А. Н. Колмогоров - О развитии математических способностей

(Письмо В. А. Крутецкому. Вопросы психологии. - 2001. - №3. - С. 103-106.)

Глубокоуважаемый коллега!

Благодарю Вас за присылку Вашей книги. Меня интересует ее тематика по существу. Но сначала я хочу Вам кое-что сказать по поводу применений факторного анализа. Метод этот получил особенное распространение именно в вопросах изучения способностей. В других применениях математической статистики он употребляется значительно меньше и во многих солидных руководствах по «многомерной статистике» даже совсем игнорируется. Связано это с некоторой туманностью самих постановок задач факторного анализа в более сложных случаях.

Поэтому мне кажется разумным, что Вы ограничились применениями однофакторной модели Спирмена. В § 1 гл. IV1 получился убедительный результат: серии V-X допустимо считать отражающими действие одного фактора, осложненного не коррелированными между собой обстоятельствами, относящимися к каждой серии в отдельности. Роль общего фактора очень велика.

Не менее удачна Ваша идея (навеянная Б.М. Тепловым?) работать по преимуществу с тройками показателей. Это минимальное число показателей, при котором задача выделения одного фактора разрешима. Если коэффициенты корреляции все положительны или при одном положительном имеются два отрицательных (что, конечно, сводится к положительному случаю), то задача всегда разрешима точно и для проверки самой гипотезы об одном факторе не остается информации. Остаточные коэффициенты корреляции здесь автоматически равны нулю. Так что утверждение на с. 248 о каком-то вытекающем отсюда подтверждении «надежности результатов» ошибочно. В этом случае, впрочем, говорят за себя высокие факторные веса, указанные в табл. 6. Но тесная связь всех трех показателей видна и из простой табл. 5. Аналогичные замечания относятся и к с. 306.

И совсем неудачна попытка установить математическое различие между способностью к обобщению «математического материала» и «нематематического материала» на с. 392-395. Было бы логичнее приписать к табл. 10 еще одну строку:

V VI VII VIII IX X XII XII ? ? 0,34 ? 0,46 0,41 -

(я был бы рад получить данные для заполнения клеток со знаком «?»). При обработке такой таблицы факторный вес показателя XII, вероятно, окажется не слишком выпадающим из остальных (может быть, Вы эти вычисления даже делали?).

При интерпретации таких таблиц надо еще думать о значимости различий между коэффициентами корреляции. Я сильно опасаюсь, что значимых различий в нашей дополненной таблице почти не окажется. Если в среднем наши коэффициенты корреляции лежат около 0,50, то не окажется ли появление среди 21-го коэффициента трех, превышающих 0,60 в пределах естественных случайных колебаний при условной гипотезе, что все истинные коэффициенты корреляции равны 0,50? Впрочем, дальше я вернусь к серии XII в содержательной критике.

Мне было бы интересно узнать Ваше мнение о том, получили ли иностранные авторы, например понравившийся Вам И. Верделин, хоть какие-либо реально ценные результаты при помощи более сложных приемов факторного анализа. Если Ваше мнение (при всей весомости Ваших общих критических соображений) положительное, то надо бы попробовать работать дальше этими методами и у нас. Возможно, мне удалось бы заинтересовать совместной работой с Вами на этой почве кого-либо из моих сотрудников.

Напишите еще, пожалуйста, какие работы Б.М. Теплова надо в первую очередь посмотреть, чтобы узнать, что ему удается сделать (конкретного) при помощи факторного анализа?

Теперь по существу Вашей работы. Ваши 26 серий экспериментальных задач безусловно интересны. Интересны и приемы обработки с фиксацией: а) времени, затраченного на решение, б) степени «свернутости» решения, в) побочных ходов, напрасных и ошибочных, г) тяготения к «наглядным средствам».

Хотелось бы, чтобы результаты обработки были изложены более систематично. В книге они излагаются лишь в виде отдельных примеров к общим рассуждениям. Может быть, кое-что можно найти в Ваших других публикациях, или в уже систематизированном виде в Вашем институте?

Впрочем, некоторые серии (иногда, видимо, и по Вашему мнению) не слишком удачны. Следовало бы, мне кажется, отмечать это более решительно. Со своей стороны ограничусь двумя замечаниями.

1. Чтобы уловить умение перестраиваться на новый стереотип, надо наблюдать именно моменты смены. Тест XV Ж в этом отношении мало удовлетворителен. Вероятно, «перестройка» заканчивалась в самом начале работы над второй таблицей? Не отражало ли различие во времени заполнения первой и второй таблицы скорее общую утомляемость механической работой?

2. Тесты серии XII могут быть восприняты и как типично логико-математические. В объяснении говорится о комбинации признаков. Какие «признаки» имеются в виду, слишком ясно (цвет, размеры, форма). Возникает точная логико-математическая задача оптимальной стратегии. Я хочу даже дать ее на математической олимпиаде.

Реальные же задачи на формирование «нематематических понятий» характеризуются тем, что классификация «признаков» заранее не дана. Если целям работы более соответствует не математическая «классическая психологическая интерпретация» такого рода задач, то надо было и задачи подбирать соответственно целям. Вы сами себя разоблачаете в примечании.

Но в целом Ваша работа мне очень импонирует. Ценны и многие общие Ваши выводы. Однако иногда я решительно расхожусь с Вами.

В частности, необоснованной и тенденциозной кажется мне безусловное осуждение «диагностического» употребления тестов, несмотря даже на то, что при этом неизбежно речь будет идти о тестах, допускающих автоматическую обработку результатов (вроде простого подсчета числа правильных ответов «да» или «нет»).

Так, Вы приводите пример задачи, в которой возможно решение методом перебора, в то время как показателем искомых способностей могло бы быть только краткое, логически интересное решение. Но из этого примера вытекает только, что таких задач не следует давать. Опытным составителем олимпиадных задач эта проблема хорошо знакома.

Общий же вопрос имеет весьма актуальный интерес. Я, в частности, предлагаю сделать первым этапом отбора студентов МГУ тестовое испытание. Оно сократило бы число абитуриентов на следующих этапах и дало бы возможность как раз в соответствии с Вашими пожеланиями применять индивидуальный подход при изучении письменной работы, поданной на втором этапе, а на третьем этапе поручать вести устное собеседование действительно квалифицированным экзаменаторам.

Заинтересовали меня и индивидуальные характеристики, приведенные в гл. II, разд. III. Володю Хинича я знаю по летним сборам МАН и бегло видел в этом январе. Он все-таки вызывал у нас много беспокойства. В частности, к нему совсем не подходила бы характеристика Володи Л., где говорится о «вполне нормальном физическом развитии». Почему, в самом деле, Вы в нескольких случаях говорите об этой нормальности, а в других — ничего не говорите? Неужели у Вас не было случаев заведомо не нормального?

Мне пришлось близко познакомиться с Колей Дмитриевым, о котором в свое время (когда ему было 12 лет, особым решением высших инстанций его родителям дали квартиру в Москве, чтобы ему можно было заниматься в образцовой школе) писали в газетах. Потом (в 19 лет) он сделался моим аспирантом и проявил большие способности в собственном смысле слова: решал очень трудные настоящие научные задачи. Но и его физический тип (в особенности, в сопоставлении с «нормальным» братом) и ряд очень тяжелых психических кризисов, им пройденных, заставляют видеть в нем пример соединения действительно выдающихся способностей с аномалиями развития в детском и юношеском возрасте, имеющими несомненную физиологическую основу.

Насколько я понимаю, существует особая проблема необычно раннего развития, которую нельзя изучать в стране в отрыве от физиологии, иногда — специально — эндокринологии. Весьма вероятно, что «истинной корреляции» между этими аномалиями и способностями в смысле Вашего «потолка», до которого человек может дойти теми или иными темпами к моменту зрелости, нет. Кажущаяся корреляция создается тем, что раннее развитие вызывает интерес окружающих и в хороших случаях большую концентрацию на достижении цели. Все-таки и Коля Дмитриев «большим ученым» в собственном смысле не сделался. Он процвел в некоем закрытом институте и, кажется, физически и психически «нормализировался» в счастливом браке, что кажется весьма парадоксальным, учитывая его характер в 19-20 лет.

Проблема потенциального «потолка» для нас, практически работающих с одаренной молодежью, является основной. Сейчас, по-видимому, мы теряем много медленно развивающихся потенциально крупных талантов. В последние годы эта опасность сильно возросла при развившемся ажиотаже вокруг одаренности и особенно математической.

Существует и большая общешкольная проблема оптимальных темпов обучения и тренировки. Ученые должны были бы дать отчетливый ответ на вопрос о среднем разбросе оптимальных сроков прохождения, скажем, нормального школьного курса. Я думаю, что он довольно велик: примерно ± 1 год к 17 годам, что соответствовало бы ± 3 в виде трехсигмовых пределов для редких исключений. Конечно, эти цифры приводятся только для упрощенного пояснения характера проблемы.

Есть еще много «неудобных тем», от обсуждения которых, мне кажется, не следует уклоняться. К ним относится и проблема женского равноправия. В 1922-25 гг. я работал в экспериментальной школе с V-IX классами. В математическом кружке двенадцатилетние девочки даже немного обгоняли мальчиков, но в VIII-IX классах часто теряли интерес к математике. По обстановке школы думать о каком-либо давлении традиций не приходилось. В нашей школе-интернате при МЩ как Вы пишете, 10% девочек. Ими мы очень довольны, но, вероятно, серьезное обследование обнаружило бы вялость или задержанность их сексуального развития (что, конечно, очень приятно нашей директрисе в вопросах воспитания).

К моральной проблеме принципиальной равноценности полов эти наблюдения, конечно, не имеют отношения.

Очень актуальны для нас, работающих с одаренными математиками, практические вопросы:

а) в каком возрасте можно, независимо от тренированности и различий в физиологически обусловленных темпах развития, уловить хотя бы в первом приближении математические способности в смысле прогноза упомянутого «потолка», достижимого при благоприятных условиях и имеющего достаточную базу для обоснованности отбора, например, в нашу школу-интернат?

б) в каком возрасте форсированное развитие задатков математического мышления уже реально влияет на достижение того же «потолка»?

Пока, как практик, я склонен думать, что характер математического развития, достигаемого по самым современным рецептам ранних занятий теорией множеств и алгеброй, до 10-IS лет с довольно хорошим успехом заменим общим воспитанием сообразительности и умственной активности. Но запоздание с усвоением строгой логики и специальных математических навыков в 14-15 лет делается уже трудно восполнимым.

А отбор для помещения в совсем специальную обстановку нашей школы-интерната мы пока не хотим делать ранее перехода из VIII класса в IX. Но хотелось бы, чтобы эта эмпирия была проверена более систематично и научно.

Наконец, еще о проблеме «специфичности» математических способностей и взаимоотношении их компонентов. Ее решение может быть несколько различным на разных уровнях. На самом высоком уровне «способностей к серьезной научной работе и настоящим научным открытиям» применим, видимо, только анкетный метод. Было бы хорошо организовать такую анкету с разумно поставленными вопросами среди математиков.

Существует тип математиков, у которых пристрастие к математической строгости и ясности постановки задач мешает их работе в направлениях, в которых постановка задач вытекает непосредственно из естествознания и техники и в которых для получения самих математических результатов важна интуиция «физического» характера или умение формулировать математическую гипотезу из анализа запутанного экспериментального материала. Противоположный, синтетический тип сейчас дефицитен, но очень нужен.

Внутри «чистой» математики мы на глаз умеем довольно четко различать различные типы способностей. Например: одним свойственно «финитное», чисто алгебраическое мышление, а другие особенно сильны в наглядном постижении процессов предельного перехода. Чтобы не идти слишком далеко, хотя бы наглядные представления о геометрическом смысле частных производных разных порядков, роли дифференциальных свойств поверхности для ее изгибаемости и т.п. — относятся уже ко второй области. Некоторые алгебраисты объявляют сами себя совсем не способными к таким усмотрениям.

Практически для науки нужна способность как-либо добраться с хорошим, ну хотя бы пассивным пониманием до рубежа между известным и неизвестным, а затем в каком-либо пункте перескочить этот рубеж и открыть нечто новое. При воспитании старших студентов и аспирантов в университете очень важно каждому из них подсказать то направление, в котором у них это может получиться.

Поэтому нас в первую очередь интересует достаточно общая восприимчивость + исключительное развитие хотя бы одного компонента. Большинство математиков думает, что эти крайние степени развития отдельных компонентов довольно независимы, а их сочетание является уже редкой (хотя и очень счастливой) случайностью.

Ваш А. Н. Колмогоров

Источник: Родитель.ru