Очерк по истории теории вероятностей

Автор: Б. В. Гнеденко Мягкая обложка, 88 стр., 2001 г. Издательство: Эдиториал УРСС ISBN 5-8360-0395-5, Тираж: 1000 экз., Формат: 60x84/16 купить

Аннотация

В книге довольно подробно излагается история возникновения и развития теории вероятностей, ее основных понятий и методов - от первых расчетов в азартных играх до новейших направлений исследований.

Для всех интересующихся теорией вероятностей и историей математики.

Оглавление

1. Предыстория понятия вероятности и случайного события

§ 1. Первые данные
§ 2. Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья
§ 3. Исследования Галилео Галилея
§ 4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории вероятностей
§ 5. Работа Х. Гюйгенса
§ 6. О первых исследованиях по демографии

2. Период формирования основ теории вероятностей

§ 1. Возникновение классического определения вероятности
§ 2. О формировании понятия геометрической вероятности
§ 3. Основные теоремы теории вероятностей
§ 4. Задача о разорении игрока
§ 5. Возникновение предельных теорем теории вероятностей
§ 6. Статистический контроль качества продукции
§ 7. Дальнейшее развитие понятий случайного события и его вероятности

3. К истории формирования понятия случайной величины

§ 1. Развитие теории ошибок наблюдений
§ 2. Формирование понятия случайной величины
§ 3. Закон больших чисел
§ 4. Центральная предельная теорема
§ 5. Общие предельные распределения для сумм
§ 6. Закон повторного логарифма
§ 7. Формирование понятий математического ожидания и дисперсии

4. К истории теории случайных процессов

§ 1. Общие представления
§ 2. Дальнейшее развитие

---

Глава 4. К истории теории случайных процессов

§ 1. Общие представления

Понятие случайного процесса введено в XX столетии и связано с именами А. Н. Колмогорова (1903-1987), А. Я. Хинчина (1894-1959), Е. Е. Слуцкого (1880-1948), Н. Винера (1894-1965).

Это понятие в наши дни является одним из центральных не только в теории вероятностей, но также в естествознании, инженерном деле, экономике, организации производства, теории связи.

Теория случайных процессов принадлежит к категории наиболее быстро развивающихся математических дисциплин.

Несомненно, что это обстоятельство в значительной мере определяется ее глубокими связями с практикой.

XX век не мог удовлетвориться тем идейным наследием, которое было получено от прошлого.

Действительно, в то время, как физика, биолога, инженера интересовал процесс, т.е. изменение изучаемого явления во времени, теория вероятностей предлагала им в качестве математического аппарата лишь средства, изучавшие стационарные состояния.

Для исследования изменения во времени теория вероятностей конца XIX - начала XX века не имела ни разработанных частных схем, ни тем более общих приемов.

А необходимость их создания буквально стучала в окна и двери математической науки.

Изучение броуновского движения в физике подвело математику к порогу создания теории случайных процессов.

В исследованиях датского ученого А. К. Эрланга (1878-1929) была открыта новая важная область, связанная с изучением загрузки телефонных сетей.

Число абонентов изменяется во времени случайно, а длительность каждого разговора обладает большой индивидуальностью.

И вот в этих-то условиях двойной случайности следует производить расчет пропускной способности телефонных сетей, коммуникационной аппаратуры и управляющих связью систем.

Несомненно, что работы Эрланга оказали значительное влияние не только не решение чисто телефонных задач, но и на формирование элементов теории случайных процессов, в частности процессов гибели и размножения.

Во втором десятилетии XX века начались исследования динамики биологических популяций.

Итальянский математик Вито Вольтерра (1860-1940) разработал математическую теорию этого процесса на базе чисто детерминистских соображений.

Позднее ряд биологов и математиков развивали его идеи уже на основе стохастических представлений.

Первоначально и в этой теории применялись исключительно идеи процессов гибели и размножения.

Собственно именно от задач биологии и пошло наименование этого очень частного типа случайных процессов.

Представим себе, что мы задались целью проследить за движением какой-нибудь молекулы газа или жидкости.

Эта молекула в случайные моменты сталкивается с другими молекулами и меняет при этом направление движения и скорость.

Состояние молекулы, таким образом, подтверждено случайным изменениям и представляет собой ничто иное, как случайный процесс.

Этот процесс определяется шестью параметрами - тремя координатами и тремя компонентами скорости.

Многие физические явления для своего изучения требуют умения вычислять вероятность того, что определенная доля молекул успеет за заданный промежуток времени перейти из одной области пространства в другую.

Происходит диффузия.

Как быстро происходит процесс диффузии, по каким законам и когда образующаяся смесь становится практически однородной?

На эти и многие другие вопросы дает ответы статистическая теория диффузии, базирующаяся на использовании теории случайных процессов.

Очевидно, что подобные же задачи возникают в химии, когда приступают к изучению химических реакций.

Какая часть молекул уже вступила в реакцию, какая особенность протекания реакции со временем, когда реакция практически уже закончилась?

Весьма важный круг явлений протекает по принципу радиоактивного распада. Суть его состоит в том, что атомы радиоактивного вещества распадаются, превращаясь в атомы другого элемента.

Распад каждого происходит мгновенно, подобно взрыву, с выделением некоторого количества энергии.

Многочисленные наблюдения показывают, что распад отдельных атомов происходит в случайно взятые моменты времени и расположение этих моментов, если количество распадающегося вещества не превосходит некоторого определенного критического предела, не зависит друг от друга.

Для изучения процесса радиоактивного распада весьма важно определить вероятность того, что за определенный промежуток времени распадается то или иное число атомов.

Формально, если задаться целью выяснения только математической стороны явления, оказывается, что аналогично происходят многие другие процессы: обрывы нитей в прядильной машине, число броуновских частиц, оказавшихся в данный момент в определенной области пространства, вызовы от абонентов, поступающие на телефонную станцию и т.д.

Теория броуновского движения, исходящая из теоретико-вероятностных предпосылок, была разработана в 1905 г. двумя известными физиками М. Смолуховским (1872-1917) и А. Эйнтейном (1879-1955).

Позднее высказанные ими идеи использовались неоднократно как при изучении физических явлений, так и в различных инженерных задачах.

В частности, именно с этих работ, как, впрочем, и с работ Эрланга, проявился широкий интерес к процессу Пуассона.

Впрочем, сам Пуассон ввел в рассмотрение только распределение Пуассона, но он заслужил, чтобы его имя произносилось и при рассмотрении случайных процессов, связанных с его распределением.

Это не единственный случай, когда в честь того или другого исследователя новым понятиям присваиваются их имена, хотя до этих понятий они и не доходили.

Теперь широко распространены гауссовские случайные процессы, хотя сам Гаусс о них не имел никакого представления, да и само исходное распределение задолго до его рождения было получено Муавром, Лапласом и др.

В теории же ошибок измерений одновременно с Гауссом к нему пришел также Лежандр.

Попытка изучения средствами теории вероятностей явления диффузии была предпринята в 1914 г. двумя известными физиками - М. Планком (1858-1847) и А. Фоккером (1887-1972).

Н. Винер в середине двадцатых годов при изучении броуновского движения ввел в рассмотрение процесс, получивший название винеровского процесса (процесса броуновского движения).

Мы должны упомянуть еще о двух важных группах исследований, начатых в разное время и по разным поводам.

Во-первых, эта работы А. А. Маркова (1856-1922) по изучению цепных зависимостей.

Во-вторых, работы Е. Е. Слуцкого (1880-1948) по теории случайных функций.

Оба этих направления играли очень существенную роль в формировании общей теории случайных процессов.

Для этой цели уже был накоплен значительный исходный материал и необходимость построения теории как бы носились в воздухе.

Оставалось осуществить глубокий анализ имеющихся работ, высказанных в них идей и результатов и на его базе осуществить необходимый синтез.

В 1931 г. была опубликована большая статья А.Н. Колмогорова "Об аналитических методах в теории вероятностей", а через три года - работа А. Я. Хинчина "Теория корреляции стационарных стохастических процессов", которые следует считать началом построения общей теории случайных процессов.

В первой из этих были заложены основы марковских процессов, а во второй - основы стационарных процессов.

Они были источником огромного числа последующих исследований, среди которых следует отметить статью В. Феллера "К теории стохастических процессов" (1936), давшую интегро-дифференциальные уравнения для скачкообразных марковских процессов.

Обе только что упомянутые основополагающие работы содержат не только математические результаты, но и глубокий философский анализ причин, послуживших исходным пунктом для построения основ теории случайных процессов.

Приведем с целью ознакомления с этим аспектом исследований довольно большой отрывок из введения к работе А. Н. Колмогорова.

"Желая подвергнуть математической обработке явления природы или социальной жизни, необходимо предварительно эти явления схематизировать;

дело в том, что к исследованию процесса изменения некоторой системы математический анализ применим лишь в том случае, если предположить, что каждое возможное состояние этой системы может быть вполне определено с помощью известного математического аппарата,

например, при помощи значений, принимаемых известным числом параметров;

такая математически определимая система есть не сама действительность, но лишь схема, пригодная для описания действительности.

Классическая механика пользуется лишь такими схемами, при которых состояние y системы для момента времени t однозначным образом определяется ее состоянием x в любой предшествующий момент t₀;
Математически это выражается формулой y = f(x, t₀, t).

Если такая однозначная функция существует, как это всегда предполагается в классической механике, то мы говорим, что наша схема есть схема вполне детерминированного процесса.

К числу вполне детерминированных процессов можно было отнести и те, в которых состояние y не вполне определяется заданием состояния x для единственного момента времени t, а существенным образом зависит еще от характера изменения этого состояния перед моментом t.

Однако обычно предпочитают избегать такой зависимости от предшествующего поведения системы, для чего расширяют само понятие состояния системы в момент времени t и соответственно этому вводят новые параметры

(Хорошо известный пример применения этого метода мы имеем при описании состояния некоторой механической системы не только координатами ее точек, но также и компонентами их скоростей).

Вне области классической механики, наряду со схемами вполне детерминированных процессов, часто рассматриваются и такие схемы, где состояние x системы в некоторый момент времени t₀ обуславливает лишь известную вероятность для наступления возможного состояния y в некоторый момент t > t₀.

Если для любых заданных t₀, t > t₀ и x существует определенная функция распределения вероятностей для состояния y, мы говорим, что наша схема есть схема стохастически определенного процесса.

В общем случае эти функции распределения представляются в виде P (t₀,x,t,A), причем A обозначает некоторое множество соcтояний, а P есть вероятность того, что в момент t окажется реализованным одно из состояний A принадлежащих этому множеству".

Но не общефилософское содержание является основным достоинством этой работы А. Н. Колмогорова.

В ней были заложены основы теории случайных процессов без последствия и получены дифференциальные уравнения (прямые и обратные), которые управляют вероятностями перехода.

В этой же работе был дан набросок теории скачкообразных процессов без последствия, подробное развитие которой позднее было дано В. Феллером и В. М. Дубровским.

§ 2. Дальнейшее развитие

В настоящее время теория марковских процессов превратилась в большую и разветвленную главу математической науки, которая получила огромное число разных применений в физике, инженерном деле, геофизике, химии и ряде других областей знания.

Построение основ другого класса случайных процессов на базе физических задач было осуществлено А.Я. Хинчином в упомянутой нами работе.

Он ввел понятие стационарного процесса в широком и узком смысле и получил знаменитую формулу для коэффициента автокорреляции.

Эта работа послужила основанием для последующих исследований Г. Крамера (1893-1985), Г. Вальда (1902-1950), А. Н. Колмогорова и многих других ученых.

В процессе развития теории случайных процессов произошло разделение близких понятий.

Если случайная величина x(t) или вектор (x₁(t), ..., x_n(t))

со значениями на числовой прямой зависит от одного вещественного параметра t, то принято говорить о случайном процессе x(t).

При этом, как правило, параметр t носит название времени.

Если время принимает дискретную последовательность значений t₁, t₂, ..., то говорят не о случайном процессе, а о случайной последовательности.

Если же случайная величина x (или вектор) зависит не от одного, а от нескольких параметров, то ее называют случайным полем.

Со случайными полями столкнулись раньше всего в биологии и геофизике, а затем оказалось, что практически все области знания приводят к необходимости рассмотрения, наряду со случайными процессами, и случайных полей.

Рассмотрим примеры.

Обозначим через p(t,x,y,z) плотность воды в океане. Эта величина изменяется от одной точке к другой и от одного момента времени к другому. Как показывают многочисленные наблюдения, p можно рассматривать как случайное поле.

Рассмотрим изменение силы и направления ветра. Для каждого момента времени и каждой точки пространства сила ветра f(t,x,y,z) является скалярной величиной, а направление ветра (x(t,x,y,z), h(t,x,y,z), z(t,x,y,z)) - случайным вектором.

Это типичный пример скалярного и векторного полей.

Число примеров случайных полей, относящихся к различным областям знания, можно продолжать практически неограниченно.

В истории каждой науки постоянно приходится сталкиваться с такими ситуациями, когда эта наука еще не создана, а исследователи рассматривают отдельные задачи, которые относятся к ее области.

Так было с арифметикой и геометрией, алгеброй и теорией чисел.

С таким же положением мы сталкиваемся и в теории случайных процессов.

Этой теории еще не было, не было и свойственных ей понятий, не было даже идеи рассмотрения изменения случайной величины во времени, а отдельные задачи в этом направлении уже изучались.

Для примера еще Н. Бернулли, Монмор и Муавр занимались задачей о разорении игрока и состоянии игроков после n партий.

Это - типичная задача теории случайных процессов, в которой число сыгранных партий играет роль времени.

Такая же ситуация складывается и с задачей Лапласа перекладывания шаров из урны в урну и подсчета содержания урны после n перекладываний.

Всегда новое рождается в недрах старого и со временем вырастает из становящихся тесными рамок уже установившихся представлений и понятий.

В результате появляется необходимость специальной области научных исследований.

Первоначально же отдельные новые задачи решаются в рамках старых представлений, как правило, специальными приемами, создаваемыми для каждой задачи.

Но время еще не созрело для выделения соответствующей новой ветви научного знания.

Требуется иногда длительный срок, чтобы первоначальные идеи и отдельные задачи сформировались и дали начало новой теории со своими постановками проблем и методами исследования, позволяющими продвинуться по пути познания явлений окружающего нас мира.

Теория вероятностей имеет богатую и поучительную историю.

Она наглядно показывает, как возникали ее основные понятия и развивались методы из задач, с которыми сталкивался общественный прогресс.

История теории вероятностей еще далека от совершенства и требуется систематическая работа для того, чтобы восстановить пройденный путь и воздать должное ее создателям.

При этом мы увидим, как человечество переходило от первичных догадок к более полному и совершенному знанию, как создание теории вероятностей позволяло переходить от строгих детерминистических представлений к более широким стохастическим концепциям, тем самым открывая новые возможности для глубоких заключений о природе вещей.

Теория вероятностей продолжает бурно развиваться, в ней появляются новые направления исследований - оптимальное управление случайными процессами, теории мартингалов, теории просачивания, случайные операторы, вероятностные закономерности на алгебраических и топологических структурах.

Эти направления представляют значительный общетеоретический и прикладной интерес.

Практически исторический очерк ограничивается во времени сороковыми годами нашего столетия и только отдельные замечания относятся к более позднему времени.

Я надеюсь на то, что вопросы теории вероятностей заинтересуют некоторых читателей и им удастся существенно дополнить настоящий очерк в ряде направлений.

Источник: Трагедия Свободы