Гений, живший среди нас

В. М. Тихомиров

Андрей Николаевич Колмогоров был, без сомнения, одним из величайших русских ученых и принадлежал к числу самых крупных математиков 20-го века; он был Просветителем, создателем огромной научной школы, одним из патриархов Московского университета, реформатором математического образования, философом и историком науки. Его жизнь вместила в себе столько творческих свершений, что обо всех них невозможно сказать здесь. Об Андрее Николаевиче Колмогорове уже сказано и будет сказано еще очень многое и его учениками, и последователями, и историками науки. В этой статье я преследую скромную цель - осветить лишь некоторые стороны его творческой и человеческой судьбы.

А. Н. Колмогоров известен прежде всего как ученый, и потому начну с краткого обзора его творческой биографии. Первые научные публикации Андрея Николаевича относятся к 1923 году, когда ему исполнилось двадцать лет (хотя сами результаты были получены им в предыдущем году, в возрасте девятнадцати лет), а последний научный труд был напечатан в 1983 году - году его восьмидесятилетия. Между этими двумя датами пролегло шестьдесят лет - огромная жизнь. Быть может, читателям будет интересно проследить, как число его публикаций варьировалось от десятилетия к десятилетию (гистограмма на рисунке построена с учетом лишь тех статей, которые сам А. Н. Колмогоров включил в собрание своих сочинений).

Что можно усмотреть из этой гистограммы? Бурное начало. Студенческая пора Андрея Николаевича была заполнена исключительной по интенсивности научной работой. В свой начальный период он черпал темы и задачи прежде всего, конечно, у своего научного руководителя - Николая Николаевича Лузина. К числу своих учителей он причислял также Павла Сергеевича Александрова, Павла Самуиловича Урысона, Алексея Константиновича Власова, Вячеслава Васильевича Степанова. Его научная любознательность распространялась фактически на всю современную ему математику. Начальный период его творчества был связан с теорией функций, затем началось его многолетнее сотрудничество с Александром Яковлевичем Хинчиным в области теории вероятностей. В эти же годы он делает классические работы в области математической логики, где в России у него не было ни учителей, ни предшественников.

Пожалуй, вершиной первого десятилетия его творческой деятельности явились его работы по аналитическим методам теории вероятностей (где математика соприкасается с физикой и где он создал теорию марковских процессов, завершив усилия таких великих предшественников, как Эйнштейн, Смолуховский и Планк). Классическая монография "Основные понятия теории вероятностей" (наверное, самое известное произведение Андрея Николаевича, оказавшее столь же огромное влияние на все дальнейшее развитие этой науки, как труды Я. Бернулли и Лапласа) также была написана в первое десятилетие.

Затем наступил еще более блистательный период. В течение десяти лет - с 1933 по 1943 год - Андрей Николаевич опубликовал сорок пять (!) статей по самым разнообразным проблемам классического анализа, топологии, геометрии, теории приближений, функционального анализа и, разумеется, теории вероятностей, где он занял общепризнанное в мире положение лидера. Едва ли не каждый год он открывал какое-то новое направление в науке; очень много занимался и приложениями. Одним из крупнейших достижений Колмогорова этого периода было создание теории турбулентности, где он стал прижизненным классиком наряду с величайшими механиками XX века - Дж. Тейлором и Т. фон Карманом.

Десятилетие между 1943 и 1953 годом было менее насыщенным. Конечно, это можно объяснить войной. Кстати сказать, Андрей Николаевич много сил отдал проблемам, связанным с обороной; в частности, он фактически создал вероятностную теорию стрельбы. Но по их значению в истории науки работы этого десятилетия не идут в сравнение с теми, что были написаны в предыдущие десятилетия.

А затем произошло истинное чудо. Начиная с 1953 года Андрей Николаевич пережил совершенно необыкновенный творческий подъем, длившийся снова примерно десять лет, - период, быть может, не имевший себе равных в творчестве других математиков всех времен. Одной из величайших удач моей собственной жизни я считаю то, что мне довелось быть близким свидетелем этого поразительного периода гениальных свершений.

Чем можно объяснить такой взрыв творческой активности? Я задавал этот вопрос самому Андрею Николаевичу, и он отвечал и мне и другим своим друзьям, что сам видит две такие причины.

Главной из них он называл крушение чудовищной тирании, рухнувшей со смертью Сталина. Это породило надежду, веру в то, что мир может установиться в спокойствии и благоденствии. Такие ожидания частично оправдались, и они сумели напитать творческий потенциал Андрея Николаевича новыми мощными стимулами. А другая причина - окончание строительства нового Университета, переезд в новое здание, которое он сразу полюбил, переезд, обозначивший новый этап жизни и звавший к началу больших свершений. Именно в эти годы Андрей Николаевич оказался очень счастлив и в своих деяниях, и в своих учениках.

Наибольшие усилия Колмогорова в этот период были, по свидетельству самого Андрея Николаевича, связаны с четырьмя темами. Это:

• малые знаменатели в задачах классической механики;
• внедрение понятия энтропии в различные области математики;
• представление функций в виде суперпозиций;
• равномерные предельные теоремы теории вероятностей.

И в каждом из этих направлений им были разрешены фундаментальные проблемы.

В теории малых знаменателей Андрей Николаевич создал совершенно новый метод, который, будучи усовершенствован его учеником В. И. Арнольдом и американским математиком Ю. Мозером, привел к решению, быть может, самой глубокой задачи теоретической астрономии и классической механики - проблемы устойчивости планетной системы, проблемы, которую решали и Ньютон, и Лаплас, и Пуанкаре. В принципе, могло быть так, что всякая планетная система неустойчива и рано или поздно все планеты обрушиваются на свое основное светило. В итоге работ Андрея Николаевича и его последователей выяснилось, что это не так: бывают и вечно устойчивые системы. Попутно им самим и его продолжателями было сделано существенное продвижение в большом числе других принципиальных вопросов естествознания.

Большой успех выпал на долю А. Н. Колмогорова в теории динамических систем. Введенное им понятие энтропии динамической системы совершенно преобразило эту классическую область математики, где среди его предшественников были такие крупнейшие математики, как фон Нейман и Н. Н. Боголюбов. Основополагающие работы А. Н. Колмогорова и его ученика Я. Г. Синая принадлежат к числу самых крупных достижений математики второй половины нашего века.

А. Н. Колмогоров вместе со своим учеником В. И. Арнольдом решил одну из самыхзнаменитых гильбертовых проблем - тринадцатую. При этом решение оказалось не соответствующим общему замыслу Гильберта: выяснилось, что на уровне непрерывности не бывает функций многих переменных (!) (хотя весь опыт классического анализа, казалось бы, свидетельствует о том, что чем больше переменных, тем богаче запас функций). Точнее говоря, оказалось, что любую непрерывную функцию можно представить в виде суперпоэиции непрерывных функций одного переменного и единственной функции двух переменных - сложения:

s (x, y) = x + y.

Наконец, в теории вероятностей Андрей Николаевич получил теорему о равномерном приближении распределений сумм независимых случайных величин с помощью так называемых безгранично делимых распределений; Подходы к решению этой проблемы он искал почти двадцать лет.

Кроме того, в это же десятилетие учениками и последователями А. Н. Колмогорова под его руководством и идейным влиянием:

• получены выдающиеся результаты в теории случайных процессов (В. П. Леонов, Р. Ф. Матвеев, Ю. А. Розанов, Я. Г. Синай, А. Н. Ширяев и др.);
• сделаны большие продвижения в эргодической теории динамических систем (Л. М. Абрамов, Д. В. Аносов, А. М. Вершик, И. В. Гирсанов, В. А. Рохлин, Я. Г. Синай, С. Смейл и др.), а также динамических систем классической механики (В. М. Алексеев, К. А. Ситников);
• получены фундаментальные результаты по основаниям теории информации (И. М. Гельфанд, Р. Л. Добрушин, М. С. Пинскер, А. М. Яглом и др.);
• открыта новая глава в функциональном анализе - теория размерности бесконечномерных линейных топологических пространств (Б. С. Митягин, А. Пельчинский и др.);
• фактически начата разработка нового этапа теории аппроксимации, где исследовались е-энтропия и поперечники функциональных классов и связанные с ними топологические и экстремальные задачи (К. И. Бабенко, А. Г. Витушкин, В. Д. Ерохин, Н. П. Корнейчук, В. М. Тихомиров и др.);
• решены важные экстремальные задачи в классических предельных теоремах теории вероятностей (В. С. Королюк, Б. А. Рогозин, С. Сираждинов и др.);
• изучены предельные теоремы теории вероятностей с точки зрения распределений в функциональных пространствах (Ю. В. Прохоров, А. В. Скороход и др.);
• велась интенсивная работа в области математической логики (Ю. Т. Медведев, В. А. Успенский и др.); Андрей Николаевич вел в те годы (совместно с В. А. Успенским) семинар по рекурсивной арифметике, обдумывал проблемы связи теории рекурсивности и теории автоматов - все это в дальнейшем способствовало созданию теории сложности, увенчавшей его творческую биографию.

Творчество Андрея Николаевича тех лет имело огромное влияние на работы очень большого числа математиков. Перечислю некоторых из них (хотя часть уже называлась мною, но, собранные вместе, они производят особое впечатление): В. М. Алексеев, В. И. Арнольд, Г. И. Баренблатт, Ю. К. Беляев, Л. Н. Большев, А. А. Боровков, А. Г. Витушкин, И. М. Гельфанд, И. В. Гирсанов, А. А. Гончар, Р. Л. Добрушин, Е. Б. Дынкин, В. Д. Ерохин, В. М. Золотарев, В. С. Королюк, В. П. Леонов, П. Мартин-Леф, Р. Ф. Матвеев, Ю. Т. Медведев', Л. Д. Мешалкин, Б. С. Митягин, В. С. Михалевич, М. С. Пинскер, Ю. В. Прохоров, Ю. А. Розанов, Б. А. Севастьянов, Я. Г. Синай, С. Х. Сираждинов, К. А. Ситников, А. В. Скороход, В. А. Статулявичюс, В. М. Тихомиров, Ю. Н. Тюрин, В. А. Успенский, А. Н. Ширяев, А. М. Яглом - и этот список далеко не полон! В те годы он работал примерно с двадцатью аспирантами и направлял деятельность многих завершавших докторские диссертации.

В этот период А. Н. Колмогоров намечал и осуществлял поистине грандиозные планы. В письме к В. И. Арнольду от 31 мая 1957 г. Андрей Николаевич рассказывает о своих замыслах на 1957/58 учебный год: он предполагает вести с Арнольдом кружок для первого курса, активно руководить постоянным семинаром кафедры теории вероятностей, открыть новый совместный семинар Стекловского института (в те годы Андрей Николаевич заведовал отделом теории вероятностей МИАН им. В. А. Стеклова) и кафедры теории вероятностей по прикладным вопросам теории вероятностей, читать обязательный курс по случайным процессам, вести семинар по динамическим системам для аспирантов (В. Алексеева, В. Арнольда, Ю. Беляева, В. Ерохина, Л. Мешалкина, Я. Синая), вести семинар для четверокурсников по проблемам сложности... И все это с превышением было осуществлено. Кто и когда брал на себя подобные нагрузки!

А какие замечательные планы строил А. Н. Колмогоров, объявляя научно-исследовательский семинар 1959/60 года! Вот программа этого семинара (с небольшими сокращениями), написанная самим Андреем Николаевичем:

"1. Краевые задачи для гиперболических уравнений... 2. Задачи классической механики... 3. Моногенные функции Бореля и квазианалитические функции Гончара. 4. Возникновение высокочастотных колебаний при стремлении производных к нулю (работы Волосова и Лыковой). 5. Уравнения с малым параметром и возникновение турбулентности. 6. Вопросы устойчивости ламинарных течений. 7. Обсуждение возможностей применения к реальным механическим и физическим системам представлений метрической теории динамических систем. Рассмотрение гипотезы (хотя бы на моделях), что... в пределе динамическая система превращается в случайный процесс (гипотеза практической невозможности долгосрочного прогноза погоды)".

В эти годы стал постепенно приподниматься "железный занавес" и Андрей Николаевич начал принимать активное участие в международной математической жизни. Он был докладчиком на Амстердамском математическом конгрессе 1954 г. (его доклад завершал научную программу конгресса - так была выделена особая роль А. Н. Колмогорова среди других участников этого математического форума); читал циклы лекций в Швеции, Франции, ГДР, Польше; сделал доклад с изложением принципиально новых подходов к теории аппроксимации и к вычислительной математике на Эдинбургском конгрессе 1958 г.

И в нашей стране Андрей Николаевич имел ряд ответственных выступлений. Он выступил с обзорным докладом на общем собрании Академии наук СССР; сделал два обзорных часовых доклада на Всесоюзном математическом съезде в Москве; много выступал перед научной общественностью с докладами о кибернетике, математической экономике, по другим проблемам; сделал свыше тридцати докладов на Московском математическом обществе; путешествовал по Советскому Союзу, выступая с лекциями и докладами (много путешествовал и "просто так").

При этом Андрей Николаевич заведовал кафедрой теории вероятностей в МГУ; с 1954 по 1958 год. был деканом механико-математического факультета; основал новую лабораторию вероятностных и статистических методов; заведовал отделом в Стекловском институте; много работал в Энциклопедии; разработал и организовал на мехмате математический практикум; прочитал большое число обязательных и специальных курсов - по анализу, случайным процессам, теории меры, динамическим системам, теории энтропии...

Повторюсь, мне трудно представить себе, что когда-нибудь в истории науки у какого-либо ученого мог быть период такой фантастической насыщенности и плодотворности!

И вдруг... Вот здесь мы сталкиваемся с одной из загадок его судьбы: вдруг в одночасье все прекратилось - курсы, семинары, публикации и все прочее. Все это эаместилось одним - реформой математического образования в школе. Чем был вызван такой резкий переход, можно только гадать. И, к глубочайшему сожалению, именно на этом поприще Андрей Николаевич потерпел большую и, пожалуй, единственную во всей его необыкновенно счастливой творческой жизни неудачу. Эта неудача принесла ему трагические переживания и, без сомнения, ускорила его кончину. Попробуем разобраться в случившемся.

Темы математического образования Андрей Николаевич много раз касался и в своих устных выступлениях перед учителями и коллегами, и в своих беседах с близкими и друзьями, и в своих публикациях, посвященных школьным делам (число которых было очень велико - около ста). Но какого-либо сводного, завершающего труда на эту тему он так и не написал.

Математическое образование - необыкновенно сложная и тонкая структура, где переплетаются проблемы государственного устройства, психологии, экономики, социологии, культуры и еще многое другое. Как было бы прекрасно, если бы мыслитель такого высочайшего ранга, каким был Андрей Николаевич Колмогоров, треть своей жизни посвятивший реформе школьного математического образования, ответил бы, по воэможности прямо, на несколько простых и основополагающих вопросов! Прежде всего: в чем смысл математического образования, зачем оно? Нужно ли оно (и в каком объеме) всем людям или лишь той части юношества, которая испытывает в нем потребность? Какие цели должно преследовать математическое образование на каждом отдельном его этапе (начальном, среднем, высшем)?

К глубочайшему сожалению, такого текста с анализом подобных основополагающих проблем математического образования Андрей Николаевич не оставил. В те годы, когда он стал заниматься проблемой реформы математического образования, многое вызывало мое недоумение, и в наших беседах я иногда говорил: "Андрей Николаевич, разные люди, верящие вам и желающие успеха вашей деятельности, не понимают глобальных целей вашей реформы. Объясните их хотя бы мне. Я запишу ваши слова, постараюсь продумать их и потом сделаю попытку донести смысл вашей деятельности до широких кругов научной общественности". Но Андрей Николаевич неизменно - мягко, но непреклонно - отклонял эти мои просьбы. Обычно под предлогом, что "еще рано об этом говорить", что "время еще не пришло". Но это время так и не наступило.

И вот сейчас я вижу свой долг в том, чтобы самому осмыслить случившееся - то, что я не могу истолковать иначе, как трагедию великого, гениального человека.

Я вижу две основные причины того, что усилия Андрея Николаевича в итоге не привели к благоприятному исходу. Первая из них заключена в идеологии того общества, в котором тогда приходилось всем нам жить и трудиться. Первоосновой всего, высшей целью жизни и деятельности каждого человека объявлялось тогда укрепление и развитие государства. Не личности, а именно государства. И руководящая структура государства - партия - определяла, в частности, цели и смысл образования. И Андрей Николаевич в той или иной мере вынужден был подчиняться этому порядку вещей. В брошюре "О профессии математика", вышедшей в свет в 1952 году, Андрей Николаевич писал: "Советскому Союзу сейчас требуется большое количество самостоятельных исследователей по теоретическим вопросам математики". Эта мысль варьировалась им многократно: "Нашей стране необходимо иметь много математиков-исследователей...", "Наша страна нуждается в большом числе подготовленных и талантливых математиков..." и т. п. Обращаясь 1 сентября 1961 г. к первокурсникам, принятым в Московский университет, Андрей Николаевич писал: "Все высшие учебные заведения страны имеют общую задачу - готовить специалистов к работе на пользу нашего общества, готовить строителей Коммунизма". В числе непременных аксиом того времени было требование единого образования: каждый должен был получить в точности то же образование, что и все остальные. Постановление партии и правительства о реформе школьного образования было принято в 1966 году, и именно тогда Андрею Николаевичу было поручено осуществить ту часть реформы, которая относилась к математике.

Естественно, должен был встать вопрос: как и чему учить детей в нашей бескрайней, многонациональной, столь разнородной и неблагоустроенной стране с огромным числом неблагополучных семей, детей с неполноценным умственным развитием - читатель легко продолжит список всех наших трудностей тех и нынешних лет. И при этом учить всех и одинаково! Андрей Николаевич взялся за осуществление этой реформы, не имея в виду существенно менять исходные позиции упомянутого постановления.

А теперь надо сказать о второй причине, приведшей к плачевным результатам. Парадоксально, но она связана с одной прекрасной особенностью личности самого Андрея Николаевича. Он был идеалистом. Не в философском или религиозном значении этого слова, а в своем взгляде на окружающий мир. Ему досталось прекрасное, солнечное детство, замечательная гимназия, лучший в мире математический факультет университета, высококультурная человеческая среда и радостное, оптимистическое восприятие мира. Он видел людей и окружающую действительность как бы сквозь особые волшебные очки, в несравненно лучшем свете, чем оно было в реальности. Это, как правило, приносило прекрасные плоды, особенно для его учеников: всем хотелось соответствовать тому идеальному образу, который складывался у Андрея Николаевича, все тянулись ввысь, росли, совершенствовались. Но Андрей Николаевич полагал, что вообще мир населен людьми благородными, культурными, стремящимися к поиску истины - словом, похожими на него самого и на тех, с которыми он всю жизнь общался. И мне представляется, что, планируя будущую программу средней школы, он исходил из такого идеального образа советского школьника.

Следует учесть, что в 60-е годы увлечение реформами математического школьного образования приняло всеобъемлющий, всемирный характер. Особенно крайние позиции заняла французская школа, лидеры которой считали, что преподавание должно вестись исходя из принципов Бурбаки. И это тоже оказало определенное (и во многом отрицательное) влияние на Андрея Николаевича. Но не это было главным. Глядя на мир сквозь свои волшебные очки, Андрей Николаевич полагал, что едва ли не самым привлекательным и желанным видом человеческой деятельности для каждого является творческий труд, направленный на поиск истины. А потому, в частности, стремление к высшему образованию является естественным и безусловным для каждого молодого человека. Он много раз писал, что жизнь человеческая должна быть спланирована так, чтобы избранному виду тпворческой деятпельностпи человек отдал максимум того, на что он способен. В соответствии со всеми этими мыслями он и планировал новую программу всеобщего среднего образования.

По мнению Андрея Николаевича (впрочем, это предписывалось и постановлением партии и правительства 1966 г.), курс школьной математики должен быть научным, строгим и современным. Далее, среди целей математического образования должно было, по мнению Андрея Николаевича, присутствовать формирование научного мировоззрения. А. Н. Колмогоров писал, например: "Вряд ли нужно доказывать, насколько желательно с общеобразовательной точки зрения достигнуть того, чтобы все учащиеся могли вполне конкретно понять хотя бы ньютоновскую концепцию математического естествознания".

Одной из важнейших целей школьного математического образования А. Н. Колмогоров считал подготовку к поступлению в высшее учебное заведение. "Учащиеся (и общество также), - писал он, - заинтересованы в том, чтобы обучение в X - XI классах подготовило их возможно лучше к предстоящей работе в вузе или специальном учебном заведении".

Среди важнейших целей математического просвещения Андрей Николаевич видел "поиск талантов". Вот как он писал об этом: "Содействие продвижению математически одаренной молодежи является одной из важных задач школьных математических кружков, математических олимпиад и других мероприятий по пропаганде математических знаний и распространению интереса к самостоятельным занятиям математикой".

Летом 1917 года вместе с другом своей юности Николаем Селиверстовым четырнадцатилетний Андрей Колмогоров обдумывал конституцию идеального государства - государства, где торжествовали бы Разум, Труд, Совесть и Справедливость. (К сожалению, проект этой конституции не сохранился.) Мое убеждение состоит в том, что, размышляя над реформой образования, Андрей Николаевич имел в виду именно то идеальное государство, населенное людьми высоконравственными, глубокими, ищущими истину, благородными и творческими. Для такого государства программа Андрея Николаевича могла бы быть, как недавно было принято говорить, "принята за основу" (впрочем, с определенными оговорками, ибо в ней было все-таки слишком много от Бурбаки). Но мы жили в другом государстве. И реальность нередко находилась в вопиющем противоречии с идеальными установками Колмогорова.

При этом необходимо сказать, что Андрей Николаевич отнюдь не был человеком не от мира сего. Он очень многое видел и понимал. Однажды, в самом начале нашего с ним знакомства, он даже специально счел своим долгом уведомить меня об этом: "Не думайте, пожалуйста, Володя, что мой духовный мир целиком и полностью занимает лишь математика. Я внутренне свободный человек и позволяю себе свободно размышлять надо всем и критически все оценивать". Тогда начался между нами разговор, который продолжался потом многие годы, - о культуре, искусстве, науке, истории и, в частности, о государстве. В тот самый первый наш разговор Андрей Николаевич заметил: "Идеальное государство должно основываться на свободе". Для нас обоих было очевидно, что то государство, в котором мы живем, этому принципу не удовлетворяет.

Итак, Андрей Николаевич видел все, что происходит вокруг, но в то же время в своих письменных декларациях он, как правило, как бы игнорировал суровую действительность и обращался через "хребты веков" к некоему идеальному, свободному Государству. Так было, в частности, когда он писал, что "на устных экзаменах задача экзаменатора в советском вузе, вопреки распространенному воззрению школьников, состоит не в том, чтобы поскорее "срезать" незадачливого поступающего, а в том, чтобы тщательно взвесить, учитывая все обстоятельства экзаменационной обстановки, перспективы его работы по избранной им специальности... В Московском университете приемные и экзаменационные комиссии более всего озабочены тем, чтобы не потерять ни одного поступающего, достаточно подготовленного и способного серьезно работать на данном факультете". Это было сказано в 1952 году, когда анкетные ограничения принимались во внимание едва ли не в первую очередь, когда, к примеру, окончивших механико-математический факультет И. И. Нятецкого-Шапиро и Ф. А. Березина - людей, безусловно "способных работать на данном факультете", подававших большие надежды и оправдавших их своими последующими выдающимися открытиями, - распределили на работу в провинциальные школы... Я могу объяснить себе написанное Андреем Николаевичем лишь тем, что он старался шагнуть в то бесконечное идеальное "далеко", игнорируя несовершенную реальность. Но, осуществляя реформу образования, реальность игнорировать невозможно. А я оцениваю его реформаторскую деятельность так и только так: это была реформа для идеального государства, и рекомендации Андрея Николаевича надо рассматривать только под этим углом зрения.

Если во главу угла ставить личность, ее права, ее интересы, то государство должно быть институтом, призванным удовлетворять естественные и непременные права личности. Среди этих прав, вне всякого сомнения, должно быть право на получение математическоео (как и любого другого) образования. Но личность должна быть действительно свободна, и в частности свободна требовать от государства того математического образования, которое соответствует этой личности, ее желаниям и возможностям. А значит, образование не может, не должно быть единым. Оно не должно непременно быть и строго научным, ибо у личности может быть масса интересов, далеких от науки и поиска истины (а в наши дни результаты разнообразных анкетирований свидетельствуют, что к поиску истины стремится примерно 1% школьников). И, разумеется, нельзя навязывать каждому, чтобы он обязательно выработал в себе естественнонаучное мировоззрение, - и здесь свободный человек должен иметь свободу выбора.

Целью математического образования, по моему скромному мнению, должно быть прежде всего развитие. Развитие навыков оперирования с числами и фигурами, пространственного воображения, логического мышления - словом, развитие интеллекта. Ничто не может обучить этому лучше, чем математика, - об этом говорит весь опыт человечества. Нри всем этом обучение должно быть интересным, увлекательным, поучительным. Таким должно быть обучение для всех. Но отдельно надо подумать и о тех людях, которые действительно испытывают удовольствие от творчества, от поиска истины, от красоты самой математики. Этих людей надо учить по-особому. Таких людей не так уж мало - такова природа человеческая. И чем более благополучно общество, чем больше в нем благоденствия, тем значительнее этот слой и тем сильнее он облагораживает все общество. И этот слой людей также должен обладать правом получить адекватное, глубокое математическое образование.

Вот для этой-то категории людей бесценны многие мысли, идеи, методические находки и планы, которые вынашивал на протяжении более чем трети своей творческой жизни великий ученый и гениальный математик Андрей Николаевич Колмогоров. Ограничусь лишь одним примером. Очень большие усилия Андрей Николаевич потратил на создание совершенно оригинального курса геометрии. Он старался построить его действительно строгим, научным и современным. Для этого он создал свою собственную, интересную и вполне естественную, аксиоматику.Однажды он приоткрыл общий замысел своего курса: "...постепенно подготовить материал для понимания возможности разных "геометрий", отличных от евклидовой (как геометрия Лобачевского) или охватывающих евклидову в качестве частного случая (как концепция "метрического пространства")".

Но в масштабах всей страны такие идеи были, конечно, обречены. Андрей Николаевич не был понят даже своими ближайшими сотрудниками, не говоря уже о недоброжелательно или завистливо настроенных коллегах. (И эти последние выступили против колмогоровских нововведений зачастую в грубой и даже уничижительной форме.)

Но необходимо сказать, что главная цель реформы образования - его модернизация, и в частности включение в него элементов дифференциального и интегрального исчисления, - была достигнута: все это вошло в школьную практику. И это позволяет сказать, что дело, которому Андрей Николаевич посвятил двадцать с лишним лет упорнейшего труда, не пропало. А по прошествии лет, когда человечество приблизится к тому идеалу, о котором мечтал Андрей Николаевич, - пусть в далеком будущем, когда воссоздастся слой людей высокой общечеловеческой культуры, когда среди наиболее престижных интересов снова окажутся интересы творчества, - тогда мысли Андрея Николаевича об образовании, безусловно, будут востребованы во всей их полноте.

Мысли великого человека являются общим достоянием человечества. В них всегда содержатся зерна истины, недоступные для поверхностного взгляда. Они должны быть продуманы до конца, детально проанализированы. Так, я уверен, произойдет и с творческим наследием А. Н. Колмогорова, связанным с образованием. Надо только сберечь это наследие!

Лишь в одном мне хочется поспорить с моим учителем. Я имею в виду тезис о "талантах". Поиск людей, которые могут поставить перед собой великие цели и достигнуть их, - благородная задача всего человечества. Но это - отдельная, особая тема. Сам Андрей Николаевич считал безусловно значимыми понятия "талант", "одаренность". Он писал: "Талант, одаренность, скажем, в работе в области математики, физического эксперимента, конструирования новых приборов даны от природы не всем. Никакой упорный труд не может заменить эту природную одаренность" ("Известия", 18.02.1962). А мне кажется, что Учитель никогда не должен произносить таких слов. Цель просвещения - поиск талакпьа в каждом человеке. В каждом надо пробовать находить нечто такое, что должно вселить в него веру в свои силы, чтобы человек заранее ничем не ограничивал себя. И именно математика дает исключительные возможности для этого, и это едва ли не самая важная и благородная цель, которую должен ставить перед собой каждый учитель. И ведь, по существу, Андрей Николаевич, великий Учитель, создавал свою замечательную школу во многом именно таким способом. К нему в орбиту попадали люди разные, и многие из них не были "тестовыми" талантами (скажем, не блистали на олимпиадах), однако Андрей Николаевич умел возжечь огонь в их душах, внушить мысль об их ответственности за некое научное направление, и в итоге они становились лидерами этих направлений, общепризнанными миро- выми авторитетами.

Да и само понятие таланта еще требует своего анализа. Очень много любопытного на эту тему дает наша история. Вернемся к словам самого Колмогорова: "Наша страна нуждается в большом числе хорошо подготовленных и талантливых математиков..." И он предлагал организовывать кружки, проводить олимпиады... Но вспомним первые послевоенные годы. Сталин поставил перед обескровленной, разрушенной страной грандиозные задачи: создать атомную бомбу, баллистические ракеты, атомный подводный флот, сверхзвуковую авиацию, совершенные средства связи. (Не будем обсуждать цели, которые он при этом вынашивал.) Для всего этого требовались математики, много математиков. Но вспомним, как проводился отбор - по анкетам! Иногда эти анкеты состояли из 28 страниц; там был, например, вопрос о том, какие номера могил имеют умершие дедушки и бабушки, и многие другие, столь же "существенные" для оценки одаренности и таланта. Зато не принимались во внимание успехи на семинарах, олимпиадах - решительно ничто из того, о чем говорил Андрей Николаевич, когда декларировал "поиск талантов". И что же? Все поставленные задачи были выполнены! Было создано атомное, а затем и термоядерное оружие, взлетели баллистические ракеты и спутники, был создан мощный подводный атомный флот, наши самолеты были не хуже лучших зарубежных образцов. И в деле разработки систем связи и шифровки мы достигли выдающихся успехов. Государство достигло своих целей и без тех, кто побеждал на олимпиадах. Настала иная эпоха. Еще в начале века наука была индивидуалистпична, она делалась отдельными учеными - талантами и гениями. А в наше время великие свершения осуществляются цивилизациями, когда над отдельной проблемой работает фактически вся государственная система. И потому ныне разумно разделить эти два ремесла. Поиск гениев, творцов и великих подвижников - это дело всего человечества. Государство же пусть отбирает тех, кто ему более подходит. А поиск таланта в каждом человеке - вот благороднейшая и великая цель просвещения, - я убежден в этом.

Я хотел бы еще остановиться на том, какую роль сыграл А. Н. Колмогоров в развитии высшего математического образования. Однажды он написал: "Вся моя жизнь с 1920 года неразрывно связана с Московским университетом". На самом деле, все началось еще раньше. Еще в гимназические годы Колмогоров посещает университетский семинар видного русского историка С. В. Бахрушина и выполняет в нем свое первое научное исследование - о земельных отношениях в Новгороде, по писцовым книгам XV - XVI вв. В 1920 году он становится студентом физико-математического факультета университета. Четвертым января 1921 года датирована его первая математическая рукопись - "Доклад математическому кружку о квадрильяже". Последний текст Андрея Николаевича, адресованный коллегам по факультету, - приветствие к пятидесятилетию В. И. Арнольда - был продиктован им 13 июня 1987 г., за четыре месяца до кончины. Между этими датами - шестьдесят шесть лет, из которых примерно две трети были посвящены факультету и научному творчеству, а треть - целиком школе.

Механико-математический факультет очень многим обязан Андрею Николаевичу Колмогорову. И здесь я хочу воскресить в памяти некоторые его деяния на благо университета и факультета. Деятельность Андрея Николаевича в университете проходила в трех сферах - научной, педагогической и административной. О научной работе было сказано в начале статьи и еще будет сказано ниже. Поговорим здесь о его организаторской и педагогической работе.

Андрей Николаевич занимал в университете множество административных постов. В 1933 году (в возрасте тридцати лет) он назначается директором Института математики и механики при МГУ. По воспоминаниям коллег старшего поколения, одной из основных функций Института было руководство аспирантурой мехмата. Впоследствии Андрей Николаевич заведовал математическим отделением мехмата, и аспирантура была также в его ведении. И все, кому довелось общаться в аспирантские годы с А. Н. Колмогоровым, с восхищением вспоминают о нем. Большинству аспирантов и тех лет, и последующих десятилетий беседы с Андреем Николаевичем запоминались на всю жизнь и нередко открывали путь в большую науку. Как правило, во время беседы перед аспирантом раскрывались таинственные и манящие перспективы даже в тех областях, которые, казалось, были далеки от личных научных интересов Колмогорова.

Андрей Николаевич основал на факультете две кафедры. В 1935 году была создана кафедра теории вероятностей; Андрей Николаевич стал первым ее заведующим и возглавлял кафедру свыше тридцати лет. Это был замечательный период: в эти годы сформировалась мощная теоретико-вероятностная школа СССР, завоевавшая авторитет во всем мире. Что же способствовало этому? Все очень просто: причина успеха - в величии личности Андрея Николаевича, в его щедрости, в богатстве идей, которые он раздаривал своим ученикам, в его научной взыскательности и высоком авторитете, в том, что он считал своим долгом поддерживать людей творческих и инициативных, боролся за таких людей, защищал их, предоставляя им в то же время творческую свободу.

Кроме кафедры теории вероятностей, Андрей Николаевич организовал, и возглавил лабораторию вероятностных и статистических методов (1963 г.) и кафедру математической статистики и случайных про цессов (1976 г.). В самые последние годы жизни Андрей Николаевич был заведующим кафедрой математической логики. Но в ту пору он был уже неизлечимо болен и многого сделать не смог. В 1972 году Андрей Николаевич стал первым лектором обязательного курса математической логики, который он ввел. В 1980 году он прочитал его в последний раз.

С 1954 по 1958 год Андрей Николаевич был деканом механико-математического факультета. Это - замечательный сюжет: Андрей Николаевич на посту декана. В этом сюжете отразилось время, весьма насыщенное событиями. Как декану, ему приходилось взаимодействовать со студентами, парткомом, "профессорско-преподавательским составом", ректором МГУ И. Г. Петровским... Конечно, сам Андрей Николаевич всегда стремился к справедливости (так, как он понимал ее), кое-что ему удавалось, но кончилось все, и довольно скоро, его отставкой. Здесь, пожалуй, не место говорить об этом подробнее, но, по-моему, подобная административная деятельность - не стихия Андрея Николаевича.

Коснемся темы: Андрей Николаевич - лектор. Общепринятое мнение, многократно зафиксированное в разных публикациях, сводится к тому, что Андрей Николаевич был плохим лектором. Мне доводилось читать, что Андрей Николаевич вообще не любил читать лекций. Но это утверждение находится в явном противоречии с тем, что в течение своей жизни Андрей Николаевич читал огромнейшее число обязательных и специальных университетских и интернатских курсов. Он прочитал почти все обязательные курсы, входившие в программу мехмата. В частности, несколько раз читал курс математического анализа (он планировал "в старости" написать учебник по этому предмету). Андрей Николаевич читал алгебру, высшую геометрию, дифференциальные уравнения, разнообразные курсы по теории вероятностей. Он разработал новый тип университетского курса - синтетический курс "Анализ III" - и был первым его лектором. (За курсом "Анализ III" последовали блистательные курсы, читавшиеся на других кафедрах, построенные по сходной схеме: "Линейная алгебра и геометрия", "Геометрия и топология" и др.) А сколько замечательных спецкурсов прочитал Андрей Николаевич! В мои аспирантские годы Андрей Николаевич читал курсы по энтропии, классической механике, теории меры, случайным процессам. Именно через эти его курсы входили в математику В. М. Алексеев, В. И. Арнольд, Ю. К. Беляев, В. Д. Ерохин, В. П. Леонов, Л. Д. Мешалкин, Ю. А. Розанов, Я. Г. Синай, А. Н. Ширяев и многие другие.

Я вспоминаю последнюю лекцию осеннего семестра 1955 года, венчавшую первую половину обязательного курса "Анализ III". Она была посвящена теории динамических систем и почти целиком состояла из "необязательного" материала. В этой лекции, начавшейся с определения динамической системы и демонстрации нескольких примеров (в частности, бернуллиевых испытаний), рассказывалось об эргодичности и теореме о возвращении Пуанкаре - Каратеодори; в качестве иллюстрации приводился усиленный закон больших чисел. Затем приводились примеры динамических систем классической механики, доказывалась теорема Лиувилля о сохранении объема в фазовом пространстве и теорема о возвращении для вращения тела с закрепленной точкой. В заключение говорилось о разного рода гипотезах, связанных с устойчивостью Солнечной системы (окончательный результат на основе теории, за год до читавшейся лекции построенной самим Колмогоровым, был через восемь лет получен Арнольдом). Никогда больше мне не доводилось прослеживать в течение одной лекции путь от самых истоков теории до современного ее состояния и обзора манящих перспектив будущего развития.

А какие замечательные лекции читал Андрей Николаевич для "широкой" математической аудитории! На его лекции "Автоматы и жизнь" был заполнен Дворец культуры университета, вмещающий более 1000 человек. Люди стояли в проходах; были радиофицированы две большие аудитории 01 и 02 (по 400 мест), и они были также переполнены. Какой успех имел тогда Андрей Николаевич! И после всего этого все еще бытует мнение, что А. Н. Колмогоров был плохим лектором!

Огромное число колмогоровских лекций не было записано и фактически пропало. Безумно жаль! ... А бывало, случалось такое. Начиная чтение спецкурса по теории случайных процессов, Андрей Николаевич попросил своего ученика Виктора Леонова (трагически погибшего в горах в 1960 г.) вести конспект на предмет издания в будущем этого курса в виде книги. Виктор вел этот конспект с необычайным тщанием, восстанавливая все бегло обозначенные или пропущенные места. Это требовало огромного труда. Фактически всю неделю - от лекции до лекции - он работал над совершенствованием текста. Наконец Виктор понес свое детище Андрею Николаевичу. Тот некоторое время листал огромную папку и потом воскликнул: "Боже, какой урод у нас с вами получился!" Когда Виктор потом рассказывал об этом, как нам было весело! Казалось - жизнь бесконечна, можно будет легко исправить этого "урода" и издать книгу (ведь курс был исключительно насыщенным и интересным). Но судьба распорядилась иначе: Виктор погиб, а Андрей Николаевич больше никогда не вспоминал ни о курсе, ни о написанном конспекте. Такая же судьба постигла многие прочитанные Андреем Николаевичем курсы и отдельные лекции.

Еще об одном педагогическом нововведении мне хотелось бы здесь хоть вкратце упомянуть. Это - математический практикум, который придумал и которым некоторое время руководил А. Н. Колмогоров. (И здесь материалов, по-видимому, не осталось никаких, а участники, которых я спрашивал, сохранили лишь самые общие воспоминания.) Андрей Николаевич брал темы для практикумов, находившиеся на самом острие науки: предельные циклы (которыми занимался И. Г. Петровский), уравнения с малым параметром (их исследовали А. А. Дородницын, А. Н. Тихонов, Л. С. Понтрягин и Е. Ф. Мищенко), численные методы для дифференциальных уравнений (это была актуальнейшая тема в Отделении прикладной математики Математического института им. В. А. Стеклова). Я хочу подчеркнуть, что этими вопросами занимались в те годы крупнейшие ученые. Их труды отмечались орденами, званиями и премиями. А Андрей Николаевич силами студентов иногда продвигался дальше: уточнял асимптотики, совершенствовал методики, набирал необходимую статистику. Как жаль, что все это утрачено!

Разумеется, надо сказать и о его семинарах. Это вообще часть темы для специального исследования: семинары мехмата тридцатых - семидесятых годов! По моему мнению, мехмат МГУ в эти полвека был лучшим в мире учебным заведением по математике. И главная основа этого - мехматские семинары. Они выросли из скромного семинара Дмитрия Федоровича Егорова 1914 года с четырьмя основными участниками - П. Александровым, Д. Меньшовым, М. Суслиным и А. Хинчиным. А потом образовались такие замечательные семинары, как топологический кружок П. С. Александрова и П. С. Урысона, семинары А. Н. Колмогорова - А. Я. Хинчина по теории вероятностей, И. Г. Петровского - С. Л. Соболева - А. Н. Тихонова по уравнениям с частными производными, В. В. Степанова - В. В. Немыцкого по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Д. Е. Меньшова - Н. К. Бари по теории функций, А. И. Маркушевича - Б. В. Шабата по комплексному анализу, А. И. Плеснера по функциональному анализу, А. О. Гельфонда по теории чисел, В. Ф. Кагана по дифференциальной геометрии, семинары по уравнениям с частными производными О. А. Олейник и М. И. Вишика, не говоря уже о семинаре И. М. Гельфанда, просуществовавшем более 50 лет. Этот список можно продолжать и продолжать. А на смену этим семинарам наших учителей пришли замечательные семинары математиков следующих поколений - В. И. Арнольда, С. П. Новикова, Ю. И. Манина, Я. Г. Синая, В. М. Алексеева и др.

Среди самых интересных математических семинаров на мехмате был упомянутый уже семинар А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина по теории вероятностей, существовавший с конца двадцатых и до начала шестидесятых годов. Это была настоящая научная школа для всех вероятностников.

Но Андрей Николаевич был еще необыкновенным мастером организации "семинаров по случаю". Так, в 1953 году он объявил семинар по классической механике, где были заложены основания КАМ-теории; в 1955 году он объявил семинар по суперпозициям функций и сделал основное продвижение в решении 13-й проблемы Гильберта (а затем обобщил результат Арнольда, решившего проблему); в те же годы он объявил семинар по рекурсивным функциям, принесший большие плоды в математической логике; я был участником его замечательных семинаров пятидесятых годов по теории информации и динамическим системам, где едва ли не каждую неделю докладывались новые выдающиеся результаты.

Несколько раз уже возникала тема: А. Н. Колмогоров - глава эамечательной математической школы. Здесь, где я говорю о роли Андрея Николаевича в истории мехмата, я хочу перечислить тех непосредственных учеников Андрея Николаевича, которые в разные годы работали профессорами нашего факультета. Это: В. М. Алексеев, В. И. Арнольд, Ю. К. Беляев, Л. Н. Большев, А. В. Булинский, И. М. Гельфанд, Б. В. Гнеденко, Р. Л. Добрушин, Е. Б. Дынкин, И. Г. Журбенко, В. М. Золотарев, Л. Д. Мешалкин, Ю. В. Прохоров, Ю. А. Розанов, Б. А. Севастьянов, Я. Г. Синай, В. М. Тихомиров, Ю. Н. Тюрин, В. А. Успенский, С. В. Фомин, Г. Е. Шилов, А. Н. Ширяев, А. М. Яглом (возможно, я кого-то не вспомнил). С теплыми чувствами произношу я имена своих друзей и коллег, объединенных именем Андрея Николаевича Колмогорова. Мне кажется, мы не омрачили памяти нашего великого учителя недостойными поступками. Все мы сохранили благодарность к нашему учителю и чувство глубокой общности.

Настало время вернуться еще раз к научной биографии Андрея Николаевича и обсудить некоторые особенности его творческой манеры, во многом способствовавшей созданию столь значительной научной школы. Все познается в сравнении, и мне хочется сравнить творческие особенности Андрея Николаевича с творческой манерой его выдающихся коллег и современников.

Как-то Андрей Николаевич завел разговор о том, кого считать самым крупным из современных математиков. Из сказанного им следовало, что пытаться остановиться на каком-то одном имени бесперспективно: договориться не удастся. Существует как бы мнолсество первых математиков. Оно сравнительно невелико, но достаточно определенно: если расспросить сотню-другую математиков, то они назовут примерно одни и те же имена. Во время разговоров с друзьями не раз возникала эта тема (особенно когда мы были молоды). Назывались - в качестве первых - сам Андрей Николаевич, И. М. Виноградов, С. Н. Бернштейн, И. Г. Петровский, Л. С. Понтрягин, И. М. Гельфанд. (Здесь упомянуты лишь математики советского периода.) Вполне допускаю, что можно было бы добавить и другие имена. Но давайте остановимся на этом списке, присоединив к этому собранию еще лишь имя Гильберта - безусловно, первого математика первой трети нашего века, ученого, которого очень высоко чтил Андрей Николаевич и о ком он написал так проникновенно в Большой Советской Энциклопедии. (Из зарубежных математиков, разумеется, можно было бы в рассматриваемом ряду назвать многих - Адамара, Брауэра, Г. Вейля, Гёделя, Зигеля, Э. Картана, А. Картана, Лебега, Лере и др.)

Есть одно фундаментальное отличие творческой манеры Андрея Николаевича от всех перечисленных математиков. Израиль Моисеевич Гельфанд как-то обронил в разговоре: "Математика - это марафон". В этом заключена глубокая мысль. И сам Гельфанд, и все остальные перечисленные выше математики, без всякого сомнения, были "марафонцами". А Андрей Николаевич принадлежал к другому типу творцов (впрочем, кроме него самого, подобных ему я не взялся бы назвать). Андрей Николаевич был, конечно, и "марафонцем", но главным образом он был "спринтером".

Что это значит? На протяжении многих лет и в печати, и в личных разговорах Андрей Николаевич часто приводил одно высказывание Бориса Николаевича Делоне. Тот, выступая как-то перед школьниками на закрытии олимпиады, сказал, что творчество ученого-математика отличается от труда участника математической олимпиады лишь тем, что для решения олимпиадной задачи требуется что-то около часа времени, а для решения настоящей, глубокой математической проблемы требуется 5000 часов. Эта величина - 5000 часов - и характеризует труд математика-марафонца.

Однако всякий раз, когда в разговоре речь заходила о нем самом, Андрей Николаевич выражал явное смущение. У него этих пресловутых 5000 часов не получалось. В одном из последних интервью он сказал так: "Мне во всей истории моих научных открытий так уж самозабвенно, отключившись от всего другого, приходилось работать неделю, иногда, может быть, две, но не больше". Впервые я слышал подобное примерно сорок лет тому назад, когда Андрей Николаевич выступал перед моим курсом, и тогда он назвал значительно меньшую цифру - трое суток беспрерывных размышлений над примером почти всюду расходящегося ряда Фурье, завершившихся внезапным озарением. Тогда же было сказано, что этот результат так и остался самым трудным в его научной биографии. В конце жизни Колмогоров в качестве самого трудного результата называл теорему, впоследствии приведшую к решению проблемы Гильберта, и при этом упоминал уже о двух неделях неотступных размышлений.

По-видимому, эти случаи характерны для Андрея Николаевича. Он умел концентрировать огромную энергию на сравнительно коротком отрезке времени. Подобные аккумуляции энергии порождали мощнейшие взрывы, и в, казалось бы, неприступных крепостных стенах образовывались зияющие бреши. Туда устремлялись десятки, иногда сотни и даже тысячи исследователей. А сам Андрей Николаевич обычно оставался в стороне от всего этого, и мысли его были уже направлены к другим целям. Это многократно случалось на моих глазах. И вообще, быть может, с этой точки зрения будет интересно взглянуть на всю творческую биографию Андрея Николаевича.

Первая значительная работа была выполнена им по дескриптивной теории множеств, под воздействием курса, читавшегося Павлом Сергеевичем Александровым. Андрея Николаевича озарила воэможность соединения основной идеи Александрова, приведшей к построению А-множеств, с основной идеей Суслина, доказавшего, что запас А-множеств шире запаса В-множеств. В итоге были заложены основания теории операций над множествами. Эта работа не была понята Лузиным, и потому первая часть ее была опубликована лишь через семь лет - в 1928 году. (Вторая часть, найденная в бумагах Андрея Николаевича в 1986 году, была опубликована в 3-м томе избранных сочинений А. Н. Колмогорова в 1987 году.) Больше этой проблематикой Андрей Николаевич не занимался. Впоследствии теория разрослась очень широко, и труд Андрея Николаевича по праву занял место одного из истоков нового направления.

Затем последовало крупнейшее открытие начального периода творческой деятельности Андрея Николаевича (мы говорили о нем выше) - был построен почти всюду расходящийся ряд Фурье. Теорией тригонометрических и ортогональных рядов Андрей Николаевич занимался еще некоторое время, но затем его интересы сместились в сторону теории вероятностей (которой он несколько лет занимался в тесном сотрудничестве с А. Я. Хинчиным). В начале 30-х годов его усилия увенчались двумя фундаментальными трудами, о которых уже упоминалось: "Об аналитических методах теории вероятностей" и "Основные понятия теории вероятностей". Наряду с этими "марафонскими" сочинениями было и несколько "спринтерских" озарений - в частности, таковы его исследования по математической логике, его замечательная работа по математической статистике и выдающийся цикл топологических работ (в которых он, одновременно с американским математиком Александером, ввел важнейшее понятие топологии - "верхние гомологии"). Все это произошло в 30-е годы. Здесь же и две его краткие заметки по теории аппроксимации, заложившие основы нового фундаментального направления, решение проблемы о повышении размерности при открытом отображении и ряд других замечательных результатов. Конец 30-х и начало 40-х годов были посвящены теории турбулентности. Эти исследования имели и "марафонскую" компоненту.

В 40-х годах им была построена теория стрельбы (и здесь имелись "марафонские" элементы) и заложены основания теории так называемых ветвящихся процессов (а это, пожалуй, "спринтерское" достижение). И вот я снова возвращаюсь к 50-м годам.

Началось все со внезапного великого озарения, приведшего к основанию КАМ-теории. Буквально через десять лет число исследователей, использовавших метод Андрея Николаевича, исчислялось десятками, а сам Андрей Николаевич опубликовал лишь две заметки в "Докладах АН СССР", прочитал спецкурс на мехмате и сделал большой доклад на Амстердамском конгрессе. В 1955 году его начала интересовать уже теория информации. Но "случайно" ему довелось "почти" решить 13-ю проблему Гильберта (ценою колоссального, как было сказано, напряжения): он доказал, что любая непрерывная функция четырех и более переменных представима в виде суперпозиции непрерывных же функций трех переменных. И снова он не стал работать над окончательным решением проблемы (и прямо объявил об этом). Решил проблему В. И. Арнольд, тогда студент третьего курса.

...Как-то летом 1957 года я приехал в Комаровку, и вот что мне рассказал Андрей Николаевич. Оказывается, за день до того, при обдумывании конструкций, приведших к решению 13-й проблемы Гильберта, Андрея Николаевича вдруг осенило и он нашел необычайно простой новый подход к решению проблемы, с некоторым даже усилением результата Арнольда. К моменту моего приезда была уже написана заметка в ДАН! Точно так же случилось и с проблемой фон Неймана (стоявшей свыше двадцати лет и которой занимались все специалисты по динамическим системам) о том, является ли спектр полной характеристикой динамической системы. И снова, во время одного из моих посещений Комаровки, Андрей Николаевич вдруг говорит: "Энтропия - это инвариант, а одного спектра недостаточно". Снова произошло мгновенное озарение, прорыв, и в образовавшуюся брешь ринулись десятки исследователей, среди которых были математики самого первого ранга; сам же Андрей Николаевич, как это часто бывало, ограничился заметкой в ДАН лишь об этом изначальном результате. Или вот еще один случай. Однажды едем мы с Андреем Николаевичем в Ленинград на конференцию. Вечером беседуем в коридоре вагона о разном. И вдруг он мне говорит, что ему только что пришла в голову (тут же, во время разговора!) мысль о том, что энтропия может быть инвариантом и при линейных отображениях линейных топологических пространств. И снова вскоре была написана заметка, и снова этой темой заинтересовались очень многие математики, а Андрей Николаевич, на моей памяти, никогда даже и не полюбопытствовал, что же происходит в этой области.

Насколько можно судить, ничего похожего не было ни с кем из перечисленных мною "первых" математиков. Наиболее яркой противоположностью Колмогорову был как раз Гильберт. Благодаря "спринтерской" особенности своего творческого гения Андрей Николаевич успел проникнуть в огромное число вопросов, проблем, тем. Я в одной из своих статей, посвященных Андрею Николаевичу, перечислил около сорока направлений в математике, естествознании, гуманитарных науках, где он оставил фундаментальный след (не исчерпав, по-видимому, всего им созданного). Почти всюду исследования Андрея Николаевича были трудами первооткрывателя, а создание теорий, разработка открытых им новых территорий - все это выпадало на долю других. Гильберт же занимался лишь восемью темами, но занимался с полной сосредоточенностью, в течение многих лет, а иногда - десятилетий, стараясь добраться "до оснований, до корней, до сердцевины". Похожи творческие биографии С. Н. Бернштейна, И. М. Виноградова, И. Г. Петровского, Л. С. Понтрягина. (Особый случай - И. М. Гельфанд: он всегда работал с сотрудниками, в то время как остальные трудились в одиночку.Как и Андрей Николаевич, он занимался очень многими проблемами. Но он-то - несомненный "марафонец".)

Иэ того, что было сказано, вытекает, что от Андрея Николаевича всегда исходило огромное число идей, и они-то и питали учеников, работавших рядом с ним. Андрей Николаевич не работал вместе с учениками; он, собственно, и не учил их в общепринятом смысле этого слова. Он просто сеял проблемы, гипотезы, идеи, методы - на лекциях, во время прогулок, за чаем в Комаровке... Это были всегда проблемы с дальним прицелом, в них была не только математическая, но и общенаучная (или философская) загадка. И если человек ступал на какую-то стезю, то дальше он двигался вперед уже самостоятельно и никогда не мог сказать, что все уже сделано...

Завершая тему творчества, хотел бы обсудить еще одну загадку в судьбе Андрея Николаевича. Мы много беседовали с ним обо всем, однако один странный вопрос возник у меня тогда лишь, когда спросить у Андрея Николаевича было уже невозможно... Вопрос простой: почему Андрея Николаевича не привлекали к сверхсекретным работам?

Начиная с 30-х годов с каждым годом все расширялась могущественная тайная империя, назначением которой было создание и совершенствование современного оружия. В этой империи было множество независимых федераций. В одной производилось атомное (а затем и термоядерное) оружие, в другой создавали спутники и баллистические ракеты, в третьей отрабатывались типы сверхзвуковых самолетов, в четвертой производили атомные подводные лодки, в пятой разрабатывались системы секретной связи и шифровки... Вряд ли я назвал все и точно - ни к чему подобному никогда не имел ни малейшего отношения. Но я жил в этой стране, и совсем ничего не знать про эту великую империю было невозможно. Сейчас секреты постепенно стали раскрываться. Видны и масштабы этой беспредельной империи. Стали известны некоторые из ее руководителей - партийных и научных. Там трудились рабочие, служащие, инженеры, техники и огромное число ученых всех специальностей. Разумеется, в том числе и математики, причем из известных математиков - фактически все. И особенно удивляет отсутствие среди них А. Н. Колмогорова. Посмотрите: Н. Н. Боголюбов работал над атомной программой, жил в Арзамасе; И. М. Гельфанд был одним из лидеров советской вычислительной математики, работавшей на атом и космос; А. О. Гельфонд был занят проблемами шифровки; о М. В. Келдыше и говорить не приходится; М. А. Лаврентьев занимался самыми разнообразными проблемами вооружения, включая атомное; Л. А. Люстерник работал в секретном отделе ОПМ с первых дней войны, а затем был одним из пионеров программирования; Л. В. Канторович был на секретных работах, связанных с вычислительной математикой; И. Г. Петровский был консультантом по важнейшим проблемам атомной и космической науки; С. Л. Соболев заведовал вычислительным центром при И. В. Курчатове; А. Н. Тихонов за секретные работы получил в 1953 году звание Героя Социалистического Труда... Кого же из математиков, членов академии, обошла чаша сия? П. С. Александрова, И. М. Виноградова, Н. Н. Лузина и А. Н. Колмогорова... То, что Александрова, Виноградова и Лузина могли не пригласить на секретные работы, можно понять: их специализация была слишком далекой от техники, - но Колмогоров! Один из величайших ученых того времени, истинный натурфилософ, специалист в актуальнейших вопросах механики, физики, гидромеханики и аэромеханики, турбулентности, теории вероятностей, классического анализа, логики - словом, всего!

В Америке активнейшим образом на секретных работах использовали труд математиков, конкурировавших так или иначе с А. Н. Колмогоровым (хотя он один, быть может, стоил их всех). Я имею в виду фон Неймана, Винера, Улама, Стоуна, Тьюринга, Шеннона и других. В 1939 году Андрей Николаевич выступает на Московском математическом обществе с докладом о стационарных последовательностях в гильбертовом пространстве. Соответствующий труд Винера, сделанный позже, был засекречен, ибо решал секретные проблемы радиолокационного управления авиацией. В 1947 году Колмогоров публикует две работы по ветвящимся процессам (совместно с Н. А. Дмитриевым и Б. А. Севастьяновым). Через некоторое время его берет сомнение, не является ли эта тема секретной. Выясняется, что это так, и дело доходит до того, что у Севастьянова забирают его собственную кандидатскую диссертацию и запрещают ему пользоваться ею. Несомненна исключительная роль турбулентности в самых разнообразных исследованиях секретного характера. Или теория информации - с какой скоростью Андрей Николаевич вышел на самые передовые позиции, как только были сняты грифы секретности с исследований Шеннона и они были опубликованы! А как много мог он сделать, если бы был вовремя привлечен к этой тематике! Трудно представить себе, сколько мог сделать Андрей Николаевич и для вычислительной математики, и даже для конструирования вычислительных машин... Однако государство предпочло обойтись без него. Почему? Я не знаю ответа. (Может быть, именно благодаря тому, что Андрей Николаевич не был задействован в секретных исследованиях, как-то в 1956 году он, встретив меня, тогда студента пятого курса, в коридоре мехмата, сказал: "У меня сейчас много свободной энергии, я набираю дипломников. Не согласитесь ли вы работать со мной?" Этот разговор определил мою судьбу.)

И, вероятно, это же обстоятельство - непричастность к секретности - сыграло самую положительную роль в дальнейшей судьбе самого Андрея Николаевича. Как только умер Сталин, приоткрылись двери на Запад. Андрей Николаевич в 1954 - 1955 годах побывал в Голландии (на Международном конгрессе), во Франции, в Швеции, в ряде других стран. На него как из рога изобилия посыпались награды и звания, свидетельствовавшие о признании его научных заслуг. Его избирают в Национальную академию наук США, Парижскую академию, Лондонское королевское общество, в различные академии Западной и Восточной Европы. А некоторые его коллеги, наиболее плодотворную часть жизни посвятившие секретным работам, не получили признания, адекватного их дарованию. Многие именно этим объясняют то единодушие и ту безжалостность, с которыми в начале 80-х годов некоторыми его коллегами по Академии были отвергнуты усилия Андрея Николаевича по реформе математического образования.

А в заключение мне хочется сказать несколько слов не о великом ученом, не о реформаторе и просветителе, а о человеке - добром, трогательном, во многом счастливом, в чем-то глубоко несчастном.

...Когда я закрываю глаза, передо мной попеременно предстают два человека. Один - стремительный, полный сил и энергии, спортивный, исполненный оптимизма... Но картинка меняется, и я вижу больного старика, неподвижно сидящего в кресле, совершенно беспомощного и молчаливого. Я подхожу к нему, дотрагиваюсь до его плеча и спрашиваю: "Андрей Николаевич, как вы?" И он всегда отвечает одно и то же, и до сей поры сжимается мое сердце. Он еле слышно, с трудом произносит: "Живу..." И замолкает.

Последние годы его были очень тяжелы, и даже сейчас об этом больно вспоминать. Значительное ухудшение здоровья Андрея Николаевича в этот период резко нарушило привычный ритм и сам стиль его жизни - с активной творческой работой, с живым общением с очень многими людьми, с длительными прогулками пешком и на лыжах и купанием в любую погоду... Нарастающая потеря зрения и прогрессирующая затрудненность движений привели к тому, что ставшая потребностью ежедневная работа за письменным столом, чтение книг и статей, подготовка собственных рукописей, обсуждение совместной работы с учениками и молодыми сотрудниками, не говоря уже о былых физических нагрузках, - все это вдруг сделалось практически невозможным.

Деятельная натура Андрея Николаевича не могла смириться с этим: он упрямо противился судьбе. В этой борьбе с недугом посильную помощь оказывали его близкие, ученики, сотрудники. Поначалу помощь касалась научной и педагогической работы Андрея Николаевича, но затем должна была постепенно охватить все стороны его жизни. Организацию регулярных, ежедневных дежурств и все связанные с этим хлопоты взял на себя ученик Андрея Николаевича А. В. Прохоров. Здесь трудно перечислить всех людей (их более 40), которые принимали участие в дежурствах, и рассказать о роли и вкладе каждого. Все же хочу назвать тех, на долю кого пришлась самая тяжелая часть ухода за больным Андреем Николаевичем. Это Ася Александровна Буканова, сиделка и поистине сестра милосердия, и совсем тогда молодые люди - Юрий Усенко и Андрей Летчиков, выполнявшие, помимо регулярного участия в дежурствах, также обязанности секретарей при Андрее Николаевиче по МИАНу и МГУ.

Хочу в заключение привести несколько цитат (с некоторыми небольшими пояснениями) из последнего интервью Андрея Николаевича, публикуемого в этом сборнике (см. с. 185 - 212).

Интервью Андрей Николаевич давал Александру Николаевичу Марутяну, режиссеру студии "Центрнаучфильм", решившему снять фильм о Колмогорове. Молодой кинорежиссер проникся глубочайшим уважением к Андрею Николаевичу, и интервью получилось содержательным и интересным. Многое в этом интервью, высказанное на исходе жизни человеком тяжело больным и несчастным, своеобразно оттеняет весь облик Андрея Николаевича. Я хочу показать это на двух примерах.

Вот первый. Речь зашла о математике и математиках, их значении в настоящем и будущем. А. Н. Марутян спрашивает: "Можно ли сказать, что математика - это наиболее "впереди идущая" или "вперед смотрящая" наука?"

Какой напрашивается ответ? - "Да, разумеется!" Помните, сколько раз в своих публикациях Андрей Николаевич говорил что-то вроде: "Нашей стране необходимо иметь много математиков-исследователей, способных делать открытия..." и т. п. Однако Андрей Николаевич отвечает: "Нет" - и продолжает: "Я думаю, что просто человечеству достижения математики оказываются нужными. А нам, математикам, она доставляет такое внутреннее наслаждение. И, по-моему, самое лучшее решение - это такое мирное сосуществование. У меня был один приятель, такой чистый гуманитарий, который говорил, что, с его точки зрения, математики - это такие полезные домашние животные, что надо относиться к ним вот именно с такой утилитарной точки зрения... Поскольку техника нужна, то, значит, нужна и математика, и нужно ублажать достаточно математиков, давать им жить, пусть себе занимаются..." Вот тебе и на! Не цари, не принцы, а всего только полезные домашние животные! И пусть себе занимаются...

Второй фрагмент. И снова о том же, все о том же - о будущем... Все началось с такого вопроса А. Н. Марутяна: "Андрей Николаевич, когда-то были времена - скажем, Архимеда или даже Ньютона, - когда изучение окружающего мира находилось в сфере доступности просто для образованного человека. Сейчас, увы, это уже не так. Потому что в силу своего образования можно что-то понимать, и то очень немного, лишь в какой-то одной теоретической области. Как вы считаете, такое положение - естественный результат развития человеческого общества или это этап, через который мы пройдем и, может быть, снова вернемся к какому-то общему пониманию?"

Андрей Николаевич начинает издалека и как бы не на тему: "Вы знаете книжку Шкловского "Вселенная, жизнь, разум"? Там он определенно говорит, что развитие каждой культуры, если оно не будет остановлено какими-то такими катастрофическими событиями - ну, все мы понимаем, что может произойти с человечеством сейчас, - так, по Шкловскому, если никаких таких катастрофических причин уничтожения цивилизации не оказалось, то цивилизация заканчивается таким этапом потпери интпереса к технике, - вы помните у него? Вероятно, это все-таки правильно..."

А. Н. Марутян переспрашивает: "Что значит "потеря интереса к технике"? Вы хотите сказать, что человечество начинает заниматься больше какими-то гуманитарными проблемами?" И тут Андрей Николаевич снова отвечает совершенно неожиданно - этого я никогда от него не слышал раньше и даже не подозревал, что такой ответ может находиться в сфере его сознания. Андрей Николаевич говорит так: "Даже не гуманитарными проблемами, а вообще возможен такой возврат к более элементарной и детской радости от жизни". Вот такие удивительные и очень трогачельные слова...

Давайте закончим на этой ноте. И пусть каждый найдет свое: радость открытия, радость творчества, радость человеческого общения или просто - элементарную, детскую радость от жизни!

Материалы страницы любезно предоставлены
Владимиром Михайловичем Тихомировым