, нужно сказать, что объединению усилий МГУ и МФТИ предшествовали горячие дискуссии. Дело в том, что в МФТИ придумали свою систему физико-математических олимпиад: студентам, аспирантам и преподавателям, разъезжавшимся на зимние каникулы, вручаются задачи и инструкции, как провести олимпиаду в родном городе, а все работы школьников они привозят в Москву на проверку (и, конечно, на Физтех!). В тех городах, где уже имелись свои многолетние олимпиадные традиции, "конкуренция" разных олимпиад казалась многим ненужной. Андрей Николаевич Колмогоров еще долго вспоминал, как "ленинградцы не позволили Савину" проводить у себя физико-математическую олимпиаду МФТИ по такой схеме. Было решено проводить олимпиады по математике и физике по единой многоступенчатой системе, при которой главная роль в областных, городских, районных и школьных олимпиадах отводилась местным ученым, преподавателям и студентам вузов, учителям. Для руководства олимпиадой был образован центральный оргкомитет. В него вошли представители Министерства просвещения, ЦК ВЛКСМ, общества "Знание". Председателем оргкомитета долгие годы был замечательный физик академик И. К. Кикоин, принимавший, несмотря на свою занятость, живейшее участие во всех олимпиадных и школьных Делах.

На первых олимпиадах в Москве заключительный тур по математике (в МГУ) и физике (в МФТИ) проводился почти одновременно, с таким расчетом, чтобы его участники могли попасть на олимпиаду по обоим предметам. По инициативе активистов из МФТИ победители олимпиады приглашались в молодежный лагерь ЦК ВЛКСМ "Орленок". Стали регулярно проводиться всесоюзные заочные олимпиады через газеты "Комсомольская правда", "Учительская газета" и местные молодежные газеты - их победители приглашались на очные республиканские и областные олимпиады (см. [4, 12, 14, 16, 17]).

Большую помощь организаторам местных олимпиад оказывали рассылаемые из Москвы списки рекомендованных задач, а также ставшие традиционными поездки студентов, аспирантов и преподавателей ведущих вузов страны на олимпиады в качестве представителей центрального оргкомитета. Кроме работы в жюри областных и республиканских олимпиад, им поручалось и много других дел: провести приемные экзамены в школы-интернаты, рассказать о вузах и вступительных экзаменах, обсудить с местными математиками и учителями постановку работы со школьниками, прочесть лекции; естественно, для этих поездок выбирались те, кто обладал уже достаточным опытом. Эти поездки имели большое воспитательное значение для самих студентов и аспирантов; многие из них позднее стали активными организаторами работы со школьниками.

Надо заметить, что, помимо энергии и времени молодых ученых, вся эта работа - особенно поездки на олимпиады, организация летних школ - требовала немалых финансовых затрат. И тот факт, что, помимо органов народного образования, ее активно поддерживали ректоры МГУ, МФТИ и других вузов, Министерство высшего образования, Академия наук, ЦК ВЛКСМ и целый ряд других организаций, не имевших прямого отношения к школьникам, отражал всеобщее внимание к развитию научного потенциала страны, характерное для тех лет. (Отчасти его можно сравнить с нынешней всеобщей увлеченностью информатикой и компьютеризацией, но есть, конечно, существенные отличия - значительно больший, общегосударственный размах, необходимость существенно больших средств, отсутствие многолетнего предварительного опыта, какой имелся у математиков.)

Еще одна тема, которую нужно затронуть, рассказывая о развитии олимпиадного движения и других возникших в 60-е годы форм работы со школьниками, - выпуск учебной и научно-популярной литературы. В те годы (к сожалению, лишь до 1962 г.) выходили прекрасные периодические сборники "Математическое просвещение", адресованные студентам, учителям, любителям математики, где обсуждались также и педагогические вопросы. С 30-х годов издавалась серия брошюр "Популярные лекции по математике", адресованных в первую очередь школьникам. Уже вышли первые выпуски "Библиотеки математического кружка" [33] - [40], отражавшие опыт школьного математического кружка при МГУ. Для начинающих "олимпиадников" по инициативе А. Н. Колмогорова был издан наш небольшой сборник [5].

Говоря о литературе для школьников, нельзя не вспомнить, конечно, и о первых изданиях книг [20] - [22] из серии "Библиотечка физико-математической школы", служивших образцовыми пособиями для учеников Всесоюзной заочной математической школы при МГУ. Академик И. М. Гельфанд, которому принадлежала идея создания такой школы (1964 г.), и сейчас является ее научным руководителем. ВЗМШ охватила уже не сотни, как интернаты, а тысячи, позднее - десятки тысяч школьников из самых далеких мест.

Тогда же, в середине 60-х годов, было задумано создание ежемесячного физико-математического журнала для школьников, хотя выходить этот журнал "Квант" начал лишь в 1970 г. В его организации основную роль сыграл коллектив математиков и физиков, сформировавшийся вокруг олимпиады; многие из них стали активными членами редколлегии, а академики И. К. Кикоин и А. Н. Колмогоров - постоянными руководителями редакции журнала. (В 1985 г., после кончины И. К. Кикоина, на постах главного редактора "Кванта" и председателя Центрального оргкомитета олимпиады его заменил академик Ю. А. Осипьян.) "Квант" связан с олимпиадами не только генетически, но и существенной частью своего содержания, кругом читателей и авторов. Победители конкурса "Задачник Кванта" получают приглашения на республиканские олимпиады - в этом отношении "Квант" заменил и перевел на постоянную основу заочные олимпиады 60-х годов.

Десятилетие 1966 - 1974 гг. - период "больших" олимпиад, проходивших в различных столицах союзных республик и нескольких городах России. Шестая Всероссийская олимпиада 1966 г. проходила в Воронеже - здесь впервые собрались представители всех областей РСФСР и всех республик. Следующая олимпиада в Тбилиси уже называлась 1-й Всесоюзной. По существу, все олимпиады 1961 - 1966 гг. можно было бы считать всесоюзными - на них были представители большинства союзных республик. Отсчет номеров с Тбилисской олимпиады 1967 г. связан с тем, что в этом году было образовано Министерство просвещения СССР, которое приняло на себя функции главного организатора олимпиад уже по трем предметам: математике, физике и химии. Хочется отметить постоянную заботу об олимпиадах со стороны министра просвещения М. А. Прокофьева и его заместителя М. И. Кондакова, а также с благодарностью вспомнить работников министерства, занимавшихся в те годы математическими олимпиадами, Н. А. Ермолаеву и Л. М. Пашкову. Олимпиада, став всесоюзной, еще несколько увеличилась - теперь на заключительный тур приезжали команды по 4 человека из всех областей не только России, но и Украины, Казахстана и других республик с областным делением. Кроме того, было решено приглашать дополнительно победителей (получивших первые и вторые премии) предыдущей олимпиады, чтобы дать возможность более полно представить сильные команды, так что число приезжих участников больших олимпиад, включая руководителей команд, 25 - 30 членов жюри, лекторов, членов оргкомитета, иногда доходило до 800 человек.

Варьировалась и форма проведения олимпиад. В 1968 г. по ленинградской традиции было решено попробовать провести олимпиаду в устной форме: вместо того чтобы записывать решения, участник олимпиады тихонько рассказывает свое решение группе из двух - трех членов жюри; если найдена неточность - у него остается еще возможность подумать над задачей (на каждую задачу дается три попытки). У многих неленинградцев эта система вызывала сомнения - как сравнивать требования разных членов жюри, не возникнут ли языковые трудности, недопонимание, - и для страховки решили такой эксперимент провести во второй из двух дней соревнований, а в первый сохранить обычную форму письменной работы. Хотя очень четко организованный "устный тур" прошел гладко и всем понравился, но без большой группы опытных ленинградцев его больше никогда не решались повторять.

Все следующие олимпиады, однако, по образцу международных, было решено проводить в два дня, чтобы дать возможность тем, кто случайно потерпел неудачу в первый день, поправить свои дела, а главное, полнее использовать дни, отведенные на заключительный тур, куда многие школьники приехали за тысячи километров. При такой системе возможно и большее разнообразие в предлагаемых задачах. Например, в Риге (1971 г.) во второй день соревнований председатель жюри Я. М. Барздинь и его заместитель М. И. Башмаков предложили устроить "исследовательский тур": участники должны были выбрать одну, самую интересную задачу и в ней постараться получить возможно более сильный результат. Этот эксперимент, одобренный А. Н. Колмогоровым, прошел весьма успешно; к нему возвращались (правда, в менее полной форме) и на некоторых следующих олимпиадах.

К сожалению, на всесоюзных олимпиадах не удалось осуществить идею, неоднократно высказывавшуюся А. Н. Колмогоровым: один из дней соревнований начать о лекции на заранее неизвестную участникам тему и затем предложить на эту тему несколько задач, продолжающих разобранные на лекции (такой эксперимент был успешно проведен лишь в 1985 году на 1-й Всесоюзной математической олимпиаде для учащихся СПТУ - лекцию на тему "геометрические вероятности" прочитал А. И. Плоткин).

К середине 60-х годов сформировался коллектив математиков из разных городов, игравших главную роль в подготовке и проведении олимпиад. Назовем некоторых из них: М. И. Башмаков, Ю. И. Ионин, А. И. Плоткин (Ленинград), А. К. Толпыго (Киев), Г. Ш. Фридман (Новосибирск - Омск), Г. А. Тоноян /(Ереван), А. Д. Бендукидзе (Тбилиси), М. И. Серов (Вологда - Петрозаводск), Е. А. Морозова, В. М. Алексеев, Н. Б. Васильев, В. Л. Гутенмахер, М. С. Дубсон, А. А. Егоров, Б. М. Ивлев, Н. Н. Константинов, Ю. П. Лысов, Ж. М. Раббот, А. П. Савин, В. А. Скворцов, Д. Б. Фукс (Москва). Разумеется, состав постоянно работающей методической комиссии и жюри менялся, к нему присоединялись новые активные помощники из Москвы и других городов. Назовем еще ряд математиков из тех, кто участвовал в 70-е годы во многих олимпиадах и оказал существенное влияние на их проведение: В. Б. Алексеев, А. А. Берзиньш, И. Н, Бернштейн, Г. А. Гальперин, М. Л. Гервер, А. Г, Гейн, А. Н. Земляков, И. Н. Клумова, А. В. Кочергин, А. Г. Кушниренко, С. А. Мазуров, Н. X. Розов, С. В. Фомин, С. А. Тресков, В. М. Харламов, Г. Н. Яковлев.

В последние годы в организации олимпиад особенно активную роль играют В. В. Вавилов, Ю. В. Нестеренко, С. В. Конягин, Л. П. Купцов, С. В. Резниченко, И. Н. Сергеев, А. М. Слинько, Ю. П. Соловьев (Москва); А. С. Меркурьев, Н. Ю. Нецветаев (Ленинград); А. В. Анджанс (Рига), В. И. Берник, И, К. Жук {Минск), Д. Г, Флаас, Е. И. Хухро (Новосибирск), Н. В. Карташов (Киев); Б. И. Чиник (Кишинев).

Какие же задачи ставили перед олимпиадами ее организаторы? Помимо выявления победителей, формирования команды СССР на международную олимпиаду, привлечения одаренных и серьезно увлекающихся наукой школьников в ведущие вузы страны, важной целью олимпиады было развитие интереса школьников к математике, вовлечение в постоянную работу с ними большего числа преподавателей и студентов вузов, научных сотрудников, учителей, установление постоянных контактов между энтузиастами математического просвещения. В самом деле, олимпиада играла роль "связующего стержня" различных форм работы со школьниками, возникших почти одновременно в 1963 - 1965 гг. и получивших затем широкое распространение - таких, как заочные конкурсы, летние лагеря, специализированные физико-математические, заочные математические школы.

На заключительном туре, да и на других этапах олимпиады, где собираются участники из разных городов, самым ценным является возникающее общение между взрослыми и юными математиками.

Большое значение имеет сотрудничество членов жюри, приезжающих из Москвы, Ленинграда и других городов, с математиками из города, где проводится олимпиада. (Как правило, один из двух "старших" по каждому классу, а также председатель жюри из города-устроителя.) Участие местных математиков - их советы, предложенные ими задачи - во многих случаях способствовало успеху олимпиады, В свою очередь, ими с одобрением воспринимались традиции центрального жюри: тщательная подготовка задач; многократная проверка работ школьников, позволяющая выявить новые идеи решений и возникшие "нюансы"; открытый и демократичный стиль всех обсуждений; подробный индивидуальный разбор работ, проходящий в атмосфере доброжелательных отношений между членами жюри и участниками. Особенно внимательны были члены жюри "больших" олимпиад при проверке работ восьмиклассников и учеников из сельских "далеко не математических" школ, авторы которых испытывали большие трудности в записи решений непривычных задач. В отличие от экзаменов, требования к оформлению работ на олимпиаде были достаточно либеральными: скажем, если изложены все основные логически важные этапы, а детали выкладок остались лишь в черновиках - оценка не снижалась. Подробнее на работе жюри мы не будем останавливаться - она в основных чертах следовала давним традициям Московской олимпиады (см. [9], [13]).

В научной программе всесоюзных олимпиад, кроме самих соревнований и разбора работ, предусматривается дополнительное время для встреч со школьниками: местные и приезжие ученые выступают перед ними с лекциями. Можно только позавидовать школьникам, которым довелось слушать лекции А. Н. Колмогорова. Не раз в качестве лекторов выступали и молодые, но уже получившие известность математики - бывшие победители олимпиад. Для восьмиклассников часто устраивались занятия в виде "математического кружка" (одно из них обычно вел Н. Н. Константинов). На олимпиаду для встреч со своими учениками приезжали преподаватели ВЗМШ. Традиционной стала встреча с редколлегией журнала "Квант".

При всей занятости члены жюри считали очень важным найти время для обстоятельных бесед с местными работниками народного образования и руководителями команд - учителями, методистами и математиками, приехавшими со всей страны. Речь шла не только об олимпиаде и конкретных работах школьников, но и о разнообразных вопросах, связанных с положением дел в массовой школе, о содержании и различных формах дополнительного математического образования.

О том, как проходила каждая олимпиада - насыщенный разнообразными впечатлениями, экскурсиями, встречами праздник для ее участников, завершающийся торжественным награждением победителей, - мы, конечно, не имеем возможности здесь рассказать (см. [78 - 80]).

С 1975 г. в связи с организационными трудностями было принято решение изменить структуру олимпиадной "пирамиды": включить в нее республиканские олимпиады в РСФСР и других больших республиках, а число участников заключительного тура сократить. (Надо сказать, что математики возражали против такого изменения, - уж слишком много "ярусов" нужно преодолеть участникам - но физики и химики его поддержали: они получили возможность, как принято на международных олимпиадах, проводить для всех участников "экспериментальный тур".)

Всесоюзная математическая олимпиада школьников проходит теперь в пять этапов: школьный, городской и районный, областной, республиканский и заключительный - всесоюзный. На него приглашают школьников 8 - 10 классов - победителей республиканских олимпиад: 48 от РСФСР, 12 от Украины, по 6 от Белоруссии, Казахстана и Узбекистана, по 3 от других союзных республик, городов Москвы, Ленинграда и города-устроителя олимпиады, кроме того, команды ряда физико-математических школ-интернатов, а также победители заключительного тура предыдущего года - всего около 150 школьников.

Конечно, при этом олимпиада приобрела еще более "спортивный" характер. К старым традициям, которые во многом сохранились, добавились и некоторые новые; среди них - "математический бой" между сборными командами жюри и школьников. (Если команду жюри возглавляет бывший чемпион нескольких олимпиад С. В. Конягин, она, как правило, одерживает трудную победу.)

Сейчас функции "связующего стержня", которые в 60-е и 70-е годы выполнял заключительный тур, в значительной степени должны быть отнесены к предшествующим этапам - республиканским и областным олимпиадам, где работа часто возглавляется молодыми учеными - бывшими победителями олимпиад. Самым массовым и, быть может, главным в "пирамиде олимпиад" является не вершина, а скорее ее основание - школьные, районные, городские и областные олимпиады, проводимые местными математиками и учителями - настоящими энтузиастами своего дела. Ведь математика нужна не только будущим ученым, и основная цель олимпиадного движения - не "выращивание олимпиадных чемпионов", а зарождение и развитие постоянного интереса к математике, расширение кругозора школьников. Эта работа успешно проводится там, где олимпиады составляют часть продуманных, хорошо организованных занятий со школьниками и студентами - будущими учителями .[11],. По итогам заключительного тура за несколько лет можно отчасти оценить результаты этой работы; отметим, в частности, постоянство успехов ленинградцев, удачные выступления школьников Латвии и Белоруссии за последние годы.

Конечно, добраться до верхних ступеней олимпиадной пирамиды - дело не простое: помимо математических способностей и большой подготовительной работы, для побед на олимпиадах требуются особые качества "спортсмена-многоборца", умение быстро переключаться с одной задачи на другую - черты характера, вовсе не обязательные даже для профессионала-математика. В связи с этим мы хотим привести один абзац из предисловия, написанного А. Н. Колмогоровым - редактором книги [5]; в той или иной форме Андрей Николаевич постоянно высказывал эту мысль перед участниками олимпиад.

"Наша страна нуждается в большом числе хорошо подготовленных и талантливых математиков. Очень важно, чтобы профессию математика выбирали те представители нашей молодежи, которые могут работать в этой области наиболее продуктивно. Одним из путей привлечения одаренной молодежи к математике являются математические олимпиады. Участие в школьных и математических кружках и олимпиадах может помочь каждому оценить свои собственные способности, серьезность и прочность своих увлечений математикой... Желая читателям сборника всяческих успехов в решении задач и побед на школьных, городских, Всероссийских олимпиадах, я хочу в то же время заметить, что пути к серьезной работе в области математической науки разнообразны. Одним легче дается решение замысловатых задач, другие вначале не выделяются на этом поприще, но, двигаясь медленно, овладевают глубоко и серьезно теорией и несколько позднее научаются работать самостоятельно. В конечном счете при выборе математики как предмета основных интересов и работы на долгое будущее каждый должен руководствоваться собственной самооценкой, а не числом премий и похвальных отзывов на олимпиадах."

* * *

Хотя полезность увлечения "спортивной" стороной олимпиад и небезусловна, но в опыте прежних олимпиад есть и непреходящая ценность: это - интересные задачи. За последние годы вышло несколько сборников таких задач [9], [41]. Многие из олимпиадных задач заслуживают значительно более глубокого обдумывания, чем позволяет несколько часов, отведенных на соревнованиях. Особенно это относится к неоднократно предлагавшимся на всесоюзных олимпиадах "исследовательским" задачам, решения (или обобщения) которых - по существу небольшие научные работы, содержащие интересный результат. Зачастую такие задачи представлены в виде серии усложняющихся вопросов; их больше всего в олимпиадах 70-х годов. Многие из этих задач относятся к дискретной математике, где нетривиальный результат нередко основан на хитроумных, но вполне элементарных конструкциях и рассуждениях.

Тема одной из них .(158) - о "переключательных схемах" - была, по-видимому, впервые предложена А. Н. Колмогоровым на студенческом семинаре в 1957 г. (основную конструкцию, изображенную на рисунке 3 к условию задачи, придумал участник этого семинара, однокурсник авторов Ю. П. Офман).

Присланная в редакцию журнала "Квант" студентом из г. Черновцы Э. Туркевичем задача о коммутирующих многочленах (251) заинтересовала специалистов по алгебре и анализу, в том числе, - И. Н. Бернштейна - он и переделал ее в олимпиадную задачу, добавив несколько промежуточных "ступенек" (пунктов). Затем дальнейшим изучением этой темы занимались ученики 145-й математической школы г. Киева под руководством А. К. Толпыго и ФМШ при МГУ ("колмогоровской" школы-интерната) под руководством А. П. Веселова.

Любопытный, хотя, пожалуй, и уникальный случай произошел с задачей 128 - довольно искусственным на вид "циклическим неравенством" - продолжая ею заниматься, один из победителей олимпиады В. Г. Дринфельд сделал свою первую научную работу (см. комментарий к решению задачи).

Мы не можем, разумеется, подробно рассказать о каждой интересной задаче всесоюзных олимпиад. В конце книги (с. 284) перечислен ряд красивых задач разной трудности - указаны их авторы, номера в книге и для некоторых - "кличка", по которой их вспомнят знатоки. Разумеется, этот список, отражающий мнение авторов и их коллег, отчасти произволен, другие математики составили бы его иначе.

Решения многих задач записаны в книге коротко, иногда это скорее подробные указания, разобраться в которых и довести решение до конца стоит определенного труда. Мы приводим, как правило, лишь одно из возможных решений, которое показалось нам более поучительным (или позволяющим получить более общий результат). Лишь к отдельным задачам даны два решения, основанные на различных идеях. В комментариях к решениям отдельных задач (после значка У) обсуждаются возможные обобщения.

Собранные в этой книге задачи - итог работы большого коллектива математиков разных поколений, со многими из которых авторов связывает многолетняя дружба. Мы хотели бы выразить им глубокую благодарность.

Подготовка книги была начата несколько лет назад по инициативе академика А. Н. Колмогорова. По первоначальному плану в нее должны были войти лишь задачи олимпиад 60-х и 70-х годов, в которых авторы принимали непосредственное участие. По предложению редактора книги А. П. Савина, активное участие которого в олимпиадах на протяжении уже 30 лет должно быть особо отмечено, в книгу были добавлены, в качестве задач для самостоятельного решения, задачи последних всесоюзных олимпиад. (Краткие указания к ним, написанные А. А. Егоровым, в основном следуют решениям, опубликованным в журнале "Квант".) Среди ветеранов олимпиадного движения мы считаем необходимым выделить Н. Н. Константинова, энтузиазму которого обязаны своим появлением и развитием новые формы работы со школьниками, продолжающие традиции первых олимпиад [81].

Мы признательны всем, чьи советы и помощь помогли при подготовке книги, прежде всего М. И. Башмакову, В. Л. Гутенмахеру, Ж. М. Рабботу, Ю. П. Соловьеву, А. Б. Сосинскому, В. М. Тихомирову, А. К. Толпыго, Д. Б. Фуксу.

Мы были бы рады получить от читателей письма с замечаниями, новыми решениями и результатами; просьба присылать их в адрес редакции журнала "Квант"; 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1.

Источник: МЦНМО / Золотой фонд популярной физико-математической литературы