Московские математические олимпиады:
Кн. для учащихся.

Гальперин Г. А., Толпыго А. К.

Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1986. - 303 с., ил. Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор МГУ В. М. Тихомиров, кандидат педагогических наук, зав. кабинетом математики МГИУУ С. М. Саакян.

Аннотация

Книга содержит задачи всех Московских математических олимпиад за 50 лет их проведения. К большинству задач даны ответы, указания, решения. В книге много интересных задач, связанных с современными научными проблемами. Книга предназначена для учащихся VII - X классов средней школы, интересующихся математикой, а также может быть использована учителями во внеклассной работе.

Предисловие редактора

Нашей стране необходимо иметь много математиков-исследователей, способных делать открытия в самой математике и применять ее нестандартным образом, требующим большой изобретательности. Обычно серьезных успехов достигают те научные работники, которые начали тренироваться в такого рода деятельности еще в школьные годы. В возрасте 17 - 19 лет многие из них уже начинают делать настоящие открытия. Откладывая вовлечение молодых людей в напряженную научную работу, мы безвозвратно теряем многих из тех, кто мог бы сделаться творчески активным ученым.

Обращаясь к самим школьникам, всерьез собравшимся стать настоящими математиками, скажу следующее. Как и в спорте, тренировка юного математика требует затраты большого времени. Будет очень хорошо, если вы возьметесь самостоятельно просматривать предлагаемый сборник задач, выберете из их числа какую-нибудь задачу, которая покажется вам наиболее интересной по формулировке, и приметесь, не заглядывая в решения, размышлять над ней, не боясь потратить на нее многие, многие часы. Напомню по этому поводу высказывание одного из самых замечательных советских математиков - Бориса Николаевича Делоне, по мнению которого большое научное открытие отличается от хорошей олимпиадной задачи только тем, что для решения олимпиадной задачи требуется 5 часов, а получение крупного научного результата требует затраты 5000 часов. Борис Николаевич любил несколько преувеличенные формулировки, не понимайте его "5000 часов" слишком буквально. Но типичным для математика, который атакует трудную проблему, является способность напряженного размышления над ней целыми днями. Если задача упорно не выходит, то разумно взяться за другую. Но хорошо также после некоторого перерыва вернуться к первоначальной. Зрелым математикам тоже иногда бывает полезно на некоторое время отложить занятие какой-либо неподдающейся проблемой. Нередко после некоторого перерыва решение неожиданно выплывает из подсознания.

Своим успехам на олимпиаде естественно радоваться и даже гордиться ими. Неудачи же на олимпиаде не должны чрезмерно огорчать и приводить к разочарованию в своих способностях к математике. Для успеха на олимпиаде необходимы некоторые специальные типы одаренности, которые вовсе не обязательны для успешной исследовательской работы. Уже само наличие назначенного очень ограниченного срока для решения задач многих делает совершенно беспомощными. Но существуют и такие математические проблемы, которые могут быть решены лишь в результате очень длительного и спокойного размышления и формирования новых понятий. Много такого рода проблем было решено замечательным советским топологом П. С. Александровым. Не случайно Павел Сергеевич Александров говорил, что если бы во времена его юности были математические олимпиады, то, возможно, он вообще не сделался бы математиком: его главные достижения в математике явились не плодом быстро работающей изобретательности, а итогом длительного и углубленного созерцания.

Я надеюсь, что наш сборник окажется неоценимым пособием для всех руководителей школьных кружков и местных олимпиад. Для них я хочу высказать два замечания.

Вначале Московские математические олимпиады были рассчитаны на учащихся IX - X классов. Начиная же с 1940 г. к участию в олимпиадах приглашались также семиклассники и восьмиклассники. Такой выбор начального возраста представляется мне обоснованным. Это тот возраст, когда склонности и способности к математике уже начинают проявляться достаточно явственно. Можно, конечно, устраивать олимпиады и для младшеклассников, но при этом следует иметь в виду, что из числа мальчиков и девочек, выделившихся в V - VI классах в состязании по решению задач, большинство в старших классах эти свои особые способности, а часто и сам интерес к математике потеряют

При организации олимпиад для того или иного контингента участников чрезвычайно существенно, чтобы уровень трудности задач был надлежащим образом заранее правильно оценен. Следует планировать его так, чтобы наиболее сильные участники могли решить большую часть задач, а с другой стороны, чтобы не было чрезмерного преобладания участников, не решивших ни одной задачи. Некоторые сведения о фактически обнаружившейся трудности задач можно найти в отчетах об олимпиадах, печатающихся в журналах "Математика в школе" и "Квант". К сожалению, в Московских математических олимпиадах уровень трудности не всегда выбирался правильно. Но содержание задач было обычно на очень высоком уровне.

В предисловии составителей подробно рассказывается об огромном опыте Московских математических олимпиад, о том, как процесс создания олимпиадных задач шел в неразрывной связи с работой математических кружков при МГУ. Коллектив руководителей университетских математических кружков проделал огромную, уникальную работу, итоги которой сейчас перед вами.

Замечательна и заслуживает большой благодарности работа составителей - Г. А. Гальперина и А. К. Толпыго.

Академик А. Н. Колмогоров

Источник: МЦНМО / Золотой фонд популярной физико-математической литературы