kolmogorov.info А. Н. Колмогоров - эпиграф
  эпиграф книги ученики о сайте  
  биография энциклопедии конференции Casino Bonus  
  фотографии периодика ссылки наш баннер  
      на тему... интернет-партнеры  
Международная научная конференция школьников
"VII Колмогоровские чтения"
Москва, май 2007 г.

Колмогоров

Успенский В. А.

(2000, опубликовано в книге: Новая философская энциклопедия. В 4 томах. -
Т. 2. - М.: "Мысль", 2001. - С. 272 - 274.)

Колмогоров Андрей Николаевич, р. 25.04.1903 н. ст. (12.04.1903 ст. ст.) в Тамбове, ум. 20.10.1987 в Москве, - российский учёный, оказавший влияние на развитие ряда разделов математики (в том числе математической логики), её философии, методологии, истории и преподавания, а также внёсший значительный вклад в кибернетику, информатику, логику, лингвистику, историческую науку, гидродинамику, небесную механику, метеорологию, теорию стрельбы и теорию стиха. Действительный член Академии наук СССР (1939); почётный член многих зарубежных академий и научных обществ.

Колмогоров окончил физико-математический факультет Московского университета (1925) и аспирантуру там же (1929); во время обучения был учеником Н. Н. Лузина. Первые научные работы - одну по истории Новгорода (опубликована в 1994 г.) и другую, математическую (опубликована в 1987 г.), - выполнил в январе 1921 г. Первая научная публикация - в 1923 г. С 1931 г. Колмогоров состоял профессором Московского университета, где внёс выдающийся вклад в организацию математического образования. В МГУ Колмогоров создал и первым возглавил кафедру теории вероятностей (1935), лабораторию статистических методов (1963), кафедру математической статистики (1976); с 1980 г. до конца жизни - зав. кафедрой математической логики. В Математическом институте им. Стеклова АН СССР Колмогоров с 1939 г. по 1960 г. заведовал отделом теории вероятностей, а с 1983 г. до конца жизни - отделом математической статистики и теории информации.

Колмогоров получил фундаментальные математические результаты в области теории вероятностей, математической статистики, теории множеств, теории функций, топологии, математической логики, теории алгоритмов, теории информации, теории динамических систем.

Научное наследие Колмогорова весьма обширно; в библиографию к данной статье включены лишь сочинения, имеющие философскую составляющую.

Мировоззрение Колмогорова было последовательно материалистическим. Центральным для него был вопрос о соотношении математических представлений с реальной действительностью. Для философии и методологии математики огромное значение имела статья Колмогорова "Математика" в 1-м (1938) и 2-м (1954) изданиях Большой Советской Энциклопедии. Эта статья, перепечатанная также в сборнике статей Колмогорова "Математика в её историческом развитии", содержит оригинальную периодизацию истории математики, анализ предмета и метода математики и её места в системе наук, а также специальный раздел, посвящённый вопросам обоснования математики. В других статьях названного сборника Колмогоров исследует влияние Ньютона и Лобачевского на формирование математического мышления. В трудах Колмогорова вскрыты как внешние, так и внутриматематические мотивы возникновения новых математических понятий и теорий. Колмогоров отстаивал ту точку зрения, что восхождение к более высоким ступеням абстракции имеет прямой практический смысл, и потому настаивал на более широком внедрении метода абстракции в преподавание. В 1933 г. Колмогоров предложил общепринятую ныне систему аксиоматического обоснования теории вероятностей.

Для Колмогорова характерно повышенное внимание к различению, в объектах и процессах, конструктивного и неконструктивного. Конструктивными объектами с необходимостью являются объекты, участвующие в конструктивных процессах, а также выражения какого-либо языка. При этом выражение языка служит, как правило, именем неконструктивного объекта. Последнее наблюдение естественно приводит к понятию нумерации, служащему математическим выражением общей идеи соответствия между именами (в математической терминологии - "номерами") и их денотатами в рамках какой-либо системы имён (в математической терминологии - "нумерации"); основы теории нумераций были сформулированы Колмогоровым в 1954 г. Интерес к конструктивным процессам привёл Колмогорова к алгоритмической проблематике. В частности, в 60-х годах Колмогоров предложил новые, алгоритмические, подходы к обоснованию теории вероятностей, что позволило в конечном счёте дать строгое определение понятию случайности для индивидуального объекта (что недоступно традиционной теории вероятностей).

В кибернетике Колмогоров проанализировал роль дискретного (в противопоставлении непрерывному) и отстаивал принципиальную возможность возникновения у машин мышления, эмоций, целенаправленной деятельности и способности конструировать ещё более сложные машины. В информатике Колмогоров в 50-х гг. предложил общее определение понятия алгоритма, а в 60-х гг., опираясь на алгоритмические представления, создал теорию сложности конструктивных объектов. Эта теория, в свою очередь, была им применена для построения нового обоснования теории информации.

Выдающуюся роль в логике играют две статьи Колмогорова: "О принципе tertium non datur" (Математический сборник. - 1925. - Т. 32. - № 4. - С. 668 - 677) и "Zur Deutung der intuitionistischen Logik" (Mathematische Zeitschrift. - 1932. - Bd. 35. - S. 58 - 65); обе перепечатаны в его книге "Избранные труды. Математика и механика" (вторая - в русском переводе: "К толкованию интуиционистской логики"). Обе объединены общей идеей - навести мост между интуиционистской логикой и традиционной, или "классической", логикой, причём сделать это средствами, свободными как от идеологии интуиционизма, так и от крайностей теоретико-множественного догматизма. Именно, в статье 1925 г. предлагается такая интерпретация "классической" логики, которая приемлема с точки зрения интуиционизма; напротив, в статье 1932 г. предлагается такая интерпретация интуиционистской логики, которая приемлема с классических позиций.

В статье "О принципе..." Колмогоров принимает предпринятую главой интуиционизма Брауэром критику традиционной логики; при этом Колмогоров обнаруживает в последней ещё один уязвимый, но обойдённый критикой Брауэра логический принцип, а именно - выражаемый аксиомой . Как указывает Колмогоров, эта аксиома "не имеет и не может иметь интуитивных оснований как утверждающая нечто о последствиях невозможного". Колмогоров выдвигает два вопроса: 1) почему незаконное, с интуиционистской точки зрения, применение принципа исключённого третьего часто остаётся незамеченным? 2) почему оно не привело до сих пор к противоречию? На оба вопроса в статье даются ответы. На 1-й вопрос - потому что применения закона исключённого третьего оправданы, коль скоро возникающее в результате таких применений суждение носит финитный характер; действительно, в этом случае оно может быть доказано и без использования указанного закона (это открытие Колмогорова опровергло точку зрения Брауэра о том, что при получении финитных результатов должны быть запрещены нефинитные умозаключения). На 2-й вопрос - потому что если бы противоречие было получено при использовании закона исключённого третьего, то оно могло бы быть получено и без него; здесь впервые в истории логики произошло предвосхитившее последующие работы Гёделя 30-х гг. доказательство относительной непротиворечивости формальной аксиоматической системы, т. е. такое доказательство непротиворечивости, которое использует презумпцию о непротиворечивости другой системы. Колмогоров точно очертил круг тех суждений, для которых составленные из них тавтологии классической логики высказываний являются интуиционистски обоснованными: это суть те и только те суждения, для которых выполняется закон двойного отрицания. В своей статье Колмогоров впервые предложил позитивный анализ обоснованности с точки зрения интуиционизма традиционной, или "классической", математики. Одновременно Колмогоров впервые сделал интуиционистскую логику объектом строгого математического анализа. В статье была предложена первая система аксиом для этой логики, предвосхитившая формализацию Гейтинга и ныне известная как минимальное исчисление для отрицания и импликации.

В 1-м разделе статьи "Zur Deutung..." ("К толкованию...") Колмогоров наполняет формулы интуиционистской пропозициональной логики новым содержанием, свободным от философских предпосылок интуиционизма. Именно, он предлагает рассматривать каждую такую формулу не как утверждение, а как проблему (т. е. как требование указать или построить объект, подчинённый тем или иным заранее заданным условиям). Понятие проблемы, или задачи, есть одно из фундаментальных понятий логики; Колмогоров был первым, кто включил это понятие в логико-математический дискурс (здесь идеи Колмогорова предвосхитили так называемую семантику реализуемости Клини - Нельсона). Предложенная Колмогоровым интерпретация интуиционистской логики близка к концепции Гейтинга, однако у последнего отсутствует чёткое различение между суждением и проблемой. Существенным этапом в становлении логического мышления явилось предложенное Колмогоровым уточнение представления о сводимости одной проблемы к другой. Сам Колмогоров впоследствии так определял цель статьи: "Работа писалась в надежде на то, что логика решения задач сделается со временем постоянным разделом курса логики. Предполагалось создание единого логического аппарата, имеющего дело с объектами двух типов - высказываниями и задачами". Во 2-м разделе статьи выдвигается и обосновывается следующий взгляд: с интуиционистской точки зрения, нельзя, вообще говоря, рассматривать отрицание общего суждения в качестве содержательного суждения. "Но тогда, - указывает Колмогоров, - исчезает предмет интуиционистской логики, поскольку теперь принцип исключённого третьего оказывается справедливым для всех суждений, для которых отрицание вообще имеет смысл. Возникает, однако, новый вопрос: какие логические законы справедливы для суждений, отрицание которых не имеет смысла?"

Сочинения Колмогорова,
имеющие философскую составляющую

Книги

Основные понятия теории вероятностей. - М.: Наука, 1974. - 119 с.

Введение в математическую логику. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 120 с. (Соавтор Драгалин А. Г.)

Математическая логика: Дополнительные главы. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 119 с. (Соавтор Драгалин А. Г.)

Избранные труды. Математика и механика. - М.: Наука, 1985. - 470 с.

Теория вероятностей и математическая статистика. [Избранные труды]. - М.: Наука, 1986. - 424 с.

Теория информации и теория алгоритмов. [Избранные труды]. - М.: Наука, 1987. - 304 с.

Математика - наука и профессия. [Сборник статей]. - М.: Физматлит, 1988. - 288 с.

Математика в её историческом развитии. [Сборник статей]. - М.: Физматлит, 1991. - 223 с.

Новгородское землевладение XV века. - М.: Физматлит, 1994. - 128 с.

Статьи

Современные споры о природе математики // Научное слово. - 1929. - № 6. - С. 41 - 54.

Современная математика // Сб. статей по философии математики / Под ред. Яновской С. А. - М.: ОНТИ, 1936. - С. 7 - 13.

Теория и практика в математике // Фронт науки и техники, - 1936 г. - № 5. - С. 32 - 42.

Предисловие // Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. - М.: ОНТИ, 1936. - С. 3 - 4.

Аксиома // БСЭ. - 2-е изд. - Т.1. - М.: БСЭ, 1949. - С. 613 - 616.

Предисловие редактора перевода // Петер Р. Рекурсивные функции. - М.: ИЛ, 1954. - С. 3 - 10.

Тезисы о кибернетике [от 20 января 1957 г.] // Очерки истории информатики в России / Ред.-сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. - Новосибирск: Научно-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998. - С. 142 - 145.

Информация // БСЭ. - 2-е изд. - Т. 51. - М.: БСЭ, 1958. - С. 129 - 130.

Кибернетика // БСЭ. - 2-е изд. - Т. 51. - М.: БСЭ, 1958. - С. 149 - 151.

Предисловие // Эшби У. Р. Введение в кибернетику. - М.: ИЛ, 1958. - С. 5 - 8.

Автоматы и жизнь: Тезисы доклада. // Машинный перевод и прикладная лингвистика. - Вып. 6. - М.: 1961. - С. 3 - .8. [Перепечатано в сб.: Очерки истории информатики в России. / Ред-сост. Д. А. Поспелов. Я. И. Фет. - Новосибирск, Научно-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998. - С. 147 - 150.]

Жизнь и мышление как особые формы существования материи // О сущности жизни / Отв. ред.: Франк Г. М., Кузин А. М. - М.: Наука, 1964. - С. 48 - 57.

Бесконечность в математике // БСЭ. - 3-е изд. - Т. 3. - М.: БСЭ, 1970. - С. 264 - 265.

Вероятность // БСЭ. - 3-е изд. - Т. 4. - М.: БСЭ, 1971. - С. 544.

Элементы логики в современной школе // Математика в школе. - 1971. - № 3. - С. 91 - 92.

О воспитании на уроках математики и физики диалектико-материалистического мировоззрения // Математика в школе. - 1978. - № 3. - С. 6 - 9.

Диалектико-материалистическое мировоззрение в школьном курсе математики и физики // Квант. - 1980. - № 4. - С. 15 - 18.

Письма А. Н. Колмогорова к А. Гейтингу // Успехи математич. наук. - 1988. - Т. 43. - Вып. 6. - С. 75 - 77.

Семиотические послания // Новое литературное обозрение. - 1997. - № 24. - С. 216 - 245.

Литература о Колмогорове

Колмогоров в воспоминаниях / Ред.-сост. Ширяев  А. Н. - М.: Физматлит, 1993. - 734 с.

Явление чрезвычайное: Книга о Колмогорове / Сост. Н. Х. Розов; Под общ. ред. В. М. Тихомирова. - М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999. - 256 с.

Успенский В. А. Андрей Николаевич Колмогоров - великий учёный России // В сб.: Очерки истории информатики в России / Ред.-сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. - Новосибирск: Научно-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998. - С. 484 - 505. [А также под названием "Явление чрезвычайное: великий учёный России Андрей Николаевич Колмогоров" в настоящем издании - "Труды по НЕматематике".]

Uspensky V. A. Kolmogorov and mathematical logic // The Journal of Symbolic Logic. - 1992. - Vol. 57. - No. 2. - P. 385 - 412.

Youshckevitch A. P. A. N. Kolmogorov: Historian and Philosopher of Mathematics // Historia mathematica. - 1983. - Vol. 10. - No. 4. - P. 383 - 395.

СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова. Официальный сайт Rambler's Top100
Физико-математическая школа им. А.Н.Колмогорова © СУНЦ МГУ