Теория вероятностей и ее применения

(В кн.: Математика и естествознание в СССР. М. - Л.: ГОНТИ, 1938, тираж 3225, с. 51-61.)

А. Н. Колмогоров

Истекшее двадцатилетие было в мировой науке периодом бурного роста и переустройства теории вероятностей и дальнейшего роста ее влияния на физические, биологические и технические исследования. Возросшее внимание к теории вероятностей привело к тому, что в этой области впервые наладилось систематическое международное сотрудничество, при котором новые идеи, возникшие в одной стране, в ближайшие же годы, а иногда и месяцы, находят отклик в другой. В этой оживленной и интенсивной работе советские математики принимали весьма значительное участие, а во многих направлениях им принадлежали руководящие основные идеи.

Правда, при этом в теории вероятностей для советской науки дело шло не о завоевании впервые почетного места в международной научной работе, а скорее о сохранении в обстановке резко возросшей активности иностранных научных школ того первого места, которое в предшествующий период прочно было завоевано русской наукой благодаря трудам Чебышева, Маркова и Ляпунова. В этот предшествующий период, бывший в Западной Европе периодом известного упадка общетеоретических исследований по теории вероятностей, классическое наследство Лапласа, Пуассона и Гаусса подверглось в трудах указанных русских ученых глубокой переработке.

Их исследованиями, собственно, и была создана та законченная система классической теории вероятностей, которая сейчас составляет основное содержание учебников. Однако о ведущем положении русской школы по отношению к мировой науке для дореволюционного периода можно говорить лишь с большой оговоркой. Если исследования Чебышева были уже давно оценены за границей, то фундаментальные мемуары Ляпунова, содержавшие доказательство основной предельной теоремы теории вероятностей (1900-1903 гг.), оставались долгое время почти незамеченными и их содержание переоткрывалось R. Mises'ом (1909 г ) и Lindеberg'ом (1923 г.).

Еще печальнее судьба исследований Маркова, посвященных схеме течения случайных явлений, называемой теперь всюду схемой "цепей Маркова". В исследованиях самого Маркова эта схема трактуется чисто теоретически, в качестве же ее иллюстрации разбирается проблема чередования гласных и согласных в тексте "Евгения Онегина". Лишь около 1930 г. результаты Маркова получили широкую известность (частично были переоткрыты заново) и сделались теоретической основой весьма общих и важных концепций статистической физики.

Последний пример с "цепями Маркова" связан и с другой особенностью дореволюционной русской школы: направленностью исключительно на решение классических проблем, при оторванности от возникающих вновь запросов к теории вероятностей со стороны других наук.

Эти новые требования к теории вероятностей в первую очередь возникли во второй половине девятнадцатого века на почве развития статистических методов в социальных и биологических науках. Именно на этой почве сложился тот комплекс теорий, который понимается обычно и преподается под именем математической статистики. Теория вероятностей входит в этот круг проблем главным образом при определении достаточности ограниченного числа наблюдений для тех или иных выводов. Именно в этом можно видеть известную (конечно относительную) специфичность вероятностных проблем математической статистики. В двадцатом веке в математической статистике определенно наметилось господство английской (Пирсон, Фишер) и, отчасти, американской школ. Возрастающее число критериев совместимости данного конечного ряда наблюдений с той или иной статистической гипотезой, предложенных по различным специальным поводам, привело в последние годы к напряженным поискам общих объединяющих принципов математической статистики, рассматриваемой именно с точки зрения проверки статистических гипотез (например в работах Неймана и Пирсона младш.). В этой области советским математикам принадлежит ряд замечательных специальных исследований (см. далее § 3), однако переработка и переоценка общих концепций математической статистики, развивающихся сейчас за рубежом под большим влиянием идеалистической философии, является для нас еще делом будущего.

В статистической физике вопросы .достаточности ограниченного числа наблюдений отходят на задний план. Непосредственно наблюдаемыми здесь чаще всего являются результаты наложения огромного числа случайных явлений (например, молекулярного масштаба), т. е. материал для проверки гипотез о течении отдельных случайных явлений оказывается собранным независимо от нас во вполне достаточном количестве. Зато статистическая физика предъявляет особенно большие требования к разработке новых, более широких, чем классические, схем течения случайных явлений. Особенно первые десятилетия двадцатого столетия характерны тем, что физики, не удовлетворенные возможностями, предоставлявшимися классической теорией вероятностей, стали на путь самостоятельного создания, по отдельным частным поводам, новых теоретико-вероятностных схем. К той же необходимости пришел и ряд биологов и техников. Например, исследования по теории диффузии заставили Фоккера и Планка создать аппарат дифференциальных уравнений, которые позднее были найдены уже в качестве общих дифференциальных уравнений произвольных непрерывных случайных процессов без последействия (см. далее § 2). Те же самые дифференциальные уравнения были совершенно независимо введены Фишером при изучении некоторых вопросов биологии. К таким работам, предвосхищающим позднейшее развитие общих концепций теории вероятностей, относятся также работы Эйнштейна и Смолуховского по теории Броуновского движения ряд исследований американских техников (Т. Фрай и др.) по проблемам скученности, связанных, в частности, с вопросами эксплоатации. телефонных сетей, и т. д. Наконец, серьезнейшие задачи были поставлены перед теорией вероятностей в направлении вероятностного обоснования так называемой эргодической гипотезы, лежащей в основе термодинамики. Лишь около 1930 г. математики всерьез взялись за систематизацию всего этого материала. Возникшие на этой почве исследования целесообразнее всего объединить под именем общей теории случайных процессов.

Выяснив обстановку, в которой развивалась теория вероятностей за последнее двадцатилетие, мы переходим к обзору достижений в этой области советских ученых, разделив их на три основные направления:

1) продолжение классических исследований о предельных теоремах для сумм независимых и слабо зависимых случайных величин, 2) общая теория случайных процессов, 3) вопросы математической статистики. Независимо от этого систематического деления заметим, что началом значительной работы по теории вероятностей в СССР следует считать примерно. 1924-1925 гг. В 1925 и 1926 гг. появились фундаментальные исследования С. Н. Бернштейна (о них см. ниже), которых уже одних было бы достаточно,. чтобы считать достойно продолженными традиции Чебышева, Маркова и Ляпунова. Вскоре за этим появилась ставшая уже классической "Теория вероятностей" С. Н. Бернштейна. Параллельно, начиная с 1923 - 1925 гг., развивались работы московской школы (А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров), ограничивавшейся вначале довольно узким кругом вопросов, доступных методам, перенесенным из теории функций действительного переменного.¹

§ 1. Центральной проблемой исследований Чебышева, Ляпунова и Маркова было выяснение условий применимости к суммам s_n = х ₁ + x₂ + ... + х _n большого числа независимых, или слабо зависимых, случайных слагаемых x_i , нормального, или гауссовского, закона распределения вероятностей. Классические методы исследования этой проблемы получили свое завершение в фундаментальном мемуаре С. Н. Бернштейна (1926 г.). Здесь очень, сильно расширены условия применимости гауссовского закона к суммам зависимых величин и впервые дано строгое обоснование применимости многомерного гауссовского закона распределения к суммам векторов в_пространсгве любого числа измерений. Этот последний результат дает также теоретическое обоснование применимости формул нормальной корреляции для того случая, когда коррелятивно связанные величины могут рассматриваться как суммы большого числа слагаемых, а связь между ними исчерпывается связью между соответствующими (или близкими к соответствующим) слагаемыми этих сумм. Таково, в частности, положе ние при наследовании количественных признаков, вызываемых аддитивным действием большого числа генов. Это дало возможность С. Н. Бернштейну показать, что закон наследования количественных признаков, найденный Гальтоном, является следствием законов Менделя (в предположении аддитивного действия многих несцепленных генов), а отнюдь не противоречит им, как это часто высказывалось.

Возвращаясь к одномерному случаю, можно формулировать условия применимости нормального закона распределения к суммам независимых слагаемых следующим образом: с вероятностью, близкой к единице, все слагаемые много меньше их суммы s_n.² Возникает естественный вопрос, какие предельные распределения можно получить, если требовать лишь, чтобы для каждого отдельного слагаемого x_i вероятность его малости по сравнению с суммой s_n была близка к единице (принцип индивидуальной пренебрегаемости" слагаемых)? Ответ получен недавно Г. М. Бавли и А.Я. Хинчиным (в несколько неотчетливой формулировке также Р. Levy во Франции): в пределе получаются так называемые "неограниченно делимые" законы распределения, включающие как частный случай закон Гаусса, закон Пуассона, закон Коши и т. д. Этот класс законов распределения несомненно заслуживает более систематического введения и в статистическую практику.

Помимо только что указанного существенного расширения классического подхода к предельным теоремам о суммах случайных слагаемых следует отметить еще следующее: в применениях мы употребляем предельные теоремы к распределениям конечных сумм. Между тем, существующие оценки остаточных членов таковы, что во многих из практически наиболее важных случаев гарантированная оценка остаточного члена во много раз превышает основной член.³ Лишь для простейшего случая -для теоремы Лапласа -С. Н. Бернштейном дана практически вполне удовлетворительная оценка остаточного члена.

Еще более старая тема классических исследований по теории вероятностей - вопрос об условиях применимости закона больших чисел к суммам независимых слагаемых- также получила дальнейшее развитие в ряде

исследований А. Я. Хинчина, А. 11. Колмогорова и др. Помимо получения необходимых и достаточных условий здесь были созданы новые концепции "усиленной" и "относительной" устойчивости сумм и были получены условия их применимости. Наконец, для последовательности независимых слагаемых x₁, x₂..., x_n... А. Я. Хинчиным была открыта совершенно новая замечательная асимптотическая формула для порядка максимальных уклонений от среднего последовательных сумм s_n=x₁+x₂+...+x_n, так называемый "закон повторного логарифма". Условия применимости закона больших чисел к суммам зависимых слагаемых изучались С. Н. Бернштейном и А. Я. Хинчиным.

Сложение независимых случайных слагаемых дает также повод к постановке ряда проблем о "разложимости" случайных величин в суммы таких слагаемых. Возникающими отсюда проблемами "арифметики законов распределения" занимались А. Я. Хинчин и несколько его учеников.

Упомянутым далеко не исчерпывается круг исследований, примыкающих к классическим предельным теоремам теории вероятностей. Сказанного, однако, достаточно, чтобы оценить значительность достижений в этой области, близкой благодаря последним работам советских и иностранных авторов (среди последних, помимо упоминавшихся Р. Levy, Н. Cramer'a и W. Feller'a фундаментальные результаты принадлежат R. V. Mises'у), к завершению. Из оставшихся здесь не решенными проблем, пожалуй, на первое место следует поставить отмеченную выше задачу эффективной с точки зрения приложений оценки остаточных членов.

§ 2. Изучая с общей точки зрения процесс случайного изменения произвольной физической системы, естественно выделить в первую очередь процессы без последействия, т. е. процессы, в которых распределение вероятностей для будущих состояний изучаемой системы всецело определяется ее состоянием в настоящий момент, независимо от ее предыдущей истории. Если при этом число возможных состояний системы конечно, и состояния системы регистрируются лишь по дискретной последовательности моментов времени, то мы имеем перед собой схему, изучавшуюся Марковым еще тридцать лет назад. В этом случае все определяется условными вероятностями p_ik⁽ⁿ⁾ , находясь в n-ый момент времени в i-том состоянии, попасть в n+1-ый момент в k-oe состояние. Однородный случай - вероятностей p_ik⁽ⁿ⁾ , не зависящих от k , в последние годы был предметом чрезвычайно многочисленных исследований, среди которых в Советском Союзе на первом месте по полноте стоят исследования В. И. Романовского. С точки зрения статистической физики основным вопросом здесь является вопрос о предельном распределении вероятностей для частот попадания в различные состояния в течение больших промежутков времени. При очень широких (и теперь уже до конца выясненных) условиях предельные значения этих частот не зависят от начального состояния системы, а уклонения частот от этих предельных значений подчиняются многомерному гауссовскому закону. Значительно меньше известие о неоднородных цепях Маркова (т. е. о случае переменных р _ik⁽ⁿ⁾).

Переход к бесконечному дискретному (счетному) множеству состояний связан с довольно значительными математическими трудностями, но не изменяет еще существенно метод исследования. Общие результаты, относящиеся к такого рода цепям Маркова с бесконечным числом состояний, удалось недавно получить А. Н. Колмогорову. Случай произвольного (не счетного) множества состояний изучается в недавней заметке Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, продолжающей и обобщающей исследования М. Frechet и его учеников.

Только что очерченные исследования об обыкновенных и обобщенных цепях Маркова в соответствие с установившимися приемами классической теории вероятное к ii сводят изучение случайного процесса к рассмотрению дискретной последовательности "испытаний". Переход к изучению случайных процессов с учетом возможности случайных изменений состояния в любой, сколь угодно малый промежуток времени, а особенно к изучению непрерывных случайных процессов, требовал значительной перестройки аналитического аппарата теории вероятностей. Отдельные случаи такого рода схем "с непрерывным временем" были изучены ранее, как упоминалось выше, физиками и техниками; с чисто математической точки зрения некоторые случаи были рассмотрены Bachelier (1900 г.) и В. de Finetti (1929 г.)

Первой попыткой систематизировать с достаточно общей точки зрения все возникающие здесь возможности (ограничиваясь процессами без последействия) явилась работа А. Н. Колмогорова (1931 г.). Здесь, обобщая результаты Смолуховского, Фоккера и Планка, были установлены основные интегральные и дифференциальные уравнения, управляющие случайными процессами без последействия, при различных предположениях о множестве возможных состояний системы и о непрерывности или скачкообразности изменений системы.

Особенно много дальнейших исследований было посвящено случаю непрерывного конечно - мерного многообразия возможных состояний и непрерывности самого процесса случайных изменений. В этом случае (при некоторых естественных допущениях) процесс управляется дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа. Коэффициенты при первых производных этих уравнений связаны с средним направлением изменения состояния в данный момент времени, а коэффициенты при вторых производных выражают интенсивность случайных уклонений от этого среднего направления. Для физической теории колебаний при наличии слабых случайных возмущений существенно изучить предельные соотношения при стремлении коэффициентов при вторых производных к нулю. Ряд результатов в этом направлении получен Андроновым, Понтрягиным и др. Некоторые выводы этой работы были с физической стороны неожиданны и крайне интересны.

В случае непрерывных случайных движений с инерцией основные дифференциальные уравнения параболического типа вырождаются. Этот случай был рассмотрен в одной заметке А. Н. Колмогорова. Вопрос о существовании и единственности решений соответствующих дифференциальных уравнений был изучен Н. С. Пискуновым.

Из других применений дифференциальных уравнений непрерывных случайных процессов отметим работу А. Н. Колмогорова и М. А. Леонтовича о броуновском движении и работу А. Н. Колмогорова, продолжающую исследования Р. Фишера по теории естественного отбора в обширных популяциях.

Помимо непосредственного изучения непрерывных случайных процессов, управляющие ими дифференциальные уравнения имеют и другое не менее существенное значение для теории вероятностей. Именно, решения этих дифференциальных уравнений дают асимптотические формулы для распределений вероятностей и в случае дискретных процессов, состоящих из очень большого числа очень малых изменений. На этой почве возник целый ряд исследований, начатых А. Н. Колмогоровым и широко развитых С. Н. Бернштейном, И. Г. Петровским и А. Я. Хинчиным, благодаря которому классическая предельная теорема Ляпунова воспринимается теперь как частный случай некоторой единой общей теории. Можно также рассматривать полученные здесь предельные теоремы как независимый от теории непрерывных случайных процессов способ обоснования употребления соответствующих дифференциальных уравнений. Однако представления, созданные этой теорией, в действительном ходе исследования слишком часто являются направляющими, чтобы полный отрыв предельных теорем от непрерывной теории мог быть целесообразным.

Хуже изучены процессы без последействия, допускающие как непрерывные, так и скачкообразные изменения. Основной теоретической проблемой здесь является разыскание общего решения, так называемого интегрального уравнения Смолуховского, управляющего всеми такими процессами. Благодаря исследованиям В. de Finetti, А. Н. Колмогорова и Р. Levy до конца разобран одномерный, однородный случай. Из этих исследований возникли, в частности, упоминавшиеся выше, неограниченно делимые законы распределения. В некоторых частных предположениях проблема недавно решена посредством сведения к интегро-дифференциальным уравнениям. Этот последний путь обещает быть пригодным и в общем случае.

За пределами случайных процессов без последействия хорошо изучены лишь стационарные случайные процессы. Основные работы в этой области принадлежат А. Я. Хинчину и Е. Е. Слуцкому. Первый из них доказал основную эргодическую теорему о существовании средних по времени для любых величин, зависящих от состояния стационарной системы и имеющих конечное математическое ожидание,⁴ и построил спектральную теорию стационарных процессов,⁵ второй же специально изучил стационарные процессы с дискретным спектром.

Область применений теории стационарных случайных процессов еще не достаточно определилась, но должна быть чрезвычайно широкой. По - видимому, именно в рамках этой теории возможно наиболее полное понимание природы непрерывных спектров в акустике и оптике. По - видимому, так называемое разыскание скрытых периодичностей,⁶ столь интересующее, например, метеорологов, должно в значительной степени смениться изучением спектров соответствующих стационарных процессов, без предрешения вопроса о том, окажутся эти спектры дискретными или непрерывными. Из этого круга проблем метеорологии возникли, в частности, работы по стационарным случайным процессам Е. Е. Слуцкого. Наконец, укажем на ряд исследований Л. Б. Келлера по теории турбулентного движения, которые широко пользуются представлениями общей теории стационарных случайных процессов и содержат некоторые ценные и с общей точки зрения результаты.⁷

Заканчивая обзор различных направлений изучения случайных процессов, отметим две специальные области, возникшие из специальных прикладных нужд и не нашедшие своего места в предыдущем обзоре.

Это, во-первых, изучение явлений "скученности", связанное с вопросами эксплоатации телефонных и телеграфных сетей, обслуживания автоматически работающих станков и т. п. Здесь речь идет о случайных процессах, в которых случай входит в форме случайности распределения числа вызовов в телефонной сети, или случайного распределения остановок станков из-за того или иного рода аварий, а также в форме распределения вероятностей для той или иной продолжительности телефонного разговора или той или иной продолжительности исправления аварий. Лишь при грубых упрощающих допущениях процессы такого рода умещаются в схему процессов без последействия с дискретным множеством возможных состояний и без затруднений включаются в общую теорию. Без этих упрощений подчинение процессов без последействия общей теории возможно, но слишком сложно для непосредственного использования. Специальные методы для изучения явлении скученности были разработаны в СССР в ряде работ Л. Я. Хинчина. cам Л. Я. Хинчин и Н. В. Смирнов применили эти методы к решению проблем, выдвинутых Центральным институтом связи (из области автоматической телефонии ). Б. В. Гнеденко применил те же методы к проблемам текстильного производства.

Своеобразные проблемы пространственной скученности возникают при изучении кристаллизации металлов и металлических сплавов. Ответна некоторые вопросы этого рода, поставленные Институтом стали, был дан А. Н. Колмогоровым.

М. А. Леонтовичем была развита статистическая теория бимолекулярных реакций, являющаяся некоторой специализацией и осложнением теории случайных процессов без последействия с конечным числом состоянии. При этом М. А. Леонтович исходил из дифференциальных уравнений, соответствующих непрерывной по времени схеме. Н. В. Смирнов и В. И. Гливенко показали, что аналогичная специализация и осложнение схемы классических цепей Маркова (с дискретной последовательностью испытаний) должны являться существенным аппаратом теории наследственности .

Заметим, наконец, что очерченное выше чрезвычайное расширение области теоретико-вероятностных исследований было бы исключительно затруднено без переустройства логической базы теории вероятностей - ее аксиоматики и системы основных понятий. Из различных направлений в обосновании теории вероятностей до настоящего времени только одно разработано настолько, чтобы дать формально безупречную систему основных понятий, охватывающую все вызванные различными потребностями физики и техники разветвления теории вероятностей; это - направление, развивающее аксиоматику теории вероятностей, исходя из определения вероятности как аддитивной функции множеств, заданной на надлежащей системе множеств "элементарных событий".⁸ В частности, современная теория вероятностей не может удовлетвориться рассмотрением только конечно - мерных распределений вероятности. Изучение непрерывных случайных процессов и ряда других физических проблем неизбежно приводит к рассмотрению "случайных функций", или, иначе говоря, распределений вероятностей в функциональных пространствах. Систематическим построением теории случайных функций занимались Е. Е.Слуцкий и А. Н. Колмогоров.

§ 3. Из общих проблем математической статистики советскими математиками с наибольшим успехом разрабатывались, во-первых, вопросы статистического обнаружения скрытых периодичностей и установления формул прогноза и, во-вторых, вопросы статистического определения функций распределения.

Классическая теория периодограмм дает возможность проанализировать ряд случайных величин, если предположить, что он образован наложением нескольких периодических колебаний и независимых от одного испытания к другому дополнительных возмущений. Однако последняя гипотеза независимости дополнительных возмущений является обычно произвольной. Все обстоятельства, возникающие при допущении зависимостей между случайными возмущениями, были глубоко изучены Е. Е. Слуцким и В. И. Романовским. В конкретных работах Е. Е. Слуцкого, выполненных в Геофизическом институте, было предложено много простых и изящных способов анализа рядов с предполагаемой скрытой периодичностью.

Установление статистическим путем формул прогноза очень занимало метеорологов (упомянем особенно работы В. Ю. Визе), и специально гидрометеорологическую службу (по ее заданиям работал, между прочим, Е. Е. Слуцкий). Ряд исследований был посвящен составлению формул для определения видов на урожай по метеорологическим данным (Обухов). Соответствующие общие математические проблемы разрабатывались Е. Слуцким, Обуховым и др. Основной задачей здесь является избежание нереальных зависимостей, специально подогнанных к обычно очень ограниченному (30-100 наблюдений) материалу. При надлежащей осторожности метод может, несомненно, приносить пользу, однако даже с чисто математической стороны далеко не все обстоятельства, возникающие при его употреблении, достаточно выяснены.

Вопрос статистического определения функций распределения заключается в следующем: имеется не известный нам закон распределения F(x ); производится п независимых наблюдений с этим законом распределения и по этим наблюдениям составляется "эмпирический" ступенчатый закон распределения F_n( х); требуется выяснить, в какой мере по этой ступенчатой функции возможно судить о виде функции F(х). Самый вопрос о приближении F_n( х ) к F( х) был подчинен в работах В. И. Гливенко общему установленному им закону больших чисел в функциональных пространствах. Статистике, однако, важно было иметь возможно более точные оценки уклонений F_n(x ) от F( х ).

Первая асимптотическая формула для распределения вероятностей этих уклонений была дана А. Н. Колмогоровым (ранее Mises'ом была дана лишь оценка средней величины и дисперсии этих уклонений). В работах же Н. В. Смирнова все соотношения между F(х) и F_n(x) были подвергнуты глубокому и всестороннему изучению, далеко превзошедшему по результатам все, что было сделано до него. Работы эти имеют чрезвычайно разнообразные применения в прикладных статистических исследованиях.

Мы отметили два направления исследований по математической статистике, в которых результаты советских математиков представляют значительный вклад в общее развитие математической статистики. Помимо этого, в связи с постоянно возникающими практическими задачами, было произведено очень много более специальных исследований. Укажем в их числе , например, на работы Л. М. Журавского по статистическому определению состава минералов, исследования Б. В. Ястремского по вопросам применения выборочного метода и т. д. Следует, однако, сказать, что обслуживание математиками прикладных нужд в области математической статистики и теории вероятностей имело до сих пор несколько случайный, любительский характер, направляясь, по большей части или личными связями или специальными интересами отдельных исследователей к прикладным вопросам, связанным с направлением их теоретической работы. Дальнейшее развитие прикладных исследований потребует, несомненно, создания надлежащего вычислительного аппарата, издания и составления таблиц, конструирования приборов.⁹ Создание научной организации, могущей взять на себя все эти функции и способной наладить систематическое обслуживание запросов прикладного характера, является задачей ближайшего будущего.

________________________________________

1. Вне этого специального круга вопросов методы эти оказались впоследствии существенными для строгого формального обоснования теории вероятностей, включащей те ее расширения, которые потребовались ее дальнейшим развитием.

2. Точная формулировка необходимых и достаточных условий, соответствующих этой несколько не ясно выраженной в тексте идее, дана недавно W. Feller'ом.

3. Mы обычно интересуемся малыми вероятностями порядка 1/1000 или 1/10000. Чтобы надежно оценивать их, считаясь с существующими выражениями для остаточных членов, число наблюдений должно быть существенно 6oльше 1 000 000 или, соответственно, 100 000 000.

4. Эта общая эргодическая теорема А. Я. Хинчина является обобщением эргодической теоремы Birkhoff'a, доказанной Birkhoff'ом для динамических систем.

5. Спектральный анализ стационарных случайных процессов по своему замыслу примыкает к обобщенному гармоническому анализу N. Wiener'a в теории функций.

6. См. также далее в § 3.

7. Исследования Л. Б. Келлера велись независимо как от работ А. Хиичина и Е. Слуцкого, так и от цитировавшихся ранее работ N. Wiener'a.

8. См. А. Н. Колмогоров, Основные понятия теории вероятностей.

9. Заметим, например, что в некоторых наших учреждениях затрачивались годы для составления таблицы коэффициентов корреляции между большим числом изучавшихся величин. Работа эта может быть произведена при наличии соответствующих приборов почти без затраты времени.

Источник: Математика в ВУЗе. Интернет-журнал СПбГТУ.