Андрей Николаевич Колмогоров

("Квант" №3/4, 1993 г.)

Владимир Тихомиров

25 апреля 1993 года исполнилось девяносто лет со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова - одного из величайших математиков нашего века и одного из крупнейших ученых в истории русской науки.

Творческая жизнь Андрея Николаевича длилась шестьдесят шесть лет. Впервые он выступил перед математической аудиторией с научным докладом в январе 1921 года. Последние строки, предназначенные для печати, были продиктованы им незадолго до смерти, наступившей 20 октября 1987 года.

В этой статье, посвященной А.Н. Колмогорову и обращенной к юным читателям, мне особенно хочется отметить одну особенность творческой биографии Андрея Николаевича. Ои был не только гениальным Ученым, но и великим Просветителем, человеком, несущим свет - свет знаний и нравственного примера. Делу просвещения, делу школьного образования, воспитанию юношества он целиком посвятил треть своей творческой жизни.

Воистину 1965-й год, когда истекли сорок четыре года его непрерывного исполинского труда во имя науки, оказался переломным в его судьбе. Чтобы убедиться в этом, достаточно взглянуть на список его публикаций в том рубежном году. Тогда в журнале "Проблемы передачи информации" появилась его замечательная работа "Три подхода к определению понятия «количество информации»". Она оказалась фактически последним из его крупных математических исследований. Там он впервые ввел понятие, получившее впоследствии название "колмогоровской сложности" , с помощью которого пытался вскрыть сущность таких основоположных явлений, как "порядок" и "хаос". Эта работа венчает все его творчество, связывая в единый узел все его научные устремления. До нее Андрей Николаевич опубликовал свыше двухсот научных работ, после - не больше десяти, и все они посвящены старым темам.

В том же 1965-м году выходят его первые труды о проблемах школьного образования, и в частности фундаментальная статья "Объем знаний по математике для восьмилетней школы" (опубликованная в журнале "Математика в школе"), обозначающая новый этап в развитии школьного математического просвещения. Вся дальнейшая жизнь Андрея Николаевича безраздельно отдана этому делу. За двадцать два года он опубликовал свыше ста статей на эти темы. Им была основана физико-математическая школа при Московском университете - знаменитый "колмогоровский интернат"; он был среди основателей журнала "Квант"; комиссия, председателем которой он был, разработала новые программы по математике; он возглавлял жюри многих олимпиад - московских, всероссийских, всесоюзных; он организовал летние школы, читал огромное число лекций для школьников и учителей, писал учебники и учебные пособия... Словом, оставшиеся двадцать два года Андрей Николаевич целиком посвятил вашим родителям, вам, мои дорогие читатели, и тем, кто будет учиться в школе после вас. Мне хочется немного рассказать вам об этой замечательной жизни.

Детство

В первые минуты жизни Андрея Николаевича случилась трагедия - его мать Мария Яковлевна Колмогорова умерла при рождении сына. Заботу о маленьком мальчике взяла на себя ее сестра - Вера Яковлевна. Она усыновила ребенка и посвятила ему всю свою жизнь до последней минуты. И Андрей Николаевич отвечал своей "тетушке" (как он звал ее) глубокой любовью.

Все, кто знал Андрея Николаевича, воспринимали его как необыкновенную, неповторимую и удивительно привлекательную личность. Во многом это было предопределено радостной и светлой атмосферой, окружавшей его в детстве и юности. Первые годы Андрей Николаевич провел в имении деда под Ярославлем. Вера Яковлевна с самых ранних пор старалась развить в ребенке любознательность, любовь к природе, наукам и чтению книг. Во время ежедневных прогулок она рассказывала мальчику о деревьях и цветах, травах и камнях, птицах и животных. Вечерами она показывала ему звездное небо, говорила о Мироздании. Когда мальчику исполнилось пять лет, Вера Яковлевна организовала домашнюю школу. В этой школе издавался журнал " Весенние ласточки". Андрею был поручен математический отдел. "Радость математического "открытия" я познал рано, - писал впоследствии Андрей Николаевич, - подметив в возрасте пяти-шести лет закономерность:

1 = 1,
1+3= 2²,
1+3+5= 3²,
1+3+5+7 = 4²

и так далее.

Это открытие маленький Андрей поместил в "Весенних ласточках". Там же он публиковал придуманные им задачи. Одну из них я хочу предложить вашему вниманию.

Задача 1. Сколькими способами можно пришить пуговицу?

Эта задача требует небольшого комментария. Вера Яковлевна приучала ребенка к труду: мальчик участвовал в "заготовке дров" на зиму, собирая сучки в саду (число комнат в доме было что-то около двадцати, так что можно оценить, сколько возов дров требовалось для отопления и какую их долю составляли несколько кучек, собранных трех-четырехлетним мальчиком, но дело в принципе), поливал цветы, полол грядки, сам должен был пришивать себе пуговицы. Так что задача 1 происходила "из практики". "Считалось обязательным, - говорил мне Андрей Николаевич, поясняя постановку задачи, - чтобы ни одна дырочка не оставалась свободной." Самому Андрею Николаевичу, по его словам, особенно нравились два способа - "из двух параллельных черточек и крестиком". А сколько способов существует всего, - в этом и состоит задача.

Гимназия

Когда мальчику исполнилось семь лет, Вера Яковлевна переехала с ним в Москву. Она определила его в приготовительный класс гимназии Репман. Эта во многом необычная гимназия была организована двумя замечательными женщинами - Евгенией Альбертовной Репман и Верой Федоровной Федоровой. В ней, в частности, не было процентной нормы для инородцев, мальчики и девочки учились вместе (так было, кажется, лишь в двух московских гимназиях; в гимназии Андрей Николаевич познакомился с Аней Егоровой, ставшей впоследствии его женой). И организация занятий была в той гимназии своеобразной. Там не ставили текущих оценок, а если кто-то проявлял повышенный интерес к предмету, он мог заниматься этим предметом со старшеклассниками. В гимназии работали первоклассные учителя. Преподавательница французского языка, много жившая в Париже, вела с учащимися философские и этические беседы на французском языке, учила их художественному переводу, знакомила с произведениями классической и современной французской литературы. Она привила Андрею Николаевичу любовь к Франции, ее духу и культуре, и эта любовь сопутствовала ему всю его жизнь. И математику преподавали замечательные, творчески мыслящие педагоги. Вот одна из задач, которую маленький Андрей получил от своих учителей.

Задача 2. Какой многоугольник получится, если рассечь куб плоскостью, проходящей через его центр перпендикулярно главной диагонали?

В наших беседах с Андреем Николаевичем неоднократно речь заходила об одаренности, в частности, о математической. В своей брошюре "О профессии математика", обращенной к юношеству, Андрей Николаевич выделил три группы специфической математической одаренности - алгоритмическую, геометрическую и логическую. Про себя он любил говорить, что многие его открытия были вызваны к жизни неожиданно возникшей геометрической картинкой. Он считал, что способность к образнрму геометрическому мышлению можно и нужно тренировать на задачах, подобных задаче 2. (Смешно думать про Андрея Николаевича, что геометрическая одаренность превалировала в нем: он был среди крупнейших аналитиков и логиков своего времени, но своей геометрической интуицией он особенно гордился.)

Завершая тему гимназии, необходимо сказать, что Андрей Николаевич на всю жизнь сохранил самые теплые чувства к своим товарищам, педагогам и атмосфере творчества и свободы, которая окружала его в гимназии Репман.

Университет

 В 1920 году Колмогоров поступает в Московский университет.

Двадцатые годы были счастливой порой для московской математики. В начале десятых годов в Московском университете работал лишь один ученый, имевший международное признание - Дмитрий Федорович Егоров. А в тридцатые годы московская математическая школа безо всякой натяжки стала самой сильной в мире. Когда одного известного американского ученого в середине тридцатых годов попросили назвать четверку виднейших молодых математиков того времени, он назвал имена Гельфонда, Колмогорова, Понтрягина и Шнирельмана - московских математиков. А помимо этой четверки в Москве работали и П. Александров, и Вари, и Лаврентьев, и Люстерник, и Меньшов, и Хинчин, - все крупнейшие имена! Как же это получилось? На этот вопрос нельзя ответить одним словом, но одну из важнейших причин можно назвать сразу. Этой причиной был Лузин, их общий учитель!

Николай Николаевич Лузин, ученик Дмитрия Федоровича Егорова, - один из крупнейших русских математиков того времени - создал, быть может, самую великую в истории математики научную школу. Это произошло во многом благодаря тому, что он стал применять совершенно новый подход в работе с молодежью. Андрей Николаевич Колмогоров писал об этом так: "Существенным в этом подходе было вполне индивидуальное личное руководство, а также умение придавать избранной тематике особенную значимость".

Первый успех

В тот момент, когда А.Н. Колмогоров поступил в Московский университет, вокруг  Лузина сгруппировался большой коллектив выдающихся математиков (в основном я перечислил его выше). Они называли себя "Лузитанией". Осенью 1920 года Лузин читал курс комплексного переменного. На его лекциях собиралась почти вся Лузитания. Слушал их и юный А.Н. Колмогоров.

О своем первом вступлении в научное сообщество Андрей Николаевич вспоминал:

"С курсом Лузина связано мое первое достижение, после которого на меня было обращено некоторое внимание. Николай Николаевич любил импровизировать на лекциях. На лекции, посвященной доказательству теоремы Коши (основной теоремы курса), ему пришло в голову использовать такую лемму. Пусть квадрат разделен на конечное число квадратов. Тогда для любой константы С найдется такое число С' , что для всякой кривой длины не больше С сумма периметров задевающих кривую квадратов не превосходит С'. Через две недели я обратился к председателю студенческого математического кружка... с небольшой рукописью, где это утверждение было опровергнуто".

Рукопись, о которой говорит Андрей Николаевич, сохранилась (она датирована 4.01.1921 г.); она была опубликована в третьем томе собрания сочинений Колмогорова, вышедшем в год его смерти.

На докладе Колмогорова, послужившем отправной точкой его творческой математической биографии, присутствовали многие члены Лузитании, в частности, один из самых ярких ее представителей - Павел Самуилович Урысон (ему суждено будет трагически погибнуть спустя три года в бурных водах у берегов Бретани). Во время доклада Урысон отозвался такой репликой по поводу выступления Андрея Николаевича: "Молодец, чисто делает!" Вскоре Урысон предложил Колмогорову стать его учеником (у Лузина было в ту пору очень много учеников, и новых он брал с большим выбором).

Но затем Колмогоров сделал свое первое открытие в области тригонометрических рядов, об этом было доложено Лузину, и тот, повстречавшись как-то с Андреем Николаевичем на университетской лестнице, "с некоторой торжественностью" предложил ему стать его учеником. Так начался новый этап в жизни А.Н. Колмогорова.

А теперь пришло время сформулировать в виде задачи основную лемму, с помощью которой юный Колмогоров опроверг утверждение Лузина.

Задача 3. Докажите, что для любого сколь угодно большого числа К можно построить такую систему непересекающихся квадратов (внутри единичного квадрата), что каждый из них имеет общие точки с диагональю квадрата, а сумма их периметров больше К.

Первое математическое достижение, которое привело Колмогорова в ряды Лузитании, было еще сравнительно простым. Однако и в нем Андрею Николаевичу пришлось преодолеть несколько подводных камней. В частности, ему пришлось воспользоваться следующим результатом.

Задача 4. Пусть (a_n) (n > 0) - последовательность, сходящаяся к нулю. Тогда найдется выпуклая последовательность (b_n ), также, стремящаяся к нулю и такая, что b_n > |a_n| для всех b_n.

(Последовательность (b_n) называется выпуклой, если b_n+2 - 2b_n+1 + b_n > 0 для всех n > 1. )

Летом 1922 года Андрей Николаевич получает действительно выдающийся результат - он строит почти всюду расходящийся ряд Фурье суммируемой функции. Эта работа приносит ему всемирную известность. Именно с той поры - с лета 1922 года - разумно исчислять начало его необыкновенной по интенсивности и плодотворности творческой биографии.

Особенность творческой манеры

Здесь уместно сказать об одной особенности творчества А.Н. Колмогорова. Как-то Израиль Моисеевич Гельфанд, один из самых крупных математиков современности (и ученик А.Н. Колмогорова), сказал: "Математика - это марафон". Я думаю, вот что он вкладывал в эту фразу. Подавляющее большинство математиков годы и годы, а иногда и десятилетия тратят на развитие одного математического сюжета, создание некоей теории или решение какой-то отдельной задачи. Нередко на это уходит вся жизнь - большинство математиков "специализируются" лишь в одной какой-то области. Самые крупные меняют темы своих занятий два, три раза, величайшие, как Гильберт - чуть больше (у Гильберта было восемь "сюжетов" ).

Пример Гильберта особенно показателен. Он долгие годы тратил на развитие некоей одной определенной идеи, теории или на решение отдельной задачи. При этом он не занимался ничем иным, а переключившись, никогда не возвращался к старым идеям. Каждый период занимал четыре, пять, восемь, десять и больше лет!

Творческая манера Андрея Николаевича была совершенно иной. Он умел концентрировать огромную энергию на сравнительно коротком ("неделю, иногда, может быть, две - не больше" ) отрезке времени. Вспоминая об открытии всюду расходящегося ряда Фурье, Колмогоров писал: "Последним этапом была неделя (мне он говорил - три дня) непрерывных размышлений, закончившаяся возникшей внезапно конструкцией. Немного позднее без больших усилий возник аналитический вариант первоначальной чисто геометрической (вспомним рассуждения Андрея Николаевича о типах одаренности) идеи".

Так бывало у него и во всех остальных случаях, когда несколько дней беспрерывного размышления и полной сосредоточенности завершались внезапным озарением. Подобная аккумуляция энергии порождала мощный взрыв, в неприступных бастионах образовывалась брешь, туда мгновенно устремлялись десятки и даже сотни последователей, а сам Андрей Николаевич обычно не очень всем этим интересовался - его манили иные цели.

Вехи творческого пути

Нет никакой возможности в этой статье затронуть хоть сколько-нибудь полно основные достижения А.Н. Колмогорова в математике. И совершенно не потому, что большинство его результатов невозможно объяснить школьнику. Как раз наоборот: ясность и общезначимость целей, которые ставил перед собой Андрей Николаевич, таковы, что фактически все, что им было сделано, возможно объяснить любому непосвященному, но заинтересованному человеку. Но сам вклад Андрея Николаевича огромен. Одно лишь перечисление математических разделов ("сюжетов"), в которые Колмогоров внес фундаментальный вклад, необычайно велико.

Назовем некоторые: метрическая теория функций, дескриптивная теория множеств, математическая логика, теория вероятностей, геометрия, случайные процессы, математическая статистика, функциональный анализ, теория приближений, теоретико-множественная топология, алгебраическая топология, дифференциальные уравнения, теория турбулентности, теория стрельбы, теория алгоритмов и автоматов, динамические системы, классическая механика, теория суперпозиций функций, теория информации, алгоритмическая теория вероятностей.

Существенную долю в его научных исследованиях составляют работы в области приложений к физике, биологии, геологии, океанологии, метеорологии, кристаллографии и т.п. И помимо всего этого Андрей Николаевич имел труды по вопросам педагогики, методики, стиховедения, философии, истории, естествознания, написал множество статей в различные энциклопедии.

Всего список трудов А.Н. Колмогорова (пока еще неполный) насчитывает около 500 работ. Так что обо всем не скажешь. Поговорим лишь о самом важном.

Начнем с его работ по классической механике. Может ли Солнечная система существовать вечно? Безусловно, это - центральный вопрос всей астрономии. Ведь мыслимо, что почти всегда (как говорят математики, на множестве полной меры) эволюция любой планетной системы завершается катастрофой. В работах Андрея Николаевича эта проблема была решена для многих "невырожденных" задач астрономии. Колмогоров разработал новый метод, позволивший сдвинуть с мертвой точки проблему, которая стояла со времен Ньютона и Лапласа. Метод Колмогорова был усовершенствован и развит его учеником Арнольдом, который доказал, что существуют массивные множества начальных условий, при которых планетные системы, подобные Солнечной, будут существовать вечно. Теория Колмогорова оказалась примененной к огромному числу задач механики, физики и самой математики. Развитые в трудах В.Арнольда и Ю.Мозера идеи Колмогорова получили названия КАМ-теории (теории Колмогорова-Арнольда-Мозера), известной ныне едва ли не каждому математику.

На протяжении почти полувека Андрей Николаевич был общепризнанным мировым лидером в области теории вероятностей. Ему суждено было завершить классическое направление в этой теории, идущей от Я. Бернулли и Лапласа. Его книга, где он подвел итоги первого этапа своей деятельности в этой науке, - "Основные понятия теории вероятностей" - несомненно, самое известное произведение Андрея Николаевича. Исключительную ее роль в истории науки и в их личной судьбе подчеркивали большинство крупнейших специалистов в области теории вероятностей (например, классик теории вероятностей из  США Дуб и патриарх японской вероятностной школы  Ито). Аксиоматика,  введенная и исследованная Колмогоровым, превратила теорию вероятностей из натурфилософской в строгую математическую дисциплину. В антологии по теории вероятностей, изданной в Болгарии, книга А.Н. Колмогорова "Основные понятия теории вероятностей" соседствует с мемуарами основоположников - Я. Бернулли о законе больших чисел и П. Лапласа о центральной предельной теореме. Книга называется так: "Бернулли. Лаплас. Колмогоров. Вероятность".

С некоторой долей условности можно сказать, что безбрежный математический мир до недавних времен был поделен на две части, на королевство порядка и королевство хаоса. В королевстве порядка господствует дух Лапласа, который утверждал, что знание начальных условий предопределяет поведение системы на все времена. В царстве хаоса владычествует случай - "Бог-изобретатель", говоря словами Пушкина. Андрею Николаевичу Колмогорову выпала доля быть первопроходцем в обоих царствах, первооткрывателем в них многих неизведанных областей. О вкладе его в одну из областей царства порядка мы мельком сказали. В царстве хаоса ему принадлежит честь среди первых ступить в неизведанные просторы марковских процессов, стоять у истоков теории случайных процессов, быть родоначальником теории ветвящихся процессов; список можно продолжать, и всюду в этих разделах ему принадлежат фундаментальные, основополагающие результаты, составляющие ядро современных учебников по теории вероятностей.

Но помимо многочисленных открытий в каждом из этих двух царств, Колмогорову принадлежит величественная концепция единого взгляда на оба эти царства, идея одновременного и параллельного изучения сложности детерминированных и неопределенности случайных явлений. Эта программа и была намечена в той самой статье 1965 года, о которой мы говорили во введении.

Поставим вопрос: что такое случайность, хаос, стохастичность и чем они отличаются от детерминированности, упорядоченности, специфичности?

Вот пример, с которого начинается доклад А.Н. Колмогорова и В.А. Успенского на Первом Всемирном конгрессе Общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли (Ташкент, 1986 г. ):

"Если кто-либо скажет нам, что он подбросил "честную" монету двадцать раз и, обозначив герб единицей, а решетку нулем, получил такой результат:

(I) 1000 101110 1111010000

или такой:

(II) 0111101 1001101110001,

мы вряд ли будем удивлены.  Однако, если нам скажут, что результат бросаний был таков:

(III) 000000 00000 000000000,

мы будем поражены или вообще не поверим или же усомнимся в корректности эксперимента. Возникает вопрос - почему?... По-видимому, цепочки (I) и (II) воспринимаются, как случайные, а цепочки (III) - как неслучайные... Но что означают слова "воспринимается, как случайная"? Классическая теория вероятностей не дает ответа на этот важный вопрос. Не столь редко можно услышать следующее объяснение: вероятность цепочки (III) слишком мала, она равна 2^-20. Но ведь ровно такую же вероятность имеют цепочки (I) и (II)".

А.Н. Колмогоров предложил поразительную по красоте идею измерения порядка и хаоса. Последовательность нехаотична, если существует ее простое описание, а если такового не существует, т.е. она достаточно сложна, то она несет в себе все признаки случайной последовательности.

Как же реализуется эта идея? Во множество конечных последовательностей вводится мера их сложности ("колмогоровская сложность" ). Грубо говоря, сложность последовательности - это длина программы, описывающей данную последовательность. С помощью построенной им меры сложности Андрей Николаевич ввел понятие хаотической последовательности, конечной и бесконечной, и доказал, что хаотические (т.е. сложно устроенные) последовательности ведут себя, как случайные, т.е. к ним "нельзя придраться" с точки зрения теории вероятностей. Эта концепция А.Н. Колмогорова показала всю иллюзорность разграничения царств порядка и хаоса - на самом деле математический мир един и существует огромное число детерминированных динамических систем (и среди них - подобные Солнечной системе!) , поведение которых неотличимо от хаотического движения.

В этой концепции А.Н. Колмогорова связались в единый узел едва ли не все его творческие устремления - идеи теории функций и теории вероятностей, конструкции математической логики и теории алгоритмов, понятия и методы теории информации, описания многих явлений динамических систем (в том числе - классической механики), опыт изучения явлений природы.

Заключение

Хочу вернуться к тому, с чего я начал. В течение десяти лет - с 1953 по 1963 год - я очень близко наблюдал за творчеством А.Н.Колмогорова. В истории науки нелегко найти столь блистательный период в жизни какого-либо математика. В эти годы он сдвинул с мертвой точки три фундаментальнейших проблемы нашей науки. Об одной, касающейся устойчивости Солнечной системы (1953-54), я уже говорил. С докладом об этом Андрей Николаевич выступил на Международном Конгрессе в Амстердаме (1954), где ему было предоставлено исключительное право завершить научную программу Конгресса. В 1956-57 годах он получил фундаментальнейший результат, приведший к решению знаменитой 13-ой проблемы Гильберта. В 1958 году он осуществил радикальный прорыв в эргодической теории динамических систем, совершив переворот в этой важнейшей области математики. В 1960- 63 годах он фактически разработал концепцию понимания Хаоса, как Сложности.

В эти годы он руководил работой большого коллектива математиков: В.М. Алексеевым - в области классической механики, М. Арато - в области классической теории вероятностей, В.И. Арнольдом - в области теории суперпозиции и классической механики, Г.И. Баренблаттом - в гидродинамике, Ю.К. Беляевым - в теории случайных процессов, Л.Н. Большевым - в математической статистике, А.А. Боровковым - в классической теории вероятностей Р.Л. Добрушиным - в теории марковских цепей и теории информации, В.Д. Ерохиным - в теории приближений, В.М. Золотаревым - в теории предельных теорем, Р.Ф. Матвеевым - в теории случайных процессов, П. Мартин-Лефом - в теории сложности, Ю.Т. Медведевым - в математической логике, Л.Д. Мешалкиным - в эргодической теории, М.С. Пинскером - в теории информации, А.В. Прохоровым - в статистической теории стиха, Ю.А. Розановым - в теории случайных процессов, Я.Г. Синаем - в эргодической теории, В.М. Тихомировым - в теории приближений, В.М. Успенским - в математической логике, А.Н. Ширяевым - в теории случайных процессов, - беспрецедентный список!

Я перечислил здесь его непосредственных учеников тех лет, и то далеко не всех. Большинство математиков из этого списка стали крупными учеными, лидерами своих направлений, причем едва ли не самые значительные свои результаты они получили именно в годы общения со своим учителем. Огромное влияние на почти всех математиков того времени оказали лекционные курсы (обязательные и специальные), читавшиеся Андреем Николаевичем, его многочисленные отдельные лекции и выступления. Андрей Николаевич вел в те годы очень большую научно-общественную деятельность - издательскую, энциклопедическую; в качестве декана МГУ много бывал за границей и с огромным успехом (в частности, семестр провел в своей любимой Франции).

Он был в замечательной физической форме - совершал трудные горные походы, ходил на лыжах на 40-50 километров. Тем поразительнее его полное переключение на новую жизненную стезю, его внезапное и безраздельное увлечение своим интернатом, реформой математического образования, организацией летних школ, музыкальных и иных вечеров мя юношества, писанием учебников и учебных пособий, чтением лекций для школьников и учителей.

Это подвижничество, это самоотверженное служение делу Просвещения не было оценено по достоинству. И теперь, в преддверии девяностолетней годовщины со дня рождения этого великого человека, каждому, кому посчастливилось общаться с ним (особенно в последнее двадцатилетие), надлежит внести свою лепту в развитие того дела, которому Андрей Николаевич Колмогоров посвятил эту пору своей жизни.

Источник: VIVOS VOCO!