А. Н. Колмогоров и проблема развития математической одаренности

("Вопросы психологии", № 3, 2001 г.)

В. С. Юркевич

В случае А.Н. Колмогорова психологам предлагается редкая и, видимо, полезная в научном смысле ситуация:– математический гений размышляет по поводу развития математических способностей у детей и юношества. Следует учесть при этом, что он почти всю жизнь конкретно, как педагог, занимался развитием одаренных детей и юношей, постоянно анализируя свой собственный опыт в этом отношении. Имея в виду несомненную ценность этого опыта для развития теории и практики развития высоких (творческих) способностей, грех им не воспользоваться.

В 1971 году В.А. Крутецкий, специалист в области развития математических способностей, автор монографии на эту тему, отправил А.Н. Колмогорову анкету- опросник, где интересовался обстоятельствами его биографии и его мнением о развитии математических способностей. Примерно в это же время В.А. Крутецкий выслал Колмогорову свою монографию и в ответ получил от него развернутый анализ по существу самой проблематики. Весьма содержательный ответ объяснялся не только входившей в характер Колмогорова потребностью тщательно обдумывать свои мысли, но и еще и тем обстоятельством, что эта тема была для него далеко не посторонняя. Хотя и с большими перерывами, А.Н. Колмогоров не оставлял преподавания в средней школе в течение всей своей жизни. При этом он был создателем учебников по математике для средней школы и знаменитой московской школы- интерната для одаренных детей. 

Понятно, что переписка великого математика и психолога по проблемам развития математической одаренности представляет интерес и сама по себе. Однако, на наш взгляд, для содержательного понимания сути затронутых в ней вопросов необходимо выйти за пределы этой переписки и рассмотреть ее в более широком контексте мыслей А.Н. Колмогорова о проблемах развития высоких способностей.

Тот факт, что Колмогоров был выдающимся математиком, естественно, не означает, что априори мы должны так думать и относительно его идей о развитии математических способностей. Для выработки достаточного доверия именно к этим идеям А.Н. Колмогорова, для понимания того, насколько содержательно и глубоко были обеспечены его психологические идеи, мы считали необходимым обратиться к опыту его становления как математика, с одной стороны, и опыту его педагогической деятельности, с другой. 

Колмогоров – гениальный ученый и человек. 

А.Н. Колмогоров был гением. Хотя все критерии одаренности, тем более такого, в каком-то смысле почти предельного уровня, достаточно условны, все же несколько критериев гениальности давно сложились. Первый - очевидный, основывающийся на факте признания человечеством творческих заслуг того или иного деятеля. При всей неопределенности и противоречивости существующих определений, гениями, если судить по специальной и общей справочной литературе, называют, как правило, одних и тех же людей. Приходится констатировать, что мнение научного сообщества о вкладе А.Н. Колмогорова в науку выражается, главным образом, в таких превосходных, скорее, даже чрезвычайных степенях (1,2,3). Точно такого же рода эпитеты в большинстве случаев сопровождают имя А.Н. Колмогорова в энциклопедиях и словарях. 

На наш взгляд, необходим и второй критерий гениальности, хотя и существенно более спорный, но для психолога никак не менее значительный. Речь идет о специфической личности выдающегося человека, неслучайным и неконъюнктурным образом приводящая к выдающимся профессиональным результатам.

В той или иной мере на этот критерий указывают многие авторы, но наиболее определенно его формулирует немецкий психолог и психиатр Э. Кречмер. По его мнению, «почву для … гения создают внутренние психологические закономерности. Это значит, что, как в самой личности гениального человека, так и в носящих ее отпечаток творениях должны присутствовать специфические особенности, на которые общество реагирует высокими ценностными оценками» (5, стр. 14). Иначе говоря, речь идет о том, что собственно психологические особенности личности и жизни человека, которого мы считаем великим, должны удовлетворять некоторым интуитивно предполагаемым критериям. Эти критерии, значительно упрощая, сводятся к следующему: гений должен отличаться от обычного человека и по своим личностным качествам, по необычности той жизни, которую он проживает. Возможно, что при введении этого критерия совершается своего рода нарушение формальной логики - то, что является лишь необходимым условием гениальности, вводится в качестве критерия. Однако для психологической работы такой критерий, безусловно, обязателен. 

Гениальные достижения могут принадлежать только гениальной личности, и в случае Колмогорова эта общеизвестная истина получает еще одно безусловное подтверждение. Как пишет его ученик, академик В.А. Успенский, «в Колмогорове все чрезвычайно» (2, стр. 9).

В частной жизни, даже в общении с людьми, достаточно далекими от математики, (например, поэтом Б.В. Заходером ) Колмогоров воспринимался как именно гениальный человек. Отчетливо эту мысль выразил один из его учеников: «Колмогоров давал окружающим новое, не сравнимое ни с чем ощущение почти физиологического свойства - ощущение присутствия при чем-то великом и гениальном» (акад. В.А. Успенский, 3, стр. 283). 

По-видимому, для сколько-нибудь полного описания личности Колмогорова необходимо значительное пространство текста, которого мы лишены. Отметим только, что и познавательная деятельность ученого (в том числе и не относящаяся к математике), и его, как это сейчас называется, «хобби», и особенно его отношения с окружающими несут на себе отпечаток особой, гениальной личности. 

Характеризуя, скажем, «многомерность» познавательную деятельности Колмогорова, один из его учеников считает необходимым ввести все три измерения: широту, глубину и высоту. (2, стр.12). Если относительно высоты достижений доказательства не требуются, то, как отмечает этот же автор, «широта научных интересов Колмогорова имеет мало прецедентов в 20-ом веке. Спектр этих интересов простирается от метеорологии (Колмогоров был почетным членом Американского метеорологического общества), до теории стиха (академик Лихачев был ответственным редактором сборника стиховедческих работ А.Н. Колмогорова)». (2, стр.12). При этом сам ученый считал, что его «посторонние» для математики занятия принципиально важны для развития творческих потенций именно в основной для него области- математике. Об этом несколько подробнее в соответствующей части этой статьи.

Удивительную страсть А.Н. вкладывал и в свое увлечение физической, или, как он сам называл, «телесной» культурой. Хотя он никогда не занимался « состязательным спортом», однако поддержанию себя в надлежащей физической форме он уделял не меньше внимания, чем математическому творчеству (2, стр.11). «Прекрасный лыжник, , опытный гребец, участник многих восхождений, водных и горных путешествий. (3, стр,286). Тяжело заболев, он очень переживал, что не может , как раньше, проводить много времени на лыжне или заниматься плаванием.

Что же касается взаимоотношений А.Н. с учениками, с друзьями, то это едва ли не самая пафосная и поразительно искренняя часть воспоминаний о нем его учеников и друзей (3). Читая воспоминания учеников Колмогорова, невозможно отделаться от мысли, что этот непрерывно занятый творческим трудом человек, которого уже при жизни называли гением, абсолютно не считался со своим временем, когда речь шла о его учениках. Со многими своими учениками он устанавливал «доверительные отношения» (из воспоминаний А. С. Монина, 3, стр.480). Это была настоящая, не терпящая снисходительности дружба. Он пишет рецензии на их стихи (для внутреннего использования, только для самого ученика - А.С. Монин, там же). Пишет длинные, удивительно теплые письма, когда его ученик чувствует «разочарование» в жизни или «опустошение» (воспоминания В.М. Тихомирова, 3, стр.254). 

Как много значили для него человеческие отношения, и, в частности, его ученики, Колмогоров удивительно поэтично выразил в одном из своих писем к В.М. Тихомирову: «Если бы существовал лучший мир, где люди собирались бы вновь все вместе с умершими для вечной жизни, то у каждого там была бы соответствующей длины неделя, в течение которой он один день проводил бы с самим собой и Господом Богом, а остальные по очереди с каждым из этих в самом деле бывших ему на земле близких людей». И дальше он пишет своему ученику, что «по субботам он вновь плавал бы с ним по речке Лопасне или блуждал бы среди цветущей черемухи по Заонежью» (3, стр.256). Он часто цитировал строчку из Ахматовой: «души высокая свобода, что дружбою наречена» (там же, стр.260).

Ученики Колмогорова, как пишет Я. Г. Синай, (между прочим, не такие уж молодые люди) «пытались подражать своему учителю, копировать его интонации, жесты и т.п. Но повторять неповторимое невозможно» (3, стр.540).

Путь А.Н. Колмогорова в математику. 

На вопрос о пути своего становления как математика А.Н. отвечал, что его путь в математику был «извилистым» (1, стр.16). В детстве Колмогоров не был вундеркиндом. Иначе говоря, не было того резкого умственного опережения, которое заставляет окружающих возлагать на ребенка особые, редко оправдывающиеся надежды на замечательное будущее. Правда, как он сам пишет, «интерес к математике проявился достаточно рано. Так, где-то в четыре- пять лет придумал и сам решил такую задачу: имеется пуговица с четырьмя дырочками. Для ее закрепления достаточно протянуть нитку, по крайней мере, через две дырочки. Сколькими способами можно закрепить пуговицу?».

В этом же возрасте, по его словам, «испытал радость математического открытия, открыв закономерность- образование последовательных квадратов:
1=1²
1+3=2²
1+3+5=3²
1+3+5+7=4² и так далее.

Но потом, в средних классах, победили другие интересы: он всерьез увлекается биологией, потом появились шахматы. Уже ощущая свою силу, все же бросает шахматы навсегда. В школьные же годы приходит черед истории и социологии. Мечтает о справедливом государственном устройстве и пишет утопическую конституцию островного государства- коммуны. Хочет быть лесоводом.

Когда кончил среднюю школу, то, пишет Колмогоров, « занимался серьезным образом в семинаре С.В. Бахрушина. В 1920 году сделал свой первый научный доклад, посвященный земельным отношениям в Новгороде на основе писцовых книг 15 -16 вв. При этом увлекала металлургия и параллельно с университетом поступил на металлургический факультет химико - технологического института и некоторое время там проучился. «Окончательный выбор математики как профессии,- пишет Колмогоров,-произошел, когда я начал получать первые самостоятельные научные результаты, то-есть лет с восемнадцати- девятнадцати» (1, стр.16).

Свой обычный, ни в коей мере не ускоренный тип развития Колмогоров рассматривал как неслучайный и принципиальный для развития творческих способностей и несколько скептически относился к так называемым « вундеркиндам». Об этом ниже.

О педагогической деятельности А.Н. Колмогорова. 

Педагогическая деятельность Колмогорова была и удивительно счастливой, и вместе с тем трагической. Как пишет его ученик А.Н. Ширяев: « школьная математика была предметом его постоянного интереса и заботы на протяжении всей его жизни» (3, стр.129). Колмогоров сообщает в своей автобиографии, что «с 1922 года (с 19 лет - В. Ю.) начал преподавать математику» (2, стр.21). Очень рано, почти сразу после окончания университета, у него появляются ученики- студенты и аспиранты. В это же время несколько лет заведовал кафедрой математики в педагогическом институте. В разных вариантах А.Н. Колмогоров занимался педагогической деятельностью на протяжении всей своей жизни.

Чтобы понять, какова была этика его как учителя, стоит привести слова одного из его учеников - В.А.Успенского: «по современным нормам Колмогоров должен был бы числиться соавтором многих статей своих учеников, но он, как правило, воздерживался от включения себя в число формальных авторов". (2, стр.17).

Под его руководством в 1963 году была создана школа - интернат № 18 физико- математического профиля для одаренных школьников, а в 1970 году вместе с академиком Кикоином создает научно- популярный журнал « Квант» для школьников.

Особая структурированность мышления, поразительная интуиция, удивительная ясность мышления вполне проявлялись и в его педагогической деятельности. Вот вполне практический вопрос - его ученик, будущий академик В.А. Успенский выбирает школу для сына. «Ввиду серьезности вопроса отправился к Колмогорову за советом. Он отнесся к проблеме с полным вниманием и разъяснил мне, что школы бывают плохие и хорошие и что возникает это деление так: в какой-то школе путем флуктуации образуется ядро хороших (или плохих) учителей. И далее ядро начинает притягивать к себе подобных же учителей, а учителя с противоположным знаком не уживаются. Вот под этим углом и надо присматриваться к школам». Автор воспоминаний отмечает, что по этому критерию была выбрана хорошая школа, хотя и «с поправкой на то, что наша школа есть бедствие как бы по определению» (3, стр. 356).

Колмогоров был для своих учеников замечательным учителем (точнее, Учителем), но университетским лектором, школьным педагогом в обычном смысле Колмогоров был далеко «не идеальным». Мешало, по мысли академика А.С. Монина, то очевидное обстоятельство, что Колмогоров был « слишком творческим человеком». Часто «мысль обгоняла его речь, и он скороговоркой сообщал, что его утверждение является очевидным следствием из теории и извинялся, что задерживает внимание аудитории на таком тривиальном моменте» (3, стр.476). Тот, кто хотел и мог расшифровать его высказывания, обнаруживал в них «очень глубокие мысли» (там же).

Говоря о Колмогорове- педагоге, невозможно уйти от вопроса о его учебниках по математике, созданных под прямым его руководством, и, по общему мнению, оказавшимися не совсем удачными. Колмогоров еще в 1939 году, вместе с П.С. Александровым, выпустил учебник алгебры. Вплотную к созданию целого комплекта школьных учебников по математике он подошел на рубеже 50- 60 гг. В 1964 году Колмогоров возглавил комиссию по реформе школьного математического образования. Будучи руководителем авторского коллектива, Колмогоров всегда принимал непосредственно - практическое и часто очень значительное по объему участие в работе над учебниками. ( Р.С. Черкасов, 3, стр.583). Но массовая школа учебники Колмогорова отвергла.

Причин неудачи, видимо, несколько. Главной своей задачей при создании учебников Колмогоров считал их соответствие самым высоким требованиям, поставленных прежде всего математикой. Возможно, что подготовка учебников для массовой школы предполагает совершенно другие критерии в качестве системообразующих. Судя по всему, создание учебников, - это деятельность прежде всего педагогическая и уже во вторую, а, может, и третью очередь - специально научная.

Стремление Колмогорова к последовательной и полной строгости изложения, свойственный ему перфекционизм, сложившисмя у него опыт работы, в основном только с одаренными учениками - все это привело к очевидным трудностям усвоения этих учебников обычными, не одаренными школьниками. «Стали искать виноватых - журнал, «Коммунист», академик Понтрягин обвинили во всем Колмогорова. Колмогоров болезненно переживал эту ситуацию. Угнетенный очередным жестким обсуждением, он получил тяжелую травму головы, надолго, а по сути дела, навсегда выведшую его из строя». …( из воспоминаний Г.И. Катаева, 3, стр. 467).

О диагностике способностей. 

А.Н. Колмогоров весьма определенно выразил свое отношение к злободневной и тогда, и сейчас проблеме использования тестов для выявления одаренности. В своей книге В. А. Крутецкий в полном соответствии с требуемым в те годы критическим отношением к буржуазной практике тестирования подробно анализирует недостатки тестового метода, даже не пытаясь, хотя бы частично, понять другую позицию. 

Колмогоров пишет: « необоснованной и тенденциозной кажется мне безусловное осуждение «диагностического употребления тестов» (во всех случаях, где не дается ссылка на работы, цитаты приводятся по материалам переписки). Он пишет Крутецкому, что приводимый им пример тестовой задачи, которую можно решить лишь методом перебора, действительно не годится для выявления способностей, но из этого следует только то, что «такие задачи не следует давать при тестировании». 

Более того. Колмогоров хочет сделать «первым этапом отбора студентов МГУ именно тестовое испытание, оно сократило бы число абитуриентов на следующих этапах и дало бы возможность индивидуального подхода к анализу письменной работы, поданной на втором этапе, а на третьем этапе поручить вести устное собеседование действительно квалифицированным экзаменаторам». 

В настоящее время после разного рода « шараханья» -от полного непризнания тестов до их бесконтрольного применения - кажется, что психологи нашли достойное место для тестирования в ряду других методов выявления способностей ребенка. Сейчас мы оказались в той точке отношения к тестам, которую тридцать лет назад предсказала интуиция Колмогорова. 

Об отборе старшеклассников на специализированное обучение. 

Как считает Колмогоров, отбор на специализированное обучение не может производиться «ранее перехода из восьмого класса в девятый». По мнению Колмогорова, для этой цели нельзя использовать как способ отбора результаты математических олимпиад. Цель олимпиады, по его мнению, в том, чтобы « много сотен тысяч» школьников почувствовали , что «математика им легко дается» и могли в дальнейшем «учесть эту сторону своих возможностей». Увлеченный спортсмен, Колмогоров был категорически против превращения олимпиад в своего рода «интеллектуальный спорт».

В настоящее время, хотя и с большим скрипом, психологам понемногу удается убедить в этом учителей и функционеров от образования. 

Развитие одаренности и проблема возраста. 

А.Н. Колмогоров уже тогда, тридцать лет назад, видел опасность, которая сейчас стала очевидной для большинства психологов, работающих в области одаренности. Он весьма скептически относился к тому, что по выражению Н.С. Лейтеса, относится только к «возрастной одаренности». Колмогоров в переписке с Крутецким пишет, что « мы теряем много медленно развивающихся потенциально крупных талантов. И далее еще жестче - « в последние годы эта опасность сильно возросла при развившемся ажиотаже вокруг «одаренности» (кавычки Колмогорова) и особенно математической». 

И в связи с этим Колмогоров ставит вопрос об оптимальных темпах обучения и тренировки. «Ученые, - пишет Колмогоров должны были бы дать отчетливый ответ о среднем разбросе оптимальных сроков прохождения школьного курса». По мнению А.Н. Колмогорова, этот разброс довольно велик: «примерно +1 год к 17 годам., что соответствовало бы +3 в виде трехсигмовых пределов для редких исключений». Очевидно, что ускоренное прохождение школьной программы, вообще ускоренное развитие, которое много лет является чуть ли не главным критерием высоких способностей, по мнению Колмогорова, мало о чем свидетельствует. 

Именно потому для всех, кто работает с одаренными детьми- математиками, он ставит следующие вопросы:

1. «в каком возрасте можно, независимо от тренированности и различий в физиологически обусловленных темпах развития уловить хотя бы в первом приближении математические способности…

2. в каком возрасте форсированное развитие задатков математического мышления уже реально влияет на достижение «потолка» способностей». ( Понятие «потолка» вводится Крутецким, А.Н. Колмогоров употребляет его по понятным причинам только в кавычках) .

Оба этих вопроса в другом месте – в ответах на анкету- формулируются им с почти максимальной степенью четкости:
«сейчас дело идет о выявлении математически одаренных детей с целью организованного форсирования их математических занятий. Следует решить не вопрос о том, когда это возможно, а когда это целесообразно (подчеркнуто А.Н. Колмогоровым).

Такую постановку вопроса он дополняет личным опытом, весьма уместным, имея в виду масштаб его математического дарования: « что касается лично меня, то я думаю, что ни я сам, ни математическая наука ничего не потеряли из – за того, что задача «выявления» (кавычки Колмогорова) моих математических способностей была предоставлена мне самому. Я начал систематически дополнительно заниматься математикой в возрасте 15-16 лет, когда сам решил, что это серьезное и нужное дело».

Есть и другая точка зрения, которой следуют многие наши педагоги и даже психологи - специалисты по одаренности. Они почему- то считают, что чем раньше развивать специальные способности, тем лучше.( Кстати, и В.А. Крутецкий, в переписке с которым А.Н. обозначил эти мысли, судя по монографии, считал возможным и необходимым ранние специализированные занятия с одаренными к математике детьми. По значительно продвинутой программе - сравнительно со школьной - он занимался математикой с одаренной девочкой Соней Л. ) Если иметь в виду последние физиологические и психофизиологические исследования о сензитивных периодах развития, с одной стороны, и исследования о закономерностях развития общих способностей, с другой, то приходится признать, что позиция, представленная выдающимся математиком, психологически значительно больше обоснована, чем бытующая в ряде школ система раннего интенсивного и специализированного обучения одаренных детей.

Как развивать творческие способности. 

Как считает Колмогоров, «до 10-12 лет-с довольно хорошим успехом заменим общим воспитанием сообразительности и умственной активности. « Весьма желательны», -пишет Колмогоров,- и внешкольные занятия - типа математических кружков, но в них « следует по возможности избегать установки на предопределение будущих профессиональных интересов».

Другое дело старшие классы, где "«запоздание с усвоением строгой логики и специальных математических навыков в 14-15 лет делается уже трудно восполнимым».

О развитии творческих способностей.

Уже тогда, тридцать лет назад, Колмогоров четко определяет для себя разницу между высокими способностями к изучению математики, с одной стороны, и собственно творческими способностями в этой области, с другой. Правда, выбирая для себя учеников среди студентов и выпускников мехмата, Колмогоров в качестве «вступительного» экзамена ставил им задачи такого уровня сложности, что острота проблемы, являются ли высокие математические способности этого аспиранта или студента по преимуществу лишь способностью к обучению или все-таки способностью к творчеству, резко снижалась. Правда, есть основания думать, что именно в математике, на высоких уровнях ее овладения, разрыв между этими разными типами способностей (творческим и усваивающим) существенно меньше, чем в какой-либо другой науке.

Однако такая проблема пред Колмогоровым, Учителем и педагогом, все же стояла. И он формулирует ее с удивительным изяществом: «практически для науки нужна способность как- либо добраться с хорошим, ну хотя бы пассивным пониманием до рубежа между известным и неизвестным, а затем в каком- либо пункте перескочить (подчеркнуто А.Н. Колмогоровым ) этот рубеж и открыть нечто новое». 

Многим, весьма подготовленным математикам, это не удается, особенно в областях прикладной математики. Как пишет Колмогоров: «существует тип математиков, у которых пристрастие к математической строгости и ясности постановки задач мешает (подчеркнуто А.Н. Колмогоровым) их работе в направлениях, в которых постановка задач вытекает непосредственно из естествознания и техники и в которых для получения самих математических результатов важна интуиция…, умение формировать математическую гипотезу из анализа запутанного материала. Противоположный, синтетический тип сейчас дефицитен, но очень нужен». 

По мысли Колмогорова, чтобы стать творческим математиком, нужно, во- первых, сохранять, культивировать у себя своего рода «детское мышление». По мнению А.Н. Колмогорова, способности к математическому творчеству у человека тем выше, чем на более ранней стадии общечеловеческого развития он остановился. Самый гениальный наш математик: ( судя по всему, имеется в виду Гаусс - В.Ю.),- говорил А.Н. Колмогоров, остановился в возрасте четырех- пяти лет, когда «дети любят отрывать ножки и крылышки насекомым». Себя А.Н. Колмогоров считал «остановившимся на уровне тринадцати лет, когда мальчишки очень любознательны и интересуются всем на свете, но взрослые интересы их еще не отвлекают» (из воспоминаний В.И. Арнольда, 3, стр.158). 

Самодиагноз А.Н. с психологической точки зрения безупречен. Если учесть невероятную широту «посторонних» научных интересов математика Колмогорова - от гидродинамики до поведения в русской речи падежа, знать его литературные вкусы - от Евтушенко до Томаса Манна и Ахматовой, его культ дружбы и то особое место, которое в его жизни занимал спорт, то в этом случае возникает именно образ типичнейшего подростка. 
Но у Колмогорова есть еще одно условие для развития математической интуиции, о котором мы уже упоминали выше. Впрочем, это условие некоторым образом связано с первым. Это обязательные для любого творческого ученого интересы, выходящие за рамки его профессии – прежде всего интересы в искусстве и литературе. (Конечно, в этом отношении Колмогоров не одинок. А. Эйнштейн много раз писал, что «Достоевский дает ему очень много, гораздо больше, чем Гаусс»).

Он даже устраивал очередному претенденту на ученичество своеобразный экзамен. Хорошо разбираясь в людях, Колмогоров «несколько недоверчиво относился к тому, что его собеседник любит поэзию и всегда просил прочесть наизусть несколько строчек из поэта, объявленного любимым. Не все выдерживали это суровое испытание». (В.А. Успенский, 3, стр. 289)

Интересы в искусстве у самого Колмогорова были разнообразны: по воспоминаниям В.А. Успенского, он был « глубокий ценитель литературы, музыки, живописи, знаток скульптуры и архитектуры» (3, стр.286). Колмогоров хорошо знал поэзию, причем некоторых авторов, например, Гете читал в подлиннике. Его мысли о литературе необыкновенно интересны: чего стоит один эпизод - возражая одному из своих учеников, явно тяготеющему к так называемой « рациональной» поэзии, Колмогоров, сказал, что, по его мнению, задача поэзии– «выразить невыразимое» (из воспоминаний В. М. Тихомирова, 3, стр.264).

Но особое значение для Колмогорова имела музыка. Он считал, что « между математическим творчеством (выделено нами - В.Ю.) и настоящим интересом к музыке имеются какие-то глубокие связи». Далее он ссылается на своего друга, П.С. Александрова, у которого «каждое направление математической мысли, тема для творческих размышлений связывались с тем или иным конкретным музыкальным произведением» (1, стр.18 . Решая вопрос, стоит ли брать какого- то студента или аспиранта в ученики, Колмогоров всегда принимал во внимание его нематематические, общекультурные интересы.

Следует отметить, что современные психофизиологические исследования подтвердили особую связь музыки и математики. Так, именно у выдающихся математиков и музыкантов были обнаружены так называемые « гармоники», т.е. особые биоэлектрические показатели, определенным образом возникающие в ответ на стимуляцию мозга. Интуиция Колмогорова в очередной раз оказалась гениальной.

О « неудобных» темах. 

Одна из таких неудобных тем - о связи отдельных случаев высокой одаренности с патологией физического и (или) психического развития. А.Н. Колмогоров упрекает В.А. Крутецкого в том, что в одних случаях тот отмечает нормальность, своего рода гармонию развития одаренного ребенка, а в других, где есть видимые отклонения от физической или психической нормы, стеснительно об этом молчит. В частности, Колмогоров говорит о случае Коли Дмитриева, который, судя по всему, рассматривает и Крутецкий. В отношении этого «вундеркинда», по мнению Колмогорова, не было сомнений в наличии у него выраженной патологии развития, о чем Крутецкий, считая эту тему неудобной, умалчивает. 

Для Колмогорова есть только истина, которая в данном случае заключается в том, что «проблему необычно высокого развития нельзя изучать в отрыве от физиологии, а иногда – специально - эндокринологии». Он считает, что, если брать уже сложившиеся подлинно высокие таланты, то, возможно, « истинной корреляции» с аномалиями развития может и не быть, но «если рассматривать именно случаи очень раннего развития способностей, то впечатление такой связи у непредвзятого исследователя действительно возникает». (Нам приходится много работать с так называемыми детьми с очень ранним и интенсивным развитием способностей. Несомненно, вероятность патологии в этих случаях значительно выше, чем в более нормальных случаях возрастного развития).

Другая неудобная тема. В переписке с В.А. Крутецким А.Н. Колмогоров высказывается на тему, как он это сам формулирует, «женского равноправия». В математическом кружке, как он пишет, двенадцатилетние девочки даже немного обгоняли мальчиков, но в 8-9 классах теряли интерес к математике. При этом, замечает Колмогоров, «по обстановке школы, думать о давлении традиций не приходилось».

Что касается школы – интерната при МГУ, то те 10 %, которые там учатся, имеют, по мнению А.Н. Колмогорова, проблемы с развитием сексуальной сферы. Женщин среди учеников Колмогорова не было.

Конечно, эти мысли А.Н. Колмогорова выглядят не вполне, что называется, политкорректно, но следует все же отметить, что последние исследования обнаружили связь математических способностей с уровнем мужского гормона – тестостерона. (Сторфер)

Подводя итоги анализа переписки, приходится констатировать, что математик Колмогоров, не интересовавшийся сколько- нибудь серьезно психологией, оказался более профессиональным в области проблем развития способностей, чем доктор психологических наук, известный ученый, посвятивший много лет изучению этих проблем. На наш взгляд, это свидетельствует не только об интуиции Колмогорова, но еще и о состоянии самой психологической науки. Остается надеяться, что за тридцать лет что-то изменилось.

Выводы

1. По мнению Колмогорова, ускоренное («вундеркиндное») развитие не только не обязательно для достижения в будущем высокого профессионального ( творческого ) уровня, но в большей степени чревато возможностью неудач и даже психических отклонений. При диагностике математических способностей у детей категорически нельзя ориентироваться на темп развития и обучения;

2. Великий математик считал, что недопустима ранняя специализация способностей. Лишь с расцвета подросткового возраста (с 12-13 лет) можно начинать расширенное и углубленное обучение математике.

3. Для развития творческих способностей к математике, считает Колмогоров, необходимо выйти за пределы самой математики и развивать у ребенка, подростка или юноши общекультурные интересы, в частности, интерес к искусству (прежде всего- музыке) и поэзии.

Резюме. 

В статье рассматриваются взгляды Колмогорова на проблему развития математической одаренности у детей и юношества. Использованы воспоминания учеников Колмогорова, его высказывания о развитии математических способностей в разных источниках и переписка с психологом – специалистом по развитию математических способностей – В.А Крутецким. 

Приходится констатировать, что в этом своеобразном «турнире» специалиста- психолога и математика именно идеи Колмогорова в самой значительной степени соответствуют современным научным представлениям о природе развития высоких способностей.

---

Литература:

1. А.Н. Колмогоров. Математика- наука и профессия. М., 1988
2. А.Н. Колмогоров. Математика в ее историческом развитии. /под ред. В. А. Успенского/ М., 1991
3. Колмогоров в воспоминаниях. /под ред. А. Н. Ширяева/ М., 1993
4. Крутецкий В.А. Психология математических способностей. М., 1968
5. Э. Кречмер. Гениальные люди. С - Петербург, 1999

Автор приносит огромную благодарность ученику А.Н, Колмогорова профессору А.Н, Ширяеву и поэту Б.В. Заходеру за предоставленные материалы и помощь в работе.